К вопросу о дисперсии электромагнитных, упругих и диффузионных волн в кристаллических твердых телах | Изв. вузов. Физика. 2019. № 3. DOI: 10.17223/00213411/62/3/76

К вопросу о дисперсии электромагнитных, упругих и диффузионных волн в кристаллических твердых телах

Найдены дисперсионные зависимости частот собственных колебаний электромагнитных, упругих и диффузионных волн. Анализ основан на выводе общего инвариантного выражения для плотности функции Лагранжа в квадратичном по вектору деформаций внутренних точек упругодеформируемого тела, по потенциалам электромагнитного поля и и по концентрации диффундирующего вещества при учете их связи друг с другом. Благодаря методу наименьшего действия получены четыре связанных между собой линейных дифференциальных уравнения, из решения которых найдены все четыре спектра связанных частот , где индекс , а волновой вектор. Отмечено, что найденные дисперсии играют важную роль в квантовом случае, если учитываются взаимодействия между всеми четырьмя составляющими, когда знание зависимостей необходимо.

To the question of dispersion of electromagnetic, elastic and diffusion waves in crystalline solids.pdf Настоящее исследование является логическим продолжением нашей предыдущей работы [1], в которой были рассмотрены собственные термоупругие колебания, всегда имеющие место в условиях нагрева или охлаждения упругодеформируемых твердых тел. Здесь речь пойдет о несколько похожем явлении. Мы будем решать задачу, связанную с подробным аналитическим описанием связанных между собой упругих, электромагнитных (ЭМ) и диффузионных колебаний, которые всегда имеют место в любых твердых кристаллических (да и не только) упругодеформируемых телах в условиях проявления внутреннего диффузионного потока вещества. Стоит подчеркнуть, что подобная корреляция всегда имеет место и является проявлением обычных природных свойств любых твердых тел. В этой связи стоит отметить, что учет корреляционной связи между упругими деформациями, диффузионными потоками и ЭМ-волнами чрезвычайно важен именно в том случае, если речь заходит о квантовых эффектах взаимодействия, к примеру, между фононами и фотонами в кристаллических твердых телах [2]. В отсутствие диффузионных потоков, влияние которых на деформацию металлических тел было замечено еще в 60-х годах прошлого столетия (см., к примеру, работы [3, 4]), чисто упругие ЭМ-колебания изучались примерно в то же самое время и также насчитывают массу публикаций по этой теме. Множество исследований по теме термоупругодиффузионных волн довольно подробно отражены, например, в монографиях [5, 6], а также в публикациях [7-21]. Что же касается вопросов, связанных с исследованием упругих, электромагнитных и диффузионных волн, то этот вопрос не был отражен ни в одной из известных нам публикаций и к настоящему моменту времени является открытым. Именно по этой простой причине мы и решили остановиться на подробном описании таких связанных колебаний в силу актуальности вышеназванной проблемы. Для решения поставленной задачи весьма удобно воспользоваться методом наименьшего действия Лагранжа. Представим с этой целью плотность функции Лагранжа упругодеформиру¬емого тела при учете ЭМ-полей и диффузионного потока в следующем инвариантном виде: (1) где вектор деформационного сдвига; магнитный потенциал; скалярный потенциал; концентрация диффундирующих частиц; плотность электрических зарядов; скорость света в вакууме; плотность тела; скорость заряженных частиц (если они движутся); коэффициент всестороннего сжатия; коэффициент объемного расширения тела; температура; энтропия; давление; диэлектрическая проницаемость; магнитная. Первое слагаемое представляет собой обычную кинетическую энергию элемента объема деформируемого тела, второе слагаемое есть просто плотность функции Лагранжа электромагнитного поля [22], плотность упругой энергии (см. формулу (2)), четвертое и пятое слагаемые представляют собой работу, взятую с противоположным знаком, связанную с перемещением зарядов под воздействием электрического и магнитного полей (то есть благодаря силе Лоренца), шестое слагаемое описывает феноменологическое взаимодействие между деформациями и градиентом концентрации диффундирующего вещества, седьмое слагаемое характеризует собой термоупругое взаимодействие (см. [6]), предпоследнее слагаемое описывает взаимодействие типа плотность - плотность и, наконец, последний член описывает работу (с обратным знаком), совершаемую силой Лоренца над потоком диффундирующего вещества. Отметим, что слагаемое, пропорциональное градиенту температуры, отвечает за термоупругие деформации, которые были подробно описаны в работе [1]. Поэтому ниже слагаемым с градиентом температуры мы будем пренебрегать и считать, что температура вдоль тела постоянна. Функция (2) представляет собой плотность свободной энергии упругодеформируемого тела [6], где мо¬дуль сдвига. Электрическое поле . (3) Магнитная индукция . (4) Далее, параметр, имеющий размерность энергии , представляет собой некоторую характерную энергию, обеспечивающую инвариантную по отношению к операции инверсии времени и координат связь между вектором деформации и градиентом концентрации. По физическому смыслу она представляет собой работу, которая производится градиентом концентрации на длине деформации . Ее можно определить в виде , (5) где величина представляет собой параметр длины, модуль упругости Юнга, а безразмерный числовой коэффициент характеризует взаимодействие концентрации с вектором смещения . Вполне аналогично можно ввести и коэффициент как , (6) а также коэффициент как . (7) Заметим, что определения (5) - (7) формально означают, что если концентрация не учитывается, то следует перейти к пределу и просто устремить параметр к нулю. Подставляя (2) - (4) в выражение (1) и записывая функционал действия в виде , (8) где плотность функции Лагранжа после простого вычисления вариаций по переменным соответственно элементарно получается следующая система из четырех связанных между собой уравнений: (9) где поперечная скорость звука введена согласно определению . Заметим, что при получении уравнений (9) в соответствии с функционалом (8), там, где это было необходимо, мы использовали правило интегрирования по частям, а на границах областей (как по времени, так и по координатам) полагали соответствующие вариации равными нулю. Обратим также внимание на следующий момент: если параметр связи устремить к нулю, в соответствии с определениями (5) - (7), то нижнее уравнение просто исчезнет, поскольку его можно записать в приведенном виде лишь при выполнении условия , и у нас останутся, как и должно быть, только три верхних связанных между собой электромагнитно-упругих уравнения. Далее, поскольку , а , с учетом условия калибровки ЭМ-потенциалов из системы (9) окончательно находим (10) Чтобы теперь ответить на поставленный в начале статьи вопрос о дисперсии связанных упругих, ЭМ- и диффузионных волн для полученной системы (10), необходимо, воспользовавшись линейностью уравнений, предварительно записать их решение в аддитивном виде, а именно как (11) где введенные новые векторные и скалярные функции подчиняются соответственно системам уравнений (12) (где учтено, что ) и (13) Для вычисления собственных дисперсионных частот колебаний, определяемых всеми входящими в систему (13) функций, нам следует воспользоваться только ее фундаментальным решением. Полагая с этой целью правую часть верхнего уравнения равной нулю и считая, что скорость , получаем (14) Будем искать решение уравнений (14) в виде . (15) Подставляя зависимости (15) в уравнения (14), получаем следующую систему линейных алгебраических уравнений: (16) Выражая из нижних трех уравнений через , то есть , где коэффициенты (17) и подставляя в верхнее уравнение системы (16), получаем простое алгебраическое уравнение , (18) где коэффициенты (19) После приравнивания определителя системы уравнений (18) к нулю получаем следующее дисперсионное уравнение на частоты связанных упругих, ЭМ- и диффузионных колебаний: . (20) Из уравнения получается простое биквадратное уравнение , из решения которого немедленно следуют две собственные частоты ЭМ- и поперечных акустических волн, на которые диффузия не оказывает влияния. Соответственно имеем для них . (21) Из (21) видно, что если плотность зарядов , то немедленно получаются две независимые частоты. Электромагнитная дисперсия и поперечная акустическая дисперсия звуковых волн , так же как и в [5]. Второе решение, которое следует из дисперсионного уравнения (20), есть . (22) Если подставить сюда явные выражения для и в соответствии с их определениями из (19), то с учетом (17) после несложных алгебраических преобразований приходим к промежуточному уравнению (23) где было учтено, что продольная скорость звука, согласно определению, есть . Как видно из уравнения (23), в условиях отсутствия диффузионных потоков, то есть при (причем заметим, что, согласно определениям (5) - (7), следует считать, что ) мы получим из него следующее дисперсионное уравнение: (24) Отсюда следует, что и (ср. с [5]) . (25) Если электрострикционная связь отсутствует, то есть , то из (25) немедленно следует спектр продольных упругих волн . Для того чтобы выяснить влияние диффузионного механизма на спектры ЭМ- и упругих колебаний, а также получить его собственный закон дисперсии, в уравнении (23) удобно выделить малую добавку, связанную с учетом диффузионного взаимодействия. В итоге получаем (26) Поскольку безразмерный параметр мал, то три действительных решения уравнения (26) можно легко найти приближенно. Как это явствует из уравнения (26), спектр ЭМ-волн остается неизменным и всегда имеет обычный вид . Что касается дисперсии упругих продольных деформационных волн и диффузионных, то их легко найти аналитически, воспользовавшись простым способом. В самом деле, для вычисления поправки к дисперсии продольных упругих волн, обусловленной диффузионным потоком, положим, что . (27) Подставляя (27) в уравнение (26), находим Здесь мы воспользовались условием и пренебрегли соответствующими слагаемыми. Следовательно, искомая поправка будет . (28) Подставляя (28) в (27), находим искомую дисперсию, слегка «подпорченную» диффузионным потоком: . (29) Как видно из решения (29), возможна ситуация, когда диффузионный поток, подхватываемый ЭМ-волнами, может сильно повлиять на скорость распространения продольных упругих волн, поскольку, согласно (29), она определяется благодаря соотношению . (30) То есть эффект весьма ощутимый. Прежде чем переходить к вычислению дисперсионной зависимости, обязанной только диффузионному потоку, но учитывающему влияние ЭМ-волн и упругих, нам необходимо предварительно переписать уравнение (26) в виде алгебраического уравнения шестого порядка. В результате довольно громоздких вычислений получаем , (31) где функции (32) Для решения уравнения (31) положим, что , (33) где параметры и следует определить. Подставляя (33) в уравнение (31) и пренебрегая всеми слагаемыми, нелинейными по и , получаем . (34) В линейном приближении по малым параметрам из (32) найдем (35) где (36) Подставляя функции (35) в уравнение (34), в линейном приближении по будем иметь . И отсюда, если воспользоваться определениями (36), получаем . (37) Таким образом, с учетом взаимодействия между всеми тремя подсистемами, дисперсии собственных частот колебаний, согласно (21), (29) и (37) и с учетом явного выражения для из (17), будут следующими: (38) Таким образом, как и должно быть, в соответствии с решениями (38), самая высокая частота собственных колебаний принадлежит ЭМ-волнам, а самая низкая - диффузионным. Две средние частоты характеризуют продольные и поперечные акустические волны, законы дисперсии которых учитывают взаимодействия с ЭМ-колебаниями и диффузионными потоками. Численное решение безразмерного уравнения (31) , (39) где приводит к трем типам спектров, показанных на рис. 1, качественно совпадающих с аналитическими решениями (21) и (37). Рис. 1. Численное решение алгебраического уравнения (39) для параметров Из приведенного рис. 1, а, как это и должно быть, видно вполне удовлетворительное качественное и количественное совпадение с полученными аналитическим путем результатами (21) и (37). На рис. 1, б показаны все четыре типа возможных линейных дисперсий при больших , которые соответствуют численному решению дисперсионного уравнения (39). Кривая 1 соответствует линейной зависимости электромагнитного спектра , кривые 2 и 3 описывают зависимости поперечной и продольной акустической волны соответственно, то есть , а кривая 4 характеризует дисперсию волны диффузии , где - фазовая скорость диффузионной волны. Подчеркнем, что приведенные на рис. 1, б линейные функции характеризуют частотные зависимости при относительно больших значениях волнового вектора . В заключение работы еще раз остановимся на полученных результатах и кратко сформулируем итоги проведенного исследования: 1. Найдена функция Лагранжа, описывающая связь между ЭМ, упругими и диффузионными колебаниями, которая в предельном случае отсутствия диффузионных потоков переходит в обычную электрострикционную функцию Лагранжа. 2. Из принципа наименьшего действия путем варьирования по соответствующим переменным, получена система из четырех связанных между собой дифференциальных уравнений. 3. Благодаря решению полученной системы линейных дифференциальных уравнений аналитически найдены приближенные дисперсионные зависимости для всех четырех собственных частот колебаний. 4. Показано, что на поперечную частоту упругих волн для изотропной среды диффузия не влияет, тогда как на продольную она оказывает существенное воздействие.

Ключевые слова

Lagrange’s function, concentration, deformation, dispersion, EM potentials, функция Лагранжа, концентрация, деформация, дисперсия, ЭМ-потенциалы

Авторы

ФИООрганизацияДополнительноE-mail
Гладков Сергей ОктябриновичМосковский авиационный институт (национальный исследовательский университет)д.ф.-м.н., профессорsglad51@mail.ru
Всего: 1

Ссылки

Левинский Ю.В., Лебедев М.П. // Доклады Академии наук. - 2014. - Т. 456. - Вып. 4. - С. 417-419.
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. - М.: Наука, 2002. - 520 с.
Кумар Р., Кансал Т. // Известия РАН. МТТ. - 2012. - Вып. 3. - С. 93-115.
Aouadi M. // J. Thermal Stress. - 2008. - V. 31. - P. 270-285.
Kumar R. and Kansal T. // Int. J. Solids Struct. - 2008. - V. 45. - P. 5890-5913.
Sherief H.H., Hamza F., and Saleh H. // Intern. J. Eng. Sci. - 2004. - V. 42. - P. 591-608.
Sherief H.H. and Saleh H.A. // Int. J. Solids Struct. - 2005. - V. 42. - P. 4484-4493.
Singh B. // J. Earth Syst. Sci. - 2005. - V. 114. - No. 2. - P. 159-168.
Singh B. // J. Sound Vibrat. - 2006. - V. 291. - No. 3-5. - P. 764-778.
Aouadi M. // ZAMP. - 2006. - V. 57. - No. 2. - P. 350-366.
Aouadi M. // J. Thermal Stress. - 2007. - V. 30. - P. 665-678.
Gawinecki J.A., Kacprzyk P., and Bar-Yoseph P. // J. Anal. Appl. - 2000. - V. 19. - P. 121-130.
Gawinecki J.A. and Szymaniec A. // Proc. Appl. Math. Mech. - 2002. - V. 1. - P. 446-447.
Nowacki W. // Engin. Fract. Mech. - 1976. - V. 8. - P. 261-266.
Гуревич В.Л. Кинетика фононных систем. - М.: Наука, 1981.
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости. Т. 6. - М.: Наука, 1988.
Lord H.W. and Shulman Y.A. // J. Mech. Phys. - 1967. - V. 15. - P. 299-309.
Nowacki W. // Bull. Polish Acad. Sci. Ser. Sci. and Technol. - 1974. - V. 22. - P. 55-64.
Горский В.С. // ЖЭТФ. - 1936. - Т. 6. - С. 272-284.
Займан Дж. Принципы теории твердого тела. - М.: Мир, 1974.
Gorsky W.S. // Phys. Zs. Sowjet. - 1935. - V. 8. - P. 457- 462.
Гладков С.О. // Изв. вузов. Физика. - 2016. - Т. 59. - № 8. - С. 129-133.
 К вопросу о дисперсии электромагнитных, упругих и диффузионных волн в кристаллических твердых телах | Изв. вузов. Физика. 2019. № 3. DOI:  10.17223/00213411/62/3/76

К вопросу о дисперсии электромагнитных, упругих и диффузионных волн в кристаллических твердых телах | Изв. вузов. Физика. 2019. № 3. DOI: 10.17223/00213411/62/3/76