К вопросу о вычислении постоянной экранирования и энергии двухэлектронного атома | Изв. вузов. Физика. 2019. № 2.

К вопросу о вычислении постоянной экранирования и энергии двухэлектронного атома

С использованием результатов ранее опубликованной работы автора получены общие выражения для энергии и постоянной экранирования для двухэлектронного атома при произвольных наборах квантовых чисел электронов. В частном случае основного состояния атома из общих формул получается известный классический результат.

To the question of the calculation of permanent screening and energy of a two-electron atom.pdf Введение Наиболее эффективным приемом решения квантово-механического аналога классической задачи трех тел - вычисление значения энергии двухэлектронного атома - является вариационный метод Хиллерааса [1, 2] и его различные модификации, включая увеличение числа варьируемых параметров [3]. Применение этого метода к расчету энергии и постоянной экранирования для основного состояния атома гелия c электронами в состояниях , дает согласующийся с экспериментом результат (см., например, [4, 5]). Представляет интерес распространение этого метода и на произвольные состояния электронов в общем случае двухэлектронного атома с любым и т.д.), включающих, как частный случай, рассмотренное ранее основное состояние атома гелия ( ). Это и является предметом обсуждения в данной работе. Мы будем использовать также результаты одной из предыдущих наших работ [6]. 1. Взаимодействие электронов. Поправка к энергии атома Полная энергия двухэлектронного атома складывается из энергии атомных электронов в поле ядра со значением , , , (1) и энергии взаимодействия электронов , являющейся, вообще говоря, поправкой к , но тем не менее сравнимой по величине с , в связи с чем вместо теории возмущений и был предложен вариационный метод, применяемый далее в п. 2 с параметром варьирования с заменой в волновых функциях и с использованием общих результатов нашей работы [6] применительно к рассматриваемой задаче. Значение , как известно [4, 5], равно (знаки « », « » соответствуют синглетным и триплетным состояниям) , (2) где - усредненная энергия кулоновского взаимодействия: , (3а) а - т.н. обменная энергия, не имеющая классического аналога: . (3б) Символами , здесь для краткости обозначены наборы квантовых чисел электронов, а волновая функция электрона в поле ядра равна [5] . (4) Факторизованная зависимость от сферических координат определяется выражениями , (5а) , , (5б) , (5в) (5г) (F - вырожденная гипергеометрическая функция; - символ Кронекера); , (6а) (6б) (6в) - нормированные присоединенные полиномы Лежандра); , (7а) . (7б) Для дальнейшего удобства в (3а), (3б) следует перейти к безразмерным переменным и функциям: , (8) ; (8a) , (9) . (9а) Здесь обозначено , , а функции отличаются от (4), (5а) - (5г) заменой с опусканием множителя . Используя тогда представление (4) этих функций с учетом (5а), (6а), (7а), получаем ; (10) (11а) . Если использовать формулу Эйлера , то легко видеть, что мнимая часть (11а) в любом случае ( ) обращается в нуль, как и должно быть, т.е. можно заменить , так что получаем аналогично представлению (10) . (11б) При получении (10), (11б) мы учли, что двойной интеграл по сферическим углам, например, в (11б) сводится к , поскольку подынтегральное выражение зависит только от разности (обозначенной после замены переменной как с последующим «холостым» интегрированием по , дающим фактор ), причем пределы интегрирования не меняются (см. по этому поводу, например, [7]). 2. Вариационный метод: энергия двухэлектронного атома и постоянная экранирования В целях дальнейшего удобства введем следующие обозначения. Полную среднюю кинетическую энергию электронов в двухэлектронном атоме в выражении через параметр варьирования можно записать, как это следует из результата нашей работы [6], согласно которому для любых наборов квантовых чисел, в виде , (12) . (12а) С этим же обозначением (12а) средняя полная потенциальная энергия электронов в поле ядра в функции от параметра варьирования, согласно результату этой же работы, равна . (12б) В соответствии с введенными обозначениями энергия двухэлектронного атома в функции от параметра с учетом (2), (8), (9), (12а), (12б) может быть записана в виде , (13) где , (13а) а значение отличается от (12а) опусканием фактора . Далее, в соответствии с идеей вариационного метода [2, 3] (см. также [4, 5]), истинное значение энергии двухэлектронного атома соответствует величине (13) в минимуме этого выражения (при значении ), т.е. . Исследуя его на минимум согласно соотношению , находим , , (14) а значение энергии в результате простого вычисления при этом получается таким: . (15) Из сравнения с энергией атома без учета взаимодействия электронов следует, что величину следует интерпретировать как постоянную экранирования, учитывающую взаимное влияние электронов, эффективно уменьшающее заряд ядра. 3. Обсуждение Формулы (10), (11а), (14), (15), как уже упоминалось, в рамках вариационного метода приблизительно справедливы для любых наборов квантовых чисел электронов , . В иллюстративных целях и для контроля вычислений рассмотрим частный случай основного состояния двухэлектронного атома с одинаковыми наборами квантовых чисел электронов . Как известно [4, 5], в этом случае вклад в энергию дает только . Для преобразования интеграла (10) заметим, что выражение в круглых скобках в (10) под знаком квадратного корня есть просто , где - угол между векторами ( и ). Выбирая далее , видим, что подынтегральное выражение с учетом значения не зависит от , так что интегрирование по этим переменным является «холостым», давая фактор . С учетом вида функции [5] последующее интегрирование является достаточно элементарным (см. также [4, 5]) и приводит к результату . Принимая во внимание значение в основном состоянии , находим, согласно (14), . Данные результаты совпадают с классическими, приведенными в этих же книгах. Несколько более громоздкой является процедура вычисления энергии и постоянной экранирования в возбужденных состояниях двухэлектронного атома с «энергетическими» квантовыми числами электронов Этот результат, ввиду его очевидной важности применительно к атому гелия, мы планируем опубликовать отдельно.

Ключевые слова

energy, screening constant, any sets of quantum numbers, two-electron atom, постоянная экранирования, энергия, любые наборы квантовых чисел, двухэлектронный атом

Авторы

ФИООрганизацияДополнительноE-mail
Скобелев Владимир ВасильевичМосковский политехнический университетд.ф.-м.н., профессорv.skobelev@inbox.ru
Всего: 1

Ссылки

Скобелев В.В. // Изв. вузов. Физика. - 2017 - T. 60. - № 6. - C. 22-31.
Скобелев В.В. // Изв. вузов. Физика. - 2018. - T. 61. - № 12. - C. 11-13.
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. III. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. - М.: Физматлит, 1974.
Chandrasechar S. // Astrophys. J. - 1944 - V. 100. - P. 176.
Соколов А.А., Лоскутов Ю.М., Тернов И.М. Квантовая механика. - М.: Учпедгиз, 1962.
Hylleraas E.A. // Z. Phys. - 1930. - V. 63. - P. 771.
Hylleraas E.A. // Z. Phys. - 1930. - V. 63. - P. 291.
 К вопросу о вычислении постоянной экранирования и энергии двухэлектронного атома | Изв. вузов. Физика. 2019. № 2.

К вопросу о вычислении постоянной экранирования и энергии двухэлектронного атома | Изв. вузов. Физика. 2019. № 2.