Ф.П. Рамсей и интуиционизм Г. Вейля | Вестн. Том. гос. ун-та. Философия. Социология. Политология. 2012. № 2 (18).

Ф.П. Рамсей и интуиционизм Г. Вейля

Рассматривается эволюция взглядов Рамсея на философию математики. Показано, что он отходит от программы логицизма в основаниях математики и развивает взгляды, близкие «умеренному» интуиционизму Г. Вейля, что, в частности, проявляется в изменении точки зрения на общие и экзистенциальные утверждения, которые более не рассматриваются как сокращения для конъюнкции и дизъюнкции, но трактуются как вариативные гипотетические выражения.

F.P. Ramsey and intuitionism of H. Weyl.pdf В рецензии на посмертно опубликованный сборник трудов Ф.П. Рамсея[1] Б. Рассел, касаясь представленных там архивных материалов, в частности,писал: «Эти материалы в основном состоят из заметок, не предназначенныхдля публикации, что затрудняет их прочтение, поскольку они могли бы бытьобъяснены только в готовящейся публикации. Все эти материалы датированы1929 г. и демонстрируют тенденцию в направлении взглядов Брауэра. На-пример, второй материал интерпретирует общие пропозиции как 'вариатив-ные гипотетические выражения' (variable hypothetical). Они, если я правильнопонял, вообще не являются пропозициями в обычном смысле, но 'выводом,который мы в любое время готовы сделать'» [2. Р. 481]. Изменение во взгля-дах Рамсея констатирует и Р. Брейтуейт, который был редактором данногосборника. В предисловии к нему он писал, что Рамсей в 1929 г. «обратился кфинитистской точке зрения, которая отрицает существование какой-либобесконечной совокупности» [3. P. XII]. Эти утверждения свидетельствуют отом, что Рамсей в последних работах отходит от логицизма в основаниях ма-тематики, существенно меняя точку зрения на ряд основных положений, ко-торые лежали в её основе. Оценки Рассела и Брейтуейта указывают на то, чтовзгляды Рамсея эволюционировали в направлении интуиционизма или, покрайней мере, в направлении той точки зрения, которая ограничивает пред-ставление о бесконечности в качестве допустимого понятия логики. Такиеоценки указывают на то, что Рамсея нельзя однозначно рассматривать лишькак представителя реализма в основаниях математики, поскольку, в тенден-ции, его взгляды претерпевают существенные изменения. И эти измененияменяют образ Рамсея с реалиста на сторонника тех взглядов, к которым вранних работах он относился критически2.1 Работа выполнена при поддержке РГНФ (грант № 11-03-00039а), РФФИ (грант № 12-06-00078-а) и врамках государственного задания Минобрнауки РФ на проведение научных исследований (тематическийплан НИР Томского государственного университета) № 6.4832.2011.2 Эти изменения во взглядах Рамсея предпочитают не замечать. Образ Рамсея как реалиста в ос-нованиях математики в современной литературе вполне сложился. И здесь нельзя не согласиться сВ рукописях Рамсея нельзя найти последовательной экспозиции этих из-менений. Более того, его последние работы были посвящены не основаниямматематики, но философским проблемам других областей знания, в частно-сти структуре научной теории и исследованию причинности. Однако в тек-стах 1929 г. «Теории» и «Общие пропозиции и причинность» можно обнару-жить те изменения, о которых говорят Рассел и Брейтуэйт и которые приме-няются к решению ряда отдельных проблем.Так, во втором из указанных текстов Рамсей относительно общих пропо-зиций, например, утверждает, что выражения вроде «Все люди смертны» неявляются конъюнкциями. Они лишь имеют определённое сходство с конъ-юнкциями, что обусловлено, во-первых, тем, что логическая запись вида '(x) .φx' может выразить то, что относится к конечным классам (в том числе иклассу людей), и, следовательно, в принципе может быть заменена конечнойконъюнкцией вроде 'φa . φb . φc …' (при условии, что мы можем перечислитьвсе элементы класса, сопоставив им соответствующие индивидные констан-ты). Во-вторых, если мы спрашиваем об условиях верификации выраженийвида '(x) . φx', то мы всегда склоняемся к тому, чтобы указать, что его истин-ность или ложность зависит от истинности или ложности выражений вида'φa', 'φb', 'φc' … . В-третьих, выражением '(x) . φx' мы пользуемся лишь «из-за недостатка символической способности» [5. C. 186] в случае бесконечногоили даже необозримого класса.Все эти аргументы относятся к тому случаю, когда к подобным выраже-ниям мы подходим объективно, ориентируясь на условия их истинности иложности, но «когда мы смотрим на них субъективно, они отличаются со-вершенно» [5. C. 185]. Рамсей утверждает, что выражение '(x) . φx' отличает-ся от конъюнкции, во-первых, уже тем, что «его состав никогда не использу-ется как конъюнкция; мы никогда не используем его в качестве мысли оклассе, за исключением его применения к конечному классу» [5. C. 185], по-скольку сопровождающая это использование достоверность может относить-ся только к отдельным случаям или к конечному классу этих отдельных слу-чаев, но не может характеризовать даже случаи конечных, но необозримыхклассов, не говоря уже о бесконечных классах. Во-вторых, бесконечный илинеобозримый класс мы не можем выразить, перечисляя отдельные случаи, аследовательно, даже не можем записать '(x) . φx' как конъюнкцию.Радикальный вывод Рамсея из этих аргументов заключается в том, чтоесли выражение вида '(x) . φx' «не конъюнкция, то оно вообще не пропози-ция, и встаёт вопрос, каким образом оно вообще может быть верным илиошибочным» [5. C. 186]. Ответ Рамсея заключается в том, что выражения та-кого рода являются вариативными гипотетическими выражениями (variablehypothetical), не подлинными пропозициями, которые являются истин-ными или ложными, но утверждениями, «выражающими вывод, который мыв любое время готовы сделать, а не изначальную уверенность» [5. C. 185]. Сточки зрения Рамсея, '(x) . φx' выражает готовность сделать вывод от '(x) . φx'к 'φa', например от «Все люди смертны» к «Герцог Веллингтон смертен».М. Мэрионом: «Тем не менее по большей части, эти изменения игнорируются. И преобладающиевзгляды на Рамсея, что неверно, связывают его с крайним платонизмом» [4. P. 91].При этом только «Герцог Веллингтон смертен» выражает подлинную пропо-зицию, которая может быть истинной или ложной. Но «Все люди смертны»всегда выходит за рамки того, что «мы знаем или хотим» [5. C. 185], это вы-ражение не является подлинной пропозицией, являющейся истинной илиложной, но лишь подкрепляет нашу степень уверенности в способности сде-лать соответствующий вывод.Подобный подход резко контрастирует с тем, что об общих пропозициях,под влиянием Витгенштейна, Рамсей писал в «Основаниях математики», ра-боте, написанной в 1925 г. и считающейся крайнем выражением математиче-ского платонизма: «Записывая '(x) . fx', мы утверждаем логическое произве-дение всех пропозиций формы 'fx'; записывая '(∃x) . fx', мы утверждаем ихлогическую сумму. Так, '(x) . x - человек' подразумевало бы 'Каждый явля-ется человеком'; '(∃x) . x - человек' - 'Существует нечто, являющееся чело-веком'. В первом случае мы допускаем лишь возможность того, что все про-позиции формы 'x - человек' являются истинными; во втором случае мылишь исключаем возможность того, что все пропозиции формы 'x - человек'являются ложными» [5. С. 21]. Нетрудно заметить, что эта цитата вполне вы-ражает то, что выше характеризовалось как объективный подход к общности.Но даже если на них смотреть субъективно, т.е. как на то, что связано с на-шей степенью уверенности, то Рамсей также изменил свою точку зрения. На-пример, в работе «Факты и пропозиции» (1927 г.), где Рамсей адаптирует не-который вариант прагматизма, условия верификации атомарной пропозицииp связываются с «любым множеством действий, для полезности которых рявляется необходимым условием», при этом данное множество действий«может быть названо верой в р и, поэтому, быть истинным, если р, т.е. еслиэти действия являются полезными» [5. C. 106]. Логическая форма уверенно-сти определяет её каузальные свойства, и с этим, например, связано функ-ционирование отрицания. Так, отсутствие уверенности в ' р' и уверенность вего отрицании вызывают одни и те же следствия, поскольку и то, и другоевыражает одну и ту же установку. Как пишет Рамсей: «Мне кажется, что эк-вивалентность между верой в 'не-р' и неверием в 'p' должна определяться сточки зрения причинности; для этих двух обстоятельств общими являютсямногие из их причин и многие из их следствий» [5. C. 108]. Подобный подходприменим и к более сложным случаям, касающимся бинарных логическихопераций, таких как дизъюнкция и конъюнкция. Здесь степень усложненияпо сравнению с отрицанием роли практически не играет, поскольку такжеотталкивается от системы истинностных оценок, принятых в рамках пропо-зициональной логики. Так, относительно дизъюнкции Рамсей пишет: «Ве-рить в р или q значит выражать согласие со следующими возможностями: р -истинно и q - истинно, р - ложно и q - истинно, р - истинно и q - ложно, ивыражать несогласие с оставшейся возможностью: р - ложно и q - ложно.Сказать, что чувство веры относительно предложения выражает такую уста-новку, значит сказать, что уверенность имеет определённые каузальныесвойства, изменяющиеся вместе с установкой, т.е. с её изменением некоторыевозможности выводятся из строя, а некоторые, так сказать, всё ещё остаютсяс нами» [5. C. 110]. Более сложный случай должны были бы представлятьутверждения общности. Но и здесь Рамсей, следуя Витгенштейну, рассмат-ривает общие пропозиции как логическое произведение или логическуюсумму атомарных пропозиций. Касаясь общих пропозиций он, в частности,пишет: «Относительно них я принимаю точку зрения м-ра Витгенштейна, что'Для всех х, fx' должно рассматриваться как эквивалент логического произве-дения всех значение 'fx', т.е. комбинации fx1 и fx2 и fx3 и …, и что 'Существу-ет х, такой что fx' подобным же образом есть их логическая сумма. В связи стакими символами мы можем различить, во-первых, элемент общности, вхо-дящий особым способом в аргументы истинности, которые не перечисляютсякак ранее, но определяются как все значения некоторой пропозициональнойфункции, и, во-вторых, функционально-истинностный элемент, который яв-ляется логическим произведением в первом случае и логической суммой вовтором» [5. C. 112]. Таким образом, даже при субъективном рассмотрении вовзглядах на общность он использует, хоть и производный от Витгенштейна,но всё-таки логицистский подход.Здесь возникает вопрос, почему, с точки зрения Рассела и Брейтуэта, из-менение взглядов Рамсея в рукописных материалах 1929 г. на утвержденияобщности свидетельствует о его движении в сторону интуиционизма и фини-тизма? Ответ заключается в оценке характера логической формы выраженийобщности, которые теперь рассматриваются как вариативные гипотетиче-ские выражения. Как уже указывалось, в рукописи «Общие пропозиции ипричинность» они более не рассматриваются как то, что является истиннымили ложным и может быть представлено в виде конъюнкции или дизъюнкциичастных случаев. Рамсей вообще отказывается рассматривать их как пропо-зиции, предпочитая считать их тем, что подкрепляет нашу степень уверенно-сти при переходе к частным случаям.Действительно, при оценке частных случаев уверенность в приписыванииопределённого свойства определённому предмету может основываться натом, что атомарные пропозиции являются истинными или ложными, именнона этом основывается уверенность в вынесении суждений вроде «Сократ -человек» или «Буцефал - человек». На этом принципе могут основываться ислучаи, касающиеся конечного и обозримого класса, когда не возникает про-блем с перечислением его элементов, а, значит, они могут быть выраженыконечной и обозримой совокупностью атомарных пропозиций, представлен-ных в виде их конечной и обозримой конъюнкции или дизъюнкции. Случаиподобных пропозиций, как считает Рамсей, «встречаются человеку всякийраз, когда он образует её истинностную функцию, т.е. дизъюнктивно обосно-вывает случаи её истинности или ложности» [5. C. 186]. Но совершенно иноепроисходит при попытке оценить утверждения общности. Уверенность здесьне сводится к рассмотрению частных случаев на основе того, что каждое ут-верждение о них является истинным или ложным, так как все такие утвер-ждения невозможно рассмотреть. Значит, принятие общего утверждения вкачестве обоснованного не сводится к верификации отдельных пропозиций,соотносящихся с ним в качестве утверждения отдельных случаев.Такой пример нам демонстрируют законы природы, которые, являясь ут-верждениями общности, никогда не могут быть представлены в виде конъ-юнкции или дизъюнкции всех отдельных случаев. Здесь, как считает Рамсей,уверенность уже не связывается с условиями истинности отдельных пропо-зиций, говорящих о частных событиях, но имеет принципиально иной харак-тер. А именно, если закон природы выразить в форме утверждения общностивида '(x) . φx', то должна рассматриваться не альтернатива между '(x) . φx' и '∼(x) . φx', т.е. вопрос о верификации общего и противоречащего ему утверждения,но должны рассматриваться аргументы в пользу принятия какой-то из этих аль-тернатив, что должно оказывать влияние на нашу степень уверенности в боль-шем или меньшем их правдоподобии. При этом сколь угодно большой массивсвидетельств в пользу выражения '(x) . φx' отнюдь не влечёт его принятие, по-скольку все возможные свидетельства всё равно не могут быть перечислены.Однако и непринятие '(x) . φx' вовсе не влечёт истинности его отрицания, т.е.истинности '∼ (x) . φx' или, что эквивалентно, '(∃х) . ∼ φх'.Приведём собственный пример. Пусть в качестве закона природы мыпредлагаем утверждение «Все люди смертны». Мы могли бы попытаться све-сти это общее утверждение к верификации отдельных его примеров вроде«Сократ умер», «Платон умер», «Аристотель умер» … и т.д. Однако в этомсписке приписывание данного свойства не может быть конечным, хотя этотсписок и может быть обозрим. Действительно, я сам являюсь элементом это-го спискам (и, слава Богу, ещё жив), его элементами являются множестводругих людей, которые ещё не умерли. Поэтому верификация отдельныхпримеров ещё не является свидетельством в пользу верификации общего ут-верждения. Вполне возможно, что это общее утверждение объективно истин-но, но это не означает, что я его принимаю. Более того, я вполне могу его непринимать. Моё собственное убеждение может ни в коей мере не согласо-ваться с условиями истинности отдельных утверждений, принимаемых впользу его верификации. Для иллюстрации воспользуемся повестьюЛ.Н. Толстого «Смерть Ивана Ильича»: «В глубине души Иван Ильич знал,что он умирает, но он не только не привык к этому, но просто не понимал,никак не мог понять этого. Тот пример силлогизма, которому он учился влогике Кизеветера: Кай - человек, люди смертны, потому Кай смертен, ка-зался ему во всю его жизнь правильным только по отношению к Каю, но ни-как не к нему. То был Кай - человек, вообще человек, и это было совершенносправедливо; но он был не Кай и не вообще человек, а он всегда был совсемособенное от всех других существо… И Кай точно смертен, и ему правильноумирать, но мне Ване, Ивану Ильичу, со всеми моими чувствами, мыслями, -мне это другое дело» [6]. Хотя всем своим существом Иван Ильич отказыва-ется принять суждение «Всё люди смертны» во всей своей общности, оче-видно, что вряд ли он считает за истинное суждение о существовании какого-то бессмертного человека. Таким образом, принятие того или иного общегоутверждения напрямую не связано с признанием его истинным и не основы-вается на признании истинности его отдельных примеров. Считать утвержде-ние общности истинным, основываясь на точке зрения функций истинно-сти, - это одно, принять или не принять утверждение общности - это другое.Как утверждает Рамсей, непринятие '(x) . φx' в качестве «закона ни в коеймере не влечёт ложность закона, т.е. не влечёт (∃х). ∼ φх» [5. C. 186], т.е. еслимы не принимаем того, что все элементы некоторого класса обладают дан-ным свойством, то это отнюдь не означает, что существует такой элемент,который не обладает данным свойством. В этом как раз и состоит его пози-ция. Если я отказываюсь принимать какой-то закон, это отнюдь не влечёт еголожность, поскольку в этом случае я могу основываться не на соображенияхоб условиях истинности или ложности конъюнкции, что было бы в том слу-чае, если выражения общности однозначно можно было бы к ней свести, нона каких-то других соображениях, ведущих к иной степени уверенности. Вэтом случае при оценке общих утверждений мы не должны исходить из того,что истинной должна оказаться одна из альтернатив '(x) . φx' или '(∃х). ∼ φх',а это приводит к тому, что неверной оказывается равносильность '(x) . φx . ≡ .∼ (∃х) . ∼ φх', принимаемая в классической кванторной логике. Последнееуказывает на то, что Рамсей ограничивает применимость закона исключённо-го третьего только случаем атомарных пропозиций, не принимая его для ут-верждений общности.Ограничение на применение принципа исключённого третьего всегдасвязывается с позицией интуиционизма. И здесь приведённые выше замеча-ния Рассела вполне оправданы. Следует, правда, заметить, что Рамсей не во-обще отказывается от данного принципа, но отказывается применять его кутверждениям общности, т.е. на уровне кванторной логики, не считая ихпропозициями, т.е. тем, что может быть истинным или ложным, сохраняя егозначимость для атомарных пропозиций, т.е. на уровне пропозициональнойлогики. Эта позиция отличается от позиции Брауэра, который вообще отри-цал значимость принципа исключённого третьего. Скорее точка зрения Рам-сея зависима от взглядов Г. Вейля, развивающего 'умеренный' интуицио-низм, также ограничивая действие принципа исключённого третьего толькорамками пропозициональной логики1.Оценивая свой вклад в программу интуиционизма и отличая её от общегоподхода Брауэра, в работе «О новом кризисе основ математике» (1921 г.)Г. Вейль пишет, что на его собственный счёт относится то, что «общие и эк-зистенциальные положения не являются вовсе суждениями в собственномсмысле слова, не утверждают никакого обстояния, а являются указаниями насуждения или же абстракциями суждений» [9. C. 120]. Как следует пониматьэто утверждение? Его следует рассматривать как раз в рамках принимаемыхГ. Вейлем ограничений на использование принципа исключённого третьего.Отказывая экзистенциальным и общим утверждениям в статусе того, чтоможет быть истинным или ложным, Вейль апеллирует к тому, как они упот-ребляются относительно свойств элементов натурального ряда, противопос-тавляя их единичным утверждениям. Приписывание некоторого свойстваотдельным элементам натурального ряда вполне осмысленно, что приводит кистинным или ложным суждениям (Urtheil), но утверждения о существова-1 Рамсей был хорошо знаком со взглядами Вейля, на что указывает, в частности, то, что, рас-сматривая позицию интуиционизма в работе «Математическая логика» (1926 г.) [5. C. 65-80], он восновном опирается на работы Вейля, а не Брауэра. Н.-Е. Салин указывает на то, что в архиве Рамсеясодержится конспект работы Вейля «О новом кризисе основ математики», в котором упор сделан нааспектах квантификации и, хотя время создания конспекта относится ко времени, более раннему, чемизменения во взглядах Рамсея, точка зрения Вейля, несомненно, оказала на него влияние [7. Р. 73].У. Майер также считает, что на Рамсея значительное влияние оказал Вейль, в особенности во взгля-дах на квантификацию в рамках научной теории, где взгляды первого есть обобщение процедур кван-тификации, принимаемых вторым [8. P. 244].нии числа, обладающего определённым свойством, лишено смысла, посколь-ку предполагает перечисление всех элементов натурального ряда, что невоз-можно в силу его бесконечности. Например, утверждение «2 - чётное чис-ло» - это настоящее, выражающее определённое состояние дел суждение. Впротивоположность этому экзистенциальные утверждения вообще не явля-ются суждениями в собственном смысле этого слова, так как не устанавли-вают некоторое фактическое состояние дел и не могут быть истинными илиложными. Таковым, например, является экзистенциальное утверждение «Су-ществует чётное число», поскольку предполагаемая им 'бесконечная логиче-ская сумма', если экзистенциальное утверждение уподобляется дизъюнкцииотдельных примеров, а именно, «1 чётна, или 2 чётно, или 3 чётно, или … ininfinitum», неосуществима. Действительно, последнее суждение, в отличие отпервого, опирается на возможность перечисления всех элементов относи-тельно предполагаемого свойства, что в принципе невозможно. Мы знаем,что чётные числа есть, но это опирается на знание того, что есть отдельныечётные числа, например 2, но отнюдь не на заявление о том, что они вообщесуществуют. В этом отношении утверждение «2 - чётное число» и утвержде-ние «Существует чётное число» принципиально различны; первое являетсяистинным суждением, поскольку соответствующее свойство относительноданного числа установлено, а второе вообще невозможно рассматривать каксуждение, поскольку его истинность или ложность зависит от перечислениявсех элементов натурального ряда, что невозможно. Как пишет Вейль, «мне-ние, будто твердо определено, обладает ли какое-нибудь число свойством Fили нет, опирается только на следующее представление. Числа 1, 2, 3, … мо-гут быть по очереди, одно за другим испытаны в отношении свойства F. Еслимы встретим при этом число, обладающее свойством F, то дальнейший про-смотр для ряда можно прекратить. Ответ в этом случае гласит: да. Если жеподобного перерыва не наступает, т.е. если после законченного пересмотрабесконечного числового ряда не было найдено ни одного числа рода F, ответгласит: нет. Но мысль о таком законченном пересмотре членов бесконечногоряда бессмысленна» [9. C. 105].Таким образом, Вейль отказывается сводить экзистенциальные утвер-ждения к бесконечным дизъюнкциям частных примеров. Относительно каж-дого дизъюнкта можно утверждать его истинность или ложность. Но экзи-стенциальное утверждение всё равно оказывается необоснованным, посколь-ку оно не сводится к такой дизъюнкции. При этом, даже если все рассмот-ренные нами дизъюнкты являются ложными, это не даёт нам права утвер-ждать, что ложным является общее утверждение, поскольку мы в принципене можем рассмотреть их все, и, вполне возможно, что мы просто не дошли внашем рассмотрении до соответствующего случая. Исследование отдельныхслучаев не может привести к общим утверждениям обо всех числах. Как пи-шет Вейль: «Не исследование отдельных чисел, а только исследование сущ-ности числа может доставить мне общие суждения о числах. Только дейст-вительно имевшее место нахождение определенного числа, обладающегосвойством F, может дать мне право на ответ: да, и - так как я не могу пере-брать все числа - только усмотрение того, что обладание свойством ∼F лежитв существе числа, дает мне право на ответ: нет. Сам Бог не имеет иных осно-ваний для решения этого вопроса. Но обе эти возможности уже не проти-востоят друг другу как утверждение и отрицание - ни отрицание одной, ниотрицание другой не имеет реального смысла» [9. C. 105].Однако это не означает, что утверждения общности вообще не имеют ни-какого применения. Действительно, ответ 'да' возникает тогда, когда мы за-канчиваем просмотр некоторой последовательности, обнаруживая число, об-ладающее свойством F. В этом случае коллизия разрешается, и мы можемсказать, что некоторые числа обладают этим свойством, а общее утверждениео его невыполнимости необоснованно. Здесь всё зависит от возможностей испособностей математика найти соответствующий элемент натурального ря-да. Тем не менее относительно просмотра любой последовательности мыможем сказать, что её просмотр либо закончится, либо не закончится. И воз-можности и способности математика здесь уже не имеют значения. Так илииначе, он должен руководствоваться этой альтернативой. А возможность ут-верждения подобной альтернативы уже предполагает употребление общих иэкзистенциальных выражений. Собственно говоря, альтернатива переходит суровня суждения об определённом свойстве, которое может быть или не бытьу некоторого числа, на уровень 'усмотрения' математиком сущности числа.Это усмотрение как раз и может результироваться в выражениях вроде 'Су-ществует число …' или 'Все числа …'.Но сами эти выражения ни в коем случае не являются подлинными суж-дениями, которые могут быть истинными или ложными, они лишь свиде-тельствуют о когнитивной установке использующего их математика, который'путём внутренних усилий' стремится 'узреть их внутреннюю очевидность'.Математик, конечно, применяет выражения общности, но лишь с той целью,чтобы обосновать собственные усилия в поисках того или иного примера,который обосновывал бы приписывание или отрицание некоторого свойства.И здесь функция утверждений общности становится совершенно иной. Отно -сительно экзистенциальных утверждений Вейль, в частности, пишет: «В кон-це концов я нашёл для себя спасительное слово. Экзистенциальное сужде-ние - вроде: "существует чётное число" - не есть вообще суждение в собст-венном смысле слова, устанавливающее некоторое обстояние, экзистенци-альное обстояние суть пустая выдумка логиков. "2 - число чётное" - вот этодействительное, выражающее определённое обстояние суждение, фраза же"существует чётное число" есть лишь полученная из этого суждения абст-ракция суждения (Urtheilsabstrakt)» [9. C. 105].Для того чтобы прояснить данное утверждение, Вейль приводит интерес-ную аналогию. Представим себе карту, которая указывает на сокрытое со-кровище. В этом случае единичное суждение, выражающее действительноесостояние дел, указывало бы на то, где это сокровище сокрыто, но экзистен-циальное утверждение (в случае, если мы его сводим к бесконечной дизъ-юнкции вроде: «Сокрыто здесь, или там, или там, или …) в лучшем случаепобуждало бы нас к поискам, свидетельствуя о том, что сокровище где-тоесть. Оно в лучшем случае было бы только стимулом организовать раскопки,не более. Однако это 'не более', с другой стороны, свидетельствует о том,что и 'не менее', поскольку оно ограничивает регион поисков. Пока мы нереализуем действительный поиск и не найдём сокровище, эта карта вообщене имеет никакого значения, она лишь указывает на то, где можно искать. Ноесли поиски удались, то сама карта приобретает значение, поскольку из еёобщих указаний удалось вывести тот частный случай, который привёл к ус-пеху. Таким образом, 'абстракция суждения' есть вывод из того, что являетсячем-то вполне определённым. Только потому, что поиски удались, мы можемсвидетельствовать об успешной применимости карты. Наличие карты побуж-дает нас организовать поиск, но лишь нахождение того, что нам нужно, сви-детельствует о её полезности. То же самое относится к обоснованности мате-матических суждений. Утверждение о существовании некоторого элементанатурального ряда, обладающего свойством F, может свидетельствоватьтолько о том, что поиск какого-то определённого элемента увенчался успе-хом. В этом случае данное утверждение является своего рода картой без оп-ределённого указания, где этот элемент можно найти. Главное в том, что еслитакой элемент найден, то и утверждение о существовании подобных элемен-тов вполне обосновано. Карта получает значение, она становится вполнеобоснованной в глазах тех, кто использует её в качестве путеводителя. Тогдакарта выступает в качестве некоторого закона, ограничивающего поиски там,где можно искать. Только тогда, когда можно найти закон, правило, одно-значно определяющее поиски данного элемента, карта приобретает значение.Доказательство существования определённого элемента числового ряда,обладающего некоторым свойством, если это доказательство основано назаконах, определяющих построение числового ряда, только и даёт нам правоутверждать, что из демонстрации конкретного числа, удовлетворяющегосвойству F, следует, что такое число существует. При этом главное в том, чтотакое число приведено, а уж правило построение таких чисел имеет произ-водный характер. Закон, определяющий построение таких чисел, производен,уже хотя бы потому, что такое число приведено в качестве примера. Примерздесь имеет определяющее значение. Вывод, что такой пример существует, -производное1. Смысл такого производного примера заключается в том, чтомы можем абстрагироваться от конкретного, полученного нами примера, и1 Воспользуемся примером, приведённым М. Мэрионом: «Понять идею Вейля может помочьэлементарный пример, вроде теоремы Эвклида о бесконечности простых чисел. Теорема утверждает,что 'простых чисел больше любого заданного их количества'. Классическое доказательство строитсякак reduction ad absurdum. Начинаем с предположения, что существует наибольшее простое число рn.Следовательно, можно перечислить все простые числа: р1 … рn. Затем определяем число N: N = [р1 ××р2 × р3 × … × рn] + 1. Число N является либо простым, либо составным. Если оно простое, то мы при-ходим к противоречию, поскольку оно было бы больше, чем все простые числа, меньшие или равныерn, и простых чисел было бы больше чем n. Если оно является составным, то оно должно было бы безостатка делиться на простое число. Но этот простой делитель не может быть простым числом, мень-шим или равным рn, поскольку они оставляли бы в остатке 1. Следовательно, должно быть другоепростое число, большее чем рn. С точки зрения Вейля, утверждение 'существует простое число x,такое, что n < x ≤ N' выражает собственно суждение, поскольку N остаётся в рамках конечной облас-ти. Кроме того, доказательство даёт нам достаточно информации для того, чтобы найти следующеепростое число. Но если область бесконечна, как в случае утверждения 'существует простое число,такое, что n < x', демонстрация невозможна и утверждение не может быть интерпретировано каксокращение для бесконечной дизъюнкции: n + 1 является простым ∨ n + 2 является простым ∨ n + 3является простым ∨ n + 4 является простым ∨ …, и если говорящий не знает уже какого-то особогочисла х > n, относительно которого он может показать, что оно является простым, он не находится вситуации, чтобы утверждать ∃х F (х), поскольку это было бы неоправданным утверждением» [4.P. 86].утверждать только то, что такой пример мы можем привести. Если я утвер-ждаю, что существует чётное число, то это есть следствие, что суждение «2 -чётное число» является истинным. Это касается любых числовых последова-тельностей. Приписывание некоторого свойства определённому его членувсегда предшествует общему утверждению о существовании такого члена.Утверждение о существовании такого члена может иметь основание толькотогда, когда такой член мы можем привести в качестве примера, в качествечлена определённой последовательности. Но мы не всегда это можем сде-лать. И Вейль это подтверждает: «Действительно, мы говорили выше, когдаречь шла о числовых последовательностях и об определяющих их до беско-нечности законах: если нам удалось построить закон со свойством F, то мывправе утверждать, что существуют законы вида F; право утверждать это намможет дать только уже удавшееся построение; о возможности построениянет и речи. Но что же это за суждение, которое, взятое само по себе, лишеновсякого смысла, и получает смысл лишь на основании проведённого доказа-тельства, только и гарантирующего истинность суждения? Это вовсе не суж-дение, это абстракция суждения (Urtheilsabstrakt)» [9. C. 106]Что в таком случае означает 'абстракция суждения'? Абстракция сужде-ния есть основание сделать вывод. Этот вывод основывается только на том,что из установленной истинности или ложности суждения о конкретном слу-чае можно вывести обоснованность утверждения о существовании. Так, ис-тинное суждение «2 - чётное число» позволяет сделать вывод, что чётныечисла существуют. В свою очередь, утверждение о существовании являетсяоснованием предполагать, что искомое свойство может быть вообще предпи-сано числам натурального ряда. В противном случае оно не имеет никакогозначения. Эта абстракция является лишь свидетельством того, что мы всегдаможем получить конкретный пример, хотя бы уже тот, из которого это экзи-стенциальное утверждение было получено. Причём этот вывод сам по себе неимеет значимого характера, поскольку он зависит не от того, что объективноесть, но от того, что мы готовы объективно принять. Таким образом, экзи-стенциальные утверждения являются абстракциями суждения в том смысле,что они могут быть выведены из единичных суждений, но сами по себе онине имеют никакого значения, в частности, нельзя утверждать их истинностьили ложность. Экзистенциальные утверждения получают значения только врамках вывода следующего вида: φа → (∃х) . φх1.Подобные рассуждения касаются и общих утверждений. Как говоритВейль, «…точно так же общее высказывание "Каждое число обладает свой-ством F" (например, "Для каждого числа m мы имеем m + 1 = 1 + m") не яв-ляется вовсе действительным суждением, а только общим указанием на су-ждение (Anweisungen auf Urteile). Если я имею дело с каким-либо отдельнымчислом, например с числом 17, то из этого указания на суждение я могу вы-вести действительное суждение, именно, 17 + 1 = 1 + 17» [9. C. 106]. Анало-гия, которую приводит Вейль, уподобляет общие утверждения твёрдой обо-1 На то, что экзистенциальные и общие утверждения у Вейля должны рассматриваться не самипо себе, но только в рамках вывода подобного рода, первым обратил внимание У. Майер [8. P. 245] и[10. P. 177].лочке, в которую заключены плоды. Конечно, оболочка имеет значение, ноне сама по себе. Для того, чтобы 'вкусить плод познания', оболочку следуетразломать и извлечь из неё плоды. Таким образом, общие утверждения явля-ются указанием на суждения в том смысле, что из них вытекает многообразиеединичных суждений, но утверждать, что они истины сами по себе, не имеетсмысла. Как и экзистенциальные утверждения, они получают своё значениетолько в рамках вывода следующего вида: (x) . φx → φa.Подчёркивая сходство в функционировании экзистенциальных и общихутверждений, Вейль тем не менее фиксирует и различия: «Общие суждения,которые я выше называл указаниями на суждения, разделяют с собственнымисуждениями то свойство, что они самодовлеющи, они даже содержат в себебесконечную полноту действительных суждений. В этом отношении мыдолжны поставить общие суждения в один ряд с суждениями действитель-ными. Конечно, в отличие от последних мы не будем говорить об общих су-ждениях, что они истины, мы будем охотнее выражаться так: они правомер-ны, они содержат правовое основание для всех 'реализующихся' из них син-гулярных суждений. Наоборот, какое-нибудь экзистенциальное суждение,взятое само по себе, есть ничто; если суждение, из которого извлечена по-добная абстракция суждения, забыто нами или утеряно, то действительноничего не остаётся (если не иметь в виду, как мы говорили выше, стимуларазыскать суждение)» [9. C. 107] Однако несмотря на различия в способахфункционирования, пожалуй, для Вейля они сходны в главном. По сути дела,он отказывает общим и экзистенциальным утверждениям в объективнойоценке. Они не могут быть истинными или ложными сами по себе, они во-обще не могут быть истинными или ложными, поскольку применение общихи экзистенциальных утверждений зависит от когнитивной установки исполь-зующего их математика. Общее утверждение есть лишь основание для ис-тинностной оценки суждения, говорящего об отдельном примере. Как тако-вое оно не является совершенно неважным или бесполезным, оно оправдыва-ет переход к суждению о единичном случае и в этом своём качестве всё-такиоправдано как основание вывода. Но здесь главную роль играет когнитивнаяустановка, намерение использовать общее утверждение как основание истин-ностной оценки вытекающего из него действительного суждения. Точно также когнитивная установка оказывает решающую роль при использованииэкзистенциальных утверждений. Если невозможно привести пример единич-ного суждения и, стало быть, производного от него экзистенциального суж-дения, то это отнюдь не означает, что всеобщее значение имеет общее утвер-ждение. Даже если 'ничего' не остаётся, это не даёт основания для того, что-бы делать вывод о том, что известно всё, поскольку, по крайней мере, можетоставаться 'стимул разыскать суждение'.Из такого подхода к общим и экзистенциальным утверждениям вытекаютважные для логической теории следствия. Несмотря на формальное сходствоприведённых выше формул φа → (∃х) . φх и (x) . φx → φa с правилами класси-ческой кванторной логики, мы получаем систему, более слабую, чем класси-ческая кванторная логика. Связано это с тем, что подобные правила у Вейляесть реализация определённой когнитивной установки, которая делает не-применимыми многие принципы классической логики, поскольку общим иэкзистенциальным утверждениям отказывается в значимости самим по себе.Он, в частности, пишет: «Наше учение об общих и экзистенциальных сужде-ниях не носит вовсе расплывчато-неопределенного характера, это ясно хотябы потому, что из него тотчас же вытекают важные, строго логические выво-ды. И, в первую очередь, тот вывод, что совершенно бессмысленно отрицатьподобные суждения, вывод, с которым отпадает возможность применения кэтим суждениям аксиомы исключительного третьего» [9. C. 107]. Действи-тельно, если математик не располагает примером φa и, следовательно, не мо-жет сделать вывод, что (∃х) . φ

Ключевые слова

логицизм, интуиционизм, общие и экзистенциальные утверждения, вариативные гипотетические выражения, logicism, intuitionism, general and existential statements, variable hypothetical

Авторы

ФИООрганизацияДополнительноE-mail
Суровцев Валерий АлександровичНациональный исследовательский Томский государственный университетдоктор философских наук, профессор кафедры истории философии и логикиsurovtsev1964@ mail.ru
Эннс Ирина АндреевнаНациональный исследовательский Томский государственный университеткандидат философских наук, доцент кафедры истории философии и логикиirnns609@yandex.ru
Всего: 2

Ссылки

Ramsey F.P. The Foundation of Mathematics and Other Logical Essays. London: Routledge and Kegan Paul, 1931.
Russell B. Critical Notice on «The Foundation of Mathematics and Other Logical Essays» by F.P. Ramsey // Mind. 1931. Vol. 40, № 160. P. 476-482.
Braithwaite R. Editor Introduction // Ramsey F.P. "The Foundation of Mathematics and Other Logical Essays". London: Routledge and Kegan Paul, 1931. P. IX-XIV.
Marion M. Wittgenstein, Finitism and the Foundations of Mathematics. Oxford: Clarendon Press, 1998.
Рамсей Ф.П. Философские работы. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2003.
Толстой Л.Н. Собрание сочинений в двадцати томах. М.: Художественная лит-ра, 1964. Т. 12.
Sahlin N.-E. 'HE IS NO GOOD FOR MY WORK': On the Philosophical Relations between Ramsey and Wittgenstein // Knowledge and Inquiry: Essays on Jaakko Hintikka's Epistemology and Philosophy of Science. Rodopi, Amsterdam, 1997. P. 61-84.
Majer U. Ramsey's Conception of Theories: an Intuitionistic Approach // History of Philosophy Quarterly. 1989. Vol. 6, № 2, Р. 233-258.
Вейль Г. О философии математики. М.: КомКнига, 2005.
Majer U. Ramsey's Theory of Truth and the Truth of Theories: A Synthesis of Pragmatism and Intuitionism in Ramsey's Last Philosophy // Theoria. 1991. Vol. LVII. Part 3. P. 162-195.
Ramsey F.P. Notes on Philosophy, Probability and Mathematics. Napoli: Bibliopolis, 1991.
Holton R., Price H. Ramsey on Saying and Whistling: A Discordant Note // Nous. 2003. Vol. 37. Issues 2, P. 325-341.
Крипке С. Витгенштейн о правилах и индивидуальном языке. М.: Канон +, 2010.
Витгенштейн Л. Философские исследования // Витгенштейн Л. Философские работы. М.: Гнозис, 1994. Ч. 1.
Ramsey F.P. On Truth. - Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, The Netherlands, 1991.
 Ф.П. Рамсей и интуиционизм Г. Вейля | Вестн. Том. гос. ун-та. Философия. Социология. Политология. 2012. № 2 (18).

Ф.П. Рамсей и интуиционизм Г. Вейля | Вестн. Том. гос. ун-та. Философия. Социология. Политология. 2012. № 2 (18).

Полнотекстовая версия