Расчет прецессии перигелия Меркурия в рамках обобщенного закона всемирного тяготения с учетом эллиптичности орбит планет | Изв. вузов. Физика. 2019. № 2.

Расчет прецессии перигелия Меркурия в рамках обобщенного закона всемирного тяготения с учетом эллиптичности орбит планет

Проведено численное моделирование прецессии перигелия орбиты Меркурия в рамках обобщенного закона всемирного тяготения в поле тяготения Солнца и планет с учетом эллиптичности орбит планет и новых данных о сплюснутости и массе Солнца и гравитационной постоянной. Расчеты проведены с повышенной точностью (до 19-20 знаков) вычисления с шагом итерации 0.00005 с - начиная с пояса астероидов с шагом итерации 0.0001 с. Показано, что средняя прецессия перигелия орбиты Меркурия за 100 лет в рамках обобщенного закона всемирного тяготения (усредненная за большой промежуток времени - сотни, тысячи лет) с учетом эллиптичности орбит планет составляет ~ 554.2 ''. Это меньше наблюдаемого смещения перигелия орбиты Меркурия на ~ 19.9 '' . Наблюдаемое смещение, как известно, ~ 574.1 '' . То есть вопрос о соответствии обобщенного закона всемирного тяготения наблюдательным пока остается открытым. Но не исключено, что внутри орбиты Меркурия может находиться еще один какой-то объект (или несколько объектов) малого размера, а в диаметрально противоположной точке земной орбиты за Солнцем в «слепой зоне» может существовать еще один какой-то объект, масса которого, по крайней мере, не должна превышать ~ 0.2 массы Земли. Полученные результаты верны с точностью до 1-2 знака после запятой.

Calculation of the precession of perigelia of mercury within the framework of the generalized law of the world potential.pdf В работе [1] автором было предложено обобщение закона всемирного тяготения Ньютона на случай движущихся гравитационных масс. Обобщение базировалось на аналогии гравитации с электродинамикой Максвелла, где в качестве зарядов рассматривались мнимые гравитационные заряды , где i - мнимая единица, m - собственная масса (масса покоя) тела, совпадающая с ньютоновской массой, G - гравитационная постоянная, являющиеся источниками мнимого гравитационного поля. Мнимость заряда, введенная автором, отражает тот факт, что истинных гравитационных зарядов в природе, по-видимому, не существует. Автор предполагает, что существует какое-то остаточное некомпенсированное поле, скорее всего, электромагнитного происхождения. Как и в электродинамике, предполагается, что гравитационные заряды могут быть двух сортов: один - для материи , другой - для антиматерии . Одноименные заряды притягиваются, разноименные отталкиваются. Для мнимого гравитационного поля, движущегося со скоростью v гравитационного заряда , как и для электрического поля в электродинамике (если пренебречь членами второго порядка малости), справедливо выражение , (1) где g - величина гравитационного поля в точке наблюдения r, а для мнимого гравимагнитного поля выражение , (2) где H - величина гравимагнитного поля в точке наблюдения r; - угол между вектором скорости v заряда и радиус-вектором r наблюдения. Выражение (1) и (2) в векторном виде можно переписать так: ; (3) . (4) В рамках обобщенного закона всемирного тяготения сила (по аналогии с силой Лоренца), действующая в этом поле на другой движущийся со скоростью мнимый гравитационный заряд , как и в электродинамике Максвелла, также описывается формулой . (5) Только в отличие от электродинамики между двумя параллельно движущимися гравитационными зарядами одного знака возникает не сила притяжения, а сила отталкивания. Преимуществом предложенного подхода является то, что системы, скрепленные гравитационными силами (планеты, звезды, галактики и т.д.), и системы, скрепленные между собой электромагнитными силами (тела, предметы и т.д.), ведут себя одинаковым образом. Обе системы, например, при движении будут испытывать одинаковое лоренцевское сокращение, а электричес¬кий q и гравитационный заряды можно объединить в один комплексный, точнее, в векторный заряд , а заряды при этом можно перемножать только скалярно. Кроме того, сила отталкивания позволяет объяснить ускоренное расширение Вселенной. В работе [2] для проверки соответствия предложенного обобщенного закона всемирного тяготения наблюдательным данным автором было проведено (методом средней точки) численное моделирование прецессии перигелия орбиты Меркурия в поле тяготения Солнца и планет в рамках обобщенного закона всемирного тяготения. Расчеты были проведены с повышенной точностью (до 19-20 знаков) вычисления и с шагом итерации 0.0005 с. Для среднего смещения перигелия орбиты Меркурия за 100 лет (усредненного за большой промежуток времени - сотни, тысячи лет) было получено значение ~ +560.3'', что меньше наблюдаемого значения примерно на 13.8''. Наблюдаемое смещение, точнее, динамическая составляющая смещения, по современным данным [3], ~ +574.1'' (к сожалению, из самой работы [3] не понятно, как была получена эта величина - в результате усреднения за несколько столетий наблюдения или это только за последнее столетие). Для G было принято значение 6.67258•10-8 дин•см2/г2. В работе [4] исследование было продолжено и было проведено численное моделирование (также с шагом итерации 0.0005 с и также с повышенной точностью вычисления) прецессии перигелия орбиты Меркурия в рамках обобщенного закона всемирного тяготения, но уже с учетом Луны и сжатия Солнца. Для среднего смещения перигелия орбиты Меркурия за 100 лет было получено значение ~ +562.2'', что меньше наблюдаемого значения примерно на 11.9''. В работе [5] было проведено численное моделирование (также с шагом итерации 0.0005 с и также с повышенной точностью вычисления) прецессии перигелия орбиты Меркурия в рамках обобщенного закона всемирного тяготения уже с учетом силы давления солнечного света и температуры Меркурия. Для среднего смещения перигелия орбиты Меркурия за 100 лет было получено значение ~ +562.2'', что меньше наблюдаемого значения примерно на 11.9''. То есть было показано, что сила давления солнечного света и температура Меркурия практически не влияют на поведение орбиты Меркурия. В работе [6] было проведено численное моделирование прецессии перигелия орбиты Меркурия уже с шагом итерации 0.0002 с и с новыми уточненными данными параметров орбит планет, а также Солнца и гравитационной постоянной G (для G было принято рекомендованное CODATA в 2010 г. значение 6.67384•10-8 дин•см2/г2) и с учетом влияния малых планет Солнечной системы. Для среднего смещения перигелия орбиты Меркурия за 100 лет было получено значение ~ 565.3'', что меньше наблюдаемого значения примерно на 8.8''. К сожалению, расчеты в [2-6] были проведены в приближении круговых орбит планет, тогда как в действительности орбиты планет эллиптические. Кроме того, сплюснутость Солнца в [6] была завышена в 4 раза (хотя этот вопрос спорный), была завышена также и масса Солнца. Кроме того, CODATA в 2015 г. принял для гравитационной постоянной G новое рекомендованное значение 6.67408•10-8 дин•см2/г2. В связи с этим было принято решение продолжить исследование и провести численное моделирование прецессии перигелия орбиты Меркурия также в рамках обобщенного закона всемирного тяготения и также с повышенной точностью вычисления, но с учетом эллиптичности орбит планет и новых данных о сплюснутости и массе Солнца и гравитационной постоянной G, и сравнить полученный результат с наблюдательными данными. Вычисление было принято проводить с шагом итерации 0.00005 с (это предельное разрешение, дальше начинает сказываться погрешность вычисления, точность вычисления в Delphi 19-20 знаков), а начиная с пояса астероидов - с шагом итерации 0.0001 с. Для гравитационной постоянной G было принято значение 6.67408•10-8 дин•см2/г2, а для числа положений планет на орбите - 64. Но так как все расчеты (из-за экономии времени) во всех работах были проведены методом полупериода движения Меркурия - это когда вычисления проводятся только от перигелия до афелия, т.е. пока Меркурий не достигнет точки афелия орбиты после полуоборота вокруг Солнца и не наступит , а результаты умножаются на 2 и 415, в данной работе расчеты было принято проводить методом полного периода движения Меркурия - это когда расчеты проводятся полностью от перигелия до перигелия, пока Меркурий не достигнет точки перигелия орбиты после полного оборота вокруг Солнца и не наступит , а результаты умножаются на 415 (точнее, на 415.2). Как показывают расчеты, результаты при этом получаются более точными - смещение перигелия орбиты Меркурия (относительно оси x) не равно удвоенному значению смещения афелия. Естественно, время счета при этом увеличивается в 2 раза. Пусть, как и в предыдущих работах, ускорение , приобретаемое телом массой , движущимся со скоростью , и сила , действующая на это тело, связаны формулой , (6) или, если поделить на , формулой , (7) где - удельная сила, действующая на единицу массы этого тела. В координатном виде (в плоскости ) это можно переписать так: (8) Пусть, как и в предыдущих работах, имеется мировая инерциальная система отсчета (ИСО) S, покоящаяся относительно абсолютного мирового пространства-эфира (рис. 1). (В действительности, как уже говорилось в предыдущих работах, Солнце вместе с солнечной системой, по-видимому, движется в пространстве со скоростью ~ 360 км/с.) Пусть, как и в предыдущих работах, ось x (в плоскости страницы) направлена вправо, ось z вверх (ось y, очевидно, направлена от читателя). Пусть в начале координат ИСО S находится (неподвижно) Солнце. Массу Солнца примем 1.9885•1033 г, радиус - 6.9551•1010 см. Пусть вращение Солнца происходит в плоскости страницы (в плоскости ) против часовой стрелки, а y-компонента угловой скорости вращения Солнца вокруг оси равна -2.865•10-6 рад/с (по данным ученых из калифорнийского университета ядро Солнца, по-видимому, вращается примерно в 4 раза быстрее). Степень полярного сжатия (сплюснутости) Солнца обозначим через , где , а по данным со спутника RHESSI ~ 1.3•10-5. Для светимости Солнца примем 3.828•1033 эрг/с. Рис. 1 Радиус-вектор и скорость Меркурия обозначим через , радиус-вектор и скорость n-планеты с массой - через . Радиус n-планеты обозначим через , y-компоненту угловой скорости вращения планеты вокруг оси - через . Радиус-вектор, направленный из n-точки в точку 1, очевидно, есть . Планеты, как и в предыдущих работах, пусть обращаются вокруг Солнца в плоскости страницы против часовой стрелки. Взаимный наклон орбит планет рассматривать не будем, так как это вряд ли существенно изменит результаты. Только в отличие от предыдущих работ, где рассматривалось движение планет по среднегеометрическим круговым орбитам (среднегеометрический радиус орбит планет вычисляется по формуле , где - большая полуось орбиты n-планеты; - эксцентриситет орбиты), рассмотрим движение планет по эллиптическим орбитам. Число положений n-планеты на орбите примем 64, где n - порядковый номер планеты. Вращение планет, очевидно, происходит также примерно в плоскости страницы (в плоскости ), кроме Урана. Ось Урана, как известно, лежит в плоскости орбиты (т.е. на боку) и составляющая гравимагнитной силы в плоскости страницы равна нулю и не оказывает влияние на прецессию перигелия орбиты Меркурия. Положения n-планеты на орбите, как и в предыдущих работах, также будем считать фиксированными, т.е. как бы не меняющимися во времени и находящимися на равных отрезках времени друг от друга (разделенных в данном случае на 64 части), а углы (отсчитываются от перигелия против часовой стрелки, т.е. от линии апсид) в собственной системе отсчета эллиптической орбиты n-планеты будут находиться из условия , (9) где k пробегает значения 1, 2, ..., 64. Если обозначить угол между перицентрами орбит n-планеты и Меркурия (линиями апсид) через , то координаты n-планеты в системе отсчета S будут находиться по формулам (10) где - координаты n-планеты в собственной системе отсчета эллиптической орбиты n-планеты, в которой ось направлена вдоль большой оси орбиты, а углы , очевидно, будут находиться по формуле , (11) где - долгота восходящего узла орбиты n-планеты; - аргумент перицентра орбиты n-планеты; - долгота восходящего узла орбиты Меркурия; - аргумент перицентра орбиты Меркурия. Координаты планет в собственной системе отсчета эллиптической орбиты, очевидно, будут вычисляться по формуле (12) где - угол между перицентром орбиты n-планеты (большой осью ) и радиус-вектором n-планеты в собственной системе отсчета эллиптической орбиты n-планеты. Скорости n-планеты в ИСО S, очевидно, по аналогии, будут вычисляться по формуле (13) где - скорости n-планеты в собственной системе отсчета эллиптической орбиты n-планеты, а скорости n-планеты по формуле (14) где - скорость n-планеты в перигелии. Массы , большие полуоси , эксцентриситеты , углы между перицентрами орбит n-планет и Меркурия, радиусы n-планет, y-компоненты угловой скорости вращения n-планет , а также скорости n-планет в перигелии будем брать из табл. 1 (взяты из Википедии). Пояс астероидов будем рассматривать как один сплошной объект. Таблица 1 Планета Масса mn, г Rn, см wny, рад/с a0n, см vnp, см/с εn ω1n, град Венера 4.8675•1027 6.0518•108 2.9924•10-7 1.0820893•1013 3.5259•106 0.0068 54.067031 Земля+сп. 6.046077•1027 6.371•108 -7.29211505•10-5 1.49598261•1013 3.027•106 0.01671123 25.491241 Марс+сп. 6.418500122•1026 3.3895•108 -7.08824•10-5 2.2794382•1013 2.65•106 0.0933941 258.584891 Пояс аст. ~ 3.3•1024 0 0 ~ 4.0•1013 ~ 2.0•106 0 0 Юпит.+сп. 1.89899701073135•1030 6.9911•109 -1.7585•10-4 7.785472•1013 1.372•106 0.048775 298.166201 Сатурн+сп. 5.6859618386707•1029 5.8232•109 -1.65499•10-4 1.43344937•1014 1.018•106 0.055723219 12.200724 Уран+сп. 8.684113913745•1028 2.5362•109 0 2.876679082•1014 7.11•105 0.044405586 93.07519 Непт.+сп. 1.0245109104•1029 2.4622•109 -1.09307•10-4 4.503443661•1014 5.5•105 0.011214269 319.985214 Плут.+сп. 1.461714•1025 1.187•108 1.0585•10-5 5.9064406•1014 6.1•105 0.2488273 146.610811 На Меркурий, таким образом, действует сила и со стороны Солнца и со стороны n-планет. Солнце создает поле и , (15) где ; - гравимагнитный момент Солнца; - вектор угловой скорости вращения Солнца; n-планета - и , (16) где - гравимагнитный момент n-планеты; - вектор угловой скорости вращения n-планеты. Гравитационный заряд Меркурия, очевидно, , а масса Меркурия, как известно, 3.33022•1026 г. Для начала, как и в предыдущих работах, рассмотрим поведение орбиты Меркурия только с учетом одного сферического Солнца. Планеты, спутники, вращение Солнца, вращение планет, сжатие Солнца, силу давления солнечного света и температуру Меркурия пока рассматривать не будем. Удельная сила, действующая на Меркурий со стороны сферического Солнца (в координатном виде), равна (17) Вычисление времени t, положения и скорости Меркурия на N+1 шаге, начиная от начальной точки перигелия орбиты Меркурия (т.е. от положительной полуоси x при ), как и в предыдущих работах, будем проводить методом средней точки по итерационным формулам (18) с шагом итерации 0.00005 с (начиная с пояса астероидов с шагом итерации 0.0001 с). К сожалению, использование более совершенного метода Верле в скоростной форме , (18*) где a - ускорение Меркурия (в момент времени t), невозможно - ускорение и скорость Меркурия взаимосвязаны (см. формулу (8)) - чтобы найти , нужно знать , а чтобы найти , нужно знать , т.е. получается замкнутый круг. Начальные координаты и скорость Меркурия (в момент времени t = 0) примем следующие: x01 = 4.6001009•1012 см; z01 = 0 см; v1x = 0 см/с; v1z = = 5.898•106 см/с (перигелий расположен на положительной оси x). Вычисления будем проводить методом полного периода движения Меркурия, т.е. пока Меркурий не достигнет точки перигелия орбиты после полного оборота вокруг Солнца и не наступит , а результаты умножать на 415.2. Для нахождения момента времени t, при котором наступает теперь уже минимум , на конечной стадии вычисления в области предполагаемого минимума будем поступать следующим образом. Из массива данных будем выбирать ступеньку, расположенную на самом нижнем участке графика. Затем в начале и в конце ступеньки будем находить моменты времени и , соответствующие условию , а также среднее значение момента времени и из массива данных будем выбирать значения и , соответствующие этому моменту времени t. Вычисления, проведенные по этой схеме, показали, что Меркурий достигает точку перигелия орбиты примерно с координатами x01 = 4.60010090222271597•1012 см, z01 = = 3.84795945987808936•105 см в момент времени t = 7602257.35725 с, т.е. смещение перигелия орбиты Меркурия (относительно положительной полуоси x) с учетом сферического Солнца составило +0.0172539'' (сюда входит и систематическая ошибка метода), т.е. в ту же сторону движения, в которую движется Меркурий (для угловой секунды принято значение 4.8481368110953599141•10-6 рад, а смещение перигелия орбиты находится по формуле arctg(z01/x01)/4.8481368110953599141•10-6). В дальнейшем это смещение необходимо будет вычитать из всех последующих расчетов, выполненных с шагом итерации 0.00005 с, при этом автоматически будет вычитаться и ошибка метода - 0.0000178'' (расчет ошибки метода приводится в Приложении в конце статьи). Вычитая из величины +0.0172539'' ошибку метода -0.0000178'', получаем истинное значение смещения перигелия орбиты Меркурия +0.0172717'' в поле тяготения сферического Солнца на одном полном периоде обращении вокруг Солнца в рамках обобщенного закона всемирного тяготения. Смещение перигелия за 100 лет, очевидно, составляет +0.0172717''•415.2 = ~ +7.171''. Это смещение, как уже говорилось в предыдущих работах, вызвано, по-видимому, эффектом изменения «инертной массы», или, по-другому, инертности Меркурия, при его движении по орбите. Вычисления, проведенные с шагом итерации 0.0001 с, показали, что Меркурий достигает ту же точку перигелия орбиты с координатами x01 = 4.60010090444553349•1012 см, z01 = = 3.82916089678920490•105 см в момент времени t = 7602257.3603 с, т.е. смещение перигелия орбиты Меркурия (относительно положительной полуоси x) на одном полном периоде обращении вокруг Солнца с учетом сферического Солнца составило (при шаге итерации 0.0001 с) ~ +0.0171696''. Это смещение также необходимо вычитать из всех расчетов, выполненных с шагом итерации 0.0001 с. Далее будем исследовать по очереди поведение орбиты Меркурия с учетом вращения Солнца, с учетом сжатия (сплюснутости) Солнца, с учетом силы давления солнечного света, с учетом температуры Меркурия и с учетом влияния (по очереди) каждой n-планеты в отдельности (включая их спутников и вращение планет). Удельная сила, действующая на единицу массы Меркурия, в первом случае равна (19) во втором - (20) в третьем - (21) где Q - коэффициент отражения Меркурия (для Q принято значение 0 - полное поглощение). В четвертом случае с учетом температуры Меркурия уравнение движения Меркурия (см. [5]) имеет вид (22) где внутренняя тепловая энергия Меркурия вычисляется по формуле , где k = 1.38067•10-16 эрг/К - постоянная Больцмана; σ = 5.6703•10-5 эрг/(с•см2•К4) - постоянная Стефана - Больцмана. Удельная сила, действующая на единицу массы Меркурия со стороны Солнца, очевидно, равна (17). В пятом случае удельная сила, действующая на Меркурий со стороны n-планеты (а также Солнца), равна (в координатном виде) , (23) где . То есть для каждого отдельного положения (10) n-планеты по очереди по формуле (23) будет вычисляться сила, действующая на Меркурий со стороны n-планеты (а также Солнца), затем суммироваться и находиться средняя сила: (24) Затем по формуле (8) будет находиться среднее значение ускорения Меркурия, вызванного средней силой (24), и по итерационным формулам (18) вычисляться средняя орбита Меркурия в поле тяготения Солнца и планет - каждое такое вычисление (например, при шаге t итерации 0.00005 с) занимает около месяца. И так для каждой планеты по отдельности. Результаты расчетов приведены в табл. 2. Таблица 2 Причина, вызывающая смещение перигелия орбиты Меркурия t, с x01, см z01, см Смещение перигелия орбиты Меркурия отн. полож. оси x, за вычетом +0.0172539'', угл. с Смещение перигелия орбиты Меркурия за 100 лет, угл. с Инертность Меркурия 7602257.35725 4.60010090222271597•1012 3.84795945987808936•105 +0.0172717 (за вычетом -0.0000178'') +7.171 Температура Меркурия 7602257.35730 4.60010090222271924•1012 3.83985591406999770•105 -0.0000363 -0.015 Вращ. Солнца 7602257.35710 4.60010090222269836•1012 3.83754058813036019•105 -0.0000467 -0.019 Сжатие Солнца 7602257.34010 4.60010090222274507•1012 4.19755798134851250•105 +0.0015676 +0.651 Давление света 7602257.35725 4.60010090222271708•1012 3.84790591012126308•105 -0.0000002 -0.000 Венера 7602267.43580 4.60010082821523737•1012 1.58793987523804781•107 +0.6947655 +288.467 Земля+луна 7602260.88870 4.60010087928363000•1012 5.33369510843218154•106 +0.2219047 +92.135 Марс+спутники 7602257.45390 4.60010090718830487•1012 5.18529203725825895•105 +0.0059965 +2.490 Пояс астероид. 7602257.3604 4.60010090444549302•1012 3.83126479375634422•105 +0.0000095 (за вычетом +0.0171696'') +0.004 Юпитер+спутн.* 7602263.6936 4.60010094839755798•1012 8.74780570793681009•106 +0.3750749 (за вычетом +0.0171696'') +155.731 Сатурн+спутн.* 7602257.6623 4.60010090413361905•1012 7.80913548766426414•105 +0.0178479 (за вычетом +0.0171696'') +7.410 Уран+спутники* 7602257.3662 4.60010090443443535•1012 3.91519788011702397•105 +0.0003858 (за вычетом 0.0171696'') +0.160 Нептун+спутн. * 7602257.3621 4.60010090444581599•1012 3.85506156550824218•105 +0.0001161 (за вычетом +0.0171696'') +0.048 Плутон+спутн. * 7602257.3603 4.60010090444553319•1012 3.82915528635343108•105 +0.000000 (за вычетом +0.0171696'') +0.000 Как видим, полная суммарная прецессия перигелия орбиты Меркурия за 100 лет (усредненная за большой промежуток времени - сотни, тысячи лет) в рамках обобщенного закона всемирного тяготения в поле тяготения Солнца и планет с учетом эллиптичности орбит планет, а также новых данных о сплюснутости и массе Солнца и гравитационной постоянной планет составляет ~ 554.2''. Это меньше наблюдаемого значения примерно на 19.9''. Напомним, что тот же самый расчет в приближении круговых орбит планет [6] дает завышенное значение ~ 565.3'', что меньше наблюдаемого значения примерно на 8.8''. Таким образом, вопрос о соответствии предложенного обобщенного закона всемирного тяготения наблюдательным пока остается открытым. Но не исключено, что если верна аналогия гравитации с электродинамикой Максвелла, внутри орбиты Меркурия может находиться еще один какой-то объект (или несколько объектов) малого размера. Кроме того, в последнее время астрономы стали говорить, что на окраинах Солнечной системы может существовать еще один какой-то объект, превосходящий массу Земли в 10 раз или даже в 100 раз, а в диаметрально противоположной точке земной орбиты за Солнцем в «слепой зоне» может существовать объект, масса которого, по крайней мере, не должна превышать ~ 0.2 массы Земли. Все полученные в табл. 2 результаты верны с точностью до 1-2 знака после запятой. В этом можно убедиться, если провести такие же аналогичные вычисления, например, с помощью так называемого метода предиктора-корректора (с двукратной корректировкой), точность которого выше метода средней точки. Вычисление времени t, положения и скорости Меркурия на N+1 шаге, начиная от начальной точки перигелия орбиты Меркурия (т.е. от положительной полуоси x при ) в методе предиктора-корректора, как известно, проводятся следующим образом. Сначала предсказываются на N+1 шаге (предварительно вычислив в момент времени ) значения скорости и координаты Меркурия в момент времени , например, методом . (25) Предсказанные значения и позволяют, в свою очередь, предсказать значение ускорения Меркурия в момент времени . Предсказанное значение ускорение позволяет, в свою очередь, определить новые скорректированные значения скорости и координаты Меркурия в момент времени по формулам . (26) Скорректированные значения и в момент времени позволяют определить, в свою очередь, новое скорректированное значение ускорения Меркурия в момент времени , которое, в свою очередь, позволяет (опять же по формуле (26)) определить новые скорректированные значения скорости и координаты Меркурия в момент времени , и так далее несколько раз (например, 2 раза), пока предсказанные и скорректированные значения скорости и координаты в момент времени не перестанут отличаться друг от друга. Скорости , координаты и ускорения Меркурия (в момент времени ) при этом, очевидно, не меняются. Затем скорректированные значения , и присваиваются новым значениям , и , и все это вновь повторяется. То есть сначала предсказываются (по формулам (25)) значения скорости и координаты Меркурия в момент времени , затем корректируются (по формулам (26)) несколько раз эти значения, и так до тех пор, пока Меркурий не достигнет точку перигелия орбиты после полного оборота вокруг Солнца. Таким образом, вычисления, проведенные по этой схеме (с шагом итерации 0.0001 с), показали, что Меркурий достигает точки перигелия орбиты (с учетом Солнца) примерно посередине между моментами времени t = 7602257.3338 и 7602257.3339 с, т.е. координаты Меркурия в первом случае составили: x01 = 4.60010090000000172•1012 см и z01 = 3.84318718756262613•105 см, во втором - x01 = 4.60010090000000168•1012 см и z01 = 3.84908518756262608•105 см. То есть смещение перигелия орбиты Меркурия (относительно положительной полуоси x), найденное с помощью метода предиктора-корректора, составило, таким образом, +0.0172325'' и +0.0172590'' (сюда входит также систематическая ошибка метода), т.е. в ту же сторону движения, в которую движется Меркурий. Среднее значение +0.0172458''. Вычитая из этой величины ошибку метода 0.0000004'' (расчет ошибки метода приводится далее в Приложении), получаем +0.0172454''. Смещение перигелия Меркурия за 100 лет составило +0.0172454''•415.2 = ~ +7.160''. Как видим, это значение (с точностью до 1 знака после запятой) совпадает со значением ~ +7.171'', полученным в табл. 2 методом средней точки. Значение ~ +7.160'' при этом является более точным. Вычисления же, проведенные с учетом Венеры, показали, что Меркурий достигает ту же точку перигелия орбиты с координатами x01 = 4.60010082599262012•1012 см, z01 = = 1.58786245427006323•107 см в момент времени t = 7602267.4323 с, т.е. смещение перигелия орбиты Меркурия (относительно положительной полуоси x) составило +0.7119847''. Вычитая из величины +0.7119847'' величину +0.0172458'', полученную выше, получаем +0.6947389'', т.е. смещение перигелия Меркурия за 100 лет (с учетом Венеры) составило +0.6947389''•415.2 = ~ +288.456''. Это значение (с точностью до 1 знака после запятой) также совпадает со значением ~ +288.467'', полученным в табл. 2 методом средней точки. Однако значение ~ +288.456'' является при этом более точным. Таким образом, в будущем, если такие расчеты будут проводиться, лучше проводить их, конечно, методом предиктора-корректора, точность которого выше. Оптимальным шагом итерации является 0.0001 с (ошибка метода составляет ~ 0.0000004''), а оптимальным числом фиксированных положений планет на орбите является 32. Как показывают расчеты, увеличение числа положений планет с 32 до 64 практически не влияет на результат, но зато увеличивает время счета. ПРИЛОЖЕНИЕ В заключение оценим погрешность рассмотренных выше методов расчета прецессии перигелия орбиты Меркурия на одном полном периоде движения Меркурия вокруг Солнца сначала методом средней точки, затем методом предиктора-корректора (с двукратной корректировкой). Для этого, как и в предыдущих работах, также проведем численное моделирование прецессии перигелия орбиты Меркурия в поле тяготения только одного сферического Солнца в рамках классического закона всемирного тяготения Ньютона. В идеале смещение перигелия орбиты Меркурия в поле тяготения сферического Солнца в рамках классического закона всемирного тяготения Ньютона должно быть равно нулю. В рамках закона всемирного тяготения Ньютона гравитационное поле мнимого гравитационного заряда в векторном виде, как известно, описывается формулой , а сила, действующая на другой мнимый гравитационный заряд , - формулой . Ускорение , приобретаемое телом массой , движущимся со скоростью , и сила , действующая на это тело в классической механике, связаны формулой , или, если поделить на , - формулой , где - удельная сила, действующая на единицу массы этого тела. В координатном виде (в плоскости ) это можно переписать так: . Таким образом, Солнце создает поле , а удельная сила, действующая на Меркурий, равна (17). Вычисление времени t, положения и скорости Меркурия на N+1 шаге, начиная от начальной точки перигелия орбиты Меркурия (от положительной полуоси x при ), как и выше, также будем проводить в первом случае методом средней точки с шагом итерации 0.00005 с по итерационным формулам (18), во втором случае - методом предиктора-корректора (с двукратной корректировкой) с шагом итерации 0.0001 с по итерационным формулам (25) и (26). Начальные координаты и скорости Меркурия (в момент времени t = 0 с) прежние: x01 = 4.6001009•1012 см; z01 = 0 см; v1x = 0 см/с; v1z = 5.898•106 см/с (перигелий расположен на положительной оси x). Вычисления будем проводить до тех пор, пока Меркурий не достигнет точки перигелия орбиты после полного оборота вокруг Солнца и не наступит . Вычисления, проведенные по этой схеме, показали, что в первом случае Меркурий достигает искомую точку перигелия орбиты с координатами x01 = 4.60010090222276366•1012 см, z01 = -3.97834221738335415•102 см в момент времени t = 7602256.78195 с, т.е. смещение перигелия орбиты Меркурия (относительно положительной полуоси ) в рамках классического закона всемирного тяготения Ньютона составило -0.0000178'' (в идеале, как уже говорилось, это смещение должно быть равно нулю). Во втором случае Меркурий достигает ту же точку перигелия орбиты примерно посередине между моментами времени t = 7602256.7786 и 7602256.7787 с, т.е. координаты Меркурия составили: x01 = 4.60010090000005791•1012 см, z01 = -2.86895803324290228•102 см и x01 = 4.60010090000005791•1012 см и z01 = 3.02904196675706077•102 см. Смещение перигелия орбиты Меркурия (относительно положительной полуоси x) составило -0.0000129'' и +0.0000136'', среднее значение 0.0000004''. Таким образом, погрешности (систематические) представленных выше методов расчета на одном полном периоде движения Меркурия вокруг Солнца (за 100 лет) составили в первом случае -0.0000178''•415.2 = ~ -0.007'', во втором - 0.0000004''•415.2 = ~ 0.000''. Оптимальным шагом итерации во втором случае является 0.0001 с (ошибка метода составляет ~ 0.0000004'').

Ключевые слова

the predictor-corrector method, the midpoint method, numerical simulation of the orbit of Mercury, the precession of the perihelion of the orbit of Mercury, generalization of Newton's law of universal perihelion, Newton's law of universal perception, метод предиктора-корректора, метод средней точки, численное моделирование орбиты Меркурия, прецессия перигелия орбиты Меркурия, обобщение закона всемирного тяготения Ньютона, закон всемирного тяготения Ньютона

Авторы

ФИООрганизацияДополнительноE-mail
Купряев Николай ВладимировичСамарский филиал Физического института им. П.Н. Лебедева РАНнауч. сотр.kuprjaev@front.ru
Всего: 1

Ссылки

Купряев Н.В. // Изв. вузов. Физика. - 2016. - Т. 59. - № 3. - С.16-23.
Купряев Н.В. Расчет прецессии перигелия орбиты Меркурия с учетом силы давления солнечного света и температуры Меркурия - URL: htt://www.sciteclibrary.ru/rus/catalog/pages/14618.html.
Купряев Н.В. Расчет прецессии перигелия орбиты Меркурия с учетом Луны и сжатия Солнца. - URL: htt://www.sciteclibrary.ru/rus/catalog/pages/14443.html.
Википедия. Меркурий. - URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Меркурий.
Купряев Н.В. // Изв. вузов. Физика. - 2014. - Т. 57 - № 6. - С. 81.
Купряев Н.В. Обобщение закона всемирного тяготения Ньютона. - URL: htt://www.sciteclibrary.ru/rus/ catalog/pages/12399.html.
 Расчет прецессии перигелия Меркурия в рамках обобщенного закона всемирного тяготения с учетом эллиптичности орбит планет | Изв. вузов. Физика. 2019. № 2.

Расчет прецессии перигелия Меркурия в рамках обобщенного закона всемирного тяготения с учетом эллиптичности орбит планет | Изв. вузов. Физика. 2019. № 2.