Качественный и численный анализ космологической модели, основанной на асимметричном скалярном дублете с минимальными связями. III. Фактор неодносвязности и характер особых точек | Изв. вузов. Физика. 2019. № 2.

Качественный и численный анализ космологической модели, основанной на асимметричном скалярном дублете с минимальными связями. III. Фактор неодносвязности и характер особых точек

На основе качественного и численного анализа космологической модели, основанной на асимметричном скалярном дублете нелинейных минимально взаимодействующих скалярных полей, классического и фантомного, выявлены особенности поведения модели вблизи гиперповерхностей нулевой энергии. Обсуждается влияние фактора многосвязности фазового пространства динамической системы, являющейся следствием неаналитичности коэффициентов автономной системы дифференциальных уравнений. Выявлен характер всех особых точек.

Qualitative and numerical analysis of the cosmological model based on the asymmetric scalar dublet with minimum connecti.pdf Введение В предыдущих работах авторов был проведен качественный анализ космологической модели, основанной на асимметричном скалярном дублете [1], а также выполнены аналитическое и численное исследования ее поведения вблизи гиперповерхностей нулевой эффективной энергии [2], обнаружившие тенденцию прилипания фазовых траекторий к этой гиперповерхности при наличии внутри нее притягивающих фокусов. В частности, было показано, что при подходящих параметрах модели движение по поверхности нулевой эффективной энергии является точным предельным решением динамических уравнений модели. Исследуемая здесь динамическая система описывается нормальной автономной системой обыкновенных дифференциальных уравнений [1]: (1) где - нормированные безразмерные параметры модели, которые мы будем задавать в виде списка : , а - список начальных условий**. В данной работе мы проведем детальное исследование космологической эволюции асимметричного*** скалярного дублета в зависимости от параметров модели. К системе (1) следует добавить уравнение Эйнштейна, определяющее безразмерную постоянную Хаббла : , (2) а также определение инвариантного космологического ускорения : , (3) где - отношение эффективного давления к эффективной плотности энергии - эффективный коэффициент баротропы. Эффективные плотность энергии и давление динамической системы имеют следующий вид: Влияние многосвязности фазового пространства на поведение динамической системы Для того чтобы система дифференциальных уравнений (1) имела вещественное решение, необходима неотрицательность выражения под радикалом в уравнениях, т.е. неотрицательность эффективной энергии системы с учетом космологической постоянной: (4) Неравенство (4) может приводить к нарушению односвязности фазового пространства и образованию в нем замкнутых лакун, ограниченных поверхностями с нулевой эффективной энергией. Следует ожидать, что в случае нахождения притягивающих центров внутри запрещенных областей фазовые траектории будут прилипать к поверхностям нулевой эффективной энергии, в случае же нахождения в этих областях седловых точек - отталкиваться от поверхности нулевой эффективной энергии. Заметим, однако, другое обстоятельство, качественно отличающее космологическую модель с асимметричным скалярным дублетом от соответствующей модели с одиночным скалярным полем, рассмотренную выше. Гиперповерхность фазового пространства определяется лишь параметрами полевой модели скалярного дублета и не зависит от временной переменной . Однако пересечения двумерных фазовых плоскостей одиночных полей и с гиперповерхностью могут являться двумерными кривыми и (замкнутыми или незамкнутыми), существенно зависящими от значений динамических переменных другого скалярного поля, а поэтому зависящими и от временной переменной: (5) Вследствие (5) топология двумерных фазовых подпространств и может значительно изменяться со временем. Этот фактор является принципиально новым и существенным для космологической модели. Особые точки динамической системы В [1] определены все особые точки динамической системы (1) и в общих чертах указан их характер. Кратко перечислим все особые точки и укажем их характер с учетом фактора их возможной недоступности. Отметим следующее важное обстоятельство. В случае, если в конкретной особой точке выполняется условие вещественности (4), то, в принципе, фазовые траектории динамической системы (1) могут входить в такую особую точку или выходить из нее. Если же особая точка находится в запрещенной области фазового пространства, фазовые траектории динамической системы не могут проходить через эту особую точку, а лишь притягиваться к границе запрещенной области или отталкиваться от нее в зависимости от характера особой точки. Таким образом, как мы указывали выше, динамическая система (1) имеет девять особых точек: 1) M0: При любых значениях и всегда имеется центральная особая точка: (6) Подставляя полученное решение (6) в условие (4), получим необходимое условие вещественности решений в особой точке: 2) M02: При любых и имеем еще две симметричных по точки: (7) Необходимое условие вещественности решений в особых точках M01, M02 : (8) 3) M10, M20: При любых и - еще две симметричных по точки: (9) Необходимое условие вещественности решений в особых точках M10, M20: (10) 4) M12, M21, M11, M22: При и - еще четыре симметричных по и точки : (11) Необходимое условие вещественности решений в особых точках M12, M21, M11, M22: (12) Характер особых точек динамической системы асимметричного скалярного дублета Минимальный характер взаимодействия компонент дублета однозначно приводит к блочно-диагональной структуре матрицы динамической системы (1), которая при имеет вид (13) Определитель этой блочно-диагональной матрицы (14) Заметим, что поскольку все динамические переменные являются действительными величинами, то и функции , вместе с их частными производными в разрешенных областях фазового пространства также являются вещественными величинами. Однако в запрещенных областях фазового пространства, т.е. в областях с отрицательной эффективной энергией , производные по динамическим переменным могут стать мнимыми величинами. Это означает, что данная особая точка находится в недоступной области фазового пространства. Отметим, что в матрице динамической системы условие вещественности может нарушаться, причем одновременно, в производных типа Рассмотрим уравнения на собственные векторы и собственные значения матрицы динамической системы: где - единичная матрица. Благодаря блочно-диагональной структуре матрицы динамической системы , ее собственные значения определяются характеристическими уравнениями в соответствующих двумерных плоскостях, а собственные векторы , соответствующие этим собственным значениям, лежат попарно в различных фазовых плоскостях: , . Этот факт позволяет значительно упростить качественный анализ фазовых траекторий вблизи особой точки и свести его к перебору комбинаций характеристик динамической системы в двумерных плоскостях . Если особая точка находится в разрешенной области, то, вследствие вещественности элементов матрицы динамической системы, каждому ее комплексному собственному значению должно соответствовать комплексно сопряженное значение , так что . Если же особая точка находится в недоступной области фазового пространства, последнее условие может не выполняться. В этом случае выводы качественной теории лишь условно применимы в той мере, в какой мал радиус запрещенной области. Конкретное поведение фазовой траектории в этих случаях необходимо уточнять с помощью численного интегрирования динамических уравнений. Согласно качественной теории дифференциальных уравнений (см., например, [6, 7]), радиус-вектор фазовой траектории в окрестности особой точки описывается уравнением (15) где - произвольные константы, определяемые начальными условиями; - собственные значения матрицы динамической системы ; - собственные векторы этой матрицы, соответствующие собственным значениям . В тех случаях, когда особая точка не доступна, оценочная формула, тем не менее, является достаточно хорошей аппроксимацией фазовой траектории. На эту оценку мы будем опираться в случаях, когда отсутствуют результаты стандартной качественной теории дифференциальных уравнений, пригодной для вещественных матриц динамической системы. Кратко перечислим результаты качественного анализа динамической системы (1). Во-первых, вычисления показывают, что все особые точки динамической системы делятся на четыре группы, характер точек внутри каждой группы одинаков. В первую группу входит единственная особая точка: . Согласно качественной теории дифференциальных уравнений, особая точка может иметь следующий характер в зависимости от параметров полевой модели (табл. 1 и 2) . Таблица 1 Характер особой точки в плоскости Тип +1 Центр -1 Седло -1 Седло +1 Притягивающий узел +1 Притягивающий фокус +1 Недоступный центр -1 Недоступное седло -1 Недоступный центр Таблица 2 Характер особой точки в плоскости Тип +1 Седло -1 Центр +1 Седло -1 Притягивающий узел -1 Притягивающий фокус -1 Недоступный центр +1 Недоступное седло +1 Недоступный центр Во вторую группу при условии и входят две симметричные особые точки : . В табл. 3 и 4 приведены возможные типы этих точек. Таблица 3 Характер особых точек в плоскости Тип +1 Центр -1 Седло -1 Седло +1 Притягивающий узел +1 Притягивающий фокус +1 Недоступный центр -1 Недоступное седло -1 Недоступный центр Таблица 4 Характер особых точек в плоскости Тип +1 Центр -1 Седло -1 Седло +1 Притягивающий узел +1 Притягивающий фокус +1 Недоступный центр -1 Недоступное седло -1 Недоступный центр В третью группу особых точек при условии и входят точки и : В табл. 5 и 6 приведены возможные типы этих точек. Таблица 5 Характер особых точек в плоскости Тип +1 Седло -1 Центр +1 Седло -1 Притягивающий узел -1 Притягивающий фокус -1 Недоступный центр +1 Недоступное седло +1 Недоступный центр Таблица 6 Характер особых точек в плоскости Тип +1 Седло -1 Центр +1 Седло -1 Притягивающий узел -1 Притягивающий фокус -1 Недоступный центр +1 Недоступное седло +1 Недоступный центр Наконец, в четвертую группу особых точек при условии и входят точки и : В табл. 7 и 8 приведены возможные типы этих точек. Таблица 7 Характер особых точек в плоскости Тип +1 Седло -1 Центр +1 Седло -1 Притягивающий узел -1 Притягивающий фокус -1 Недоступный центр +1 Недоступное седло +1 Недоступный центр Таблица 8 Характер особых точек в плоскости Тип +1 Центр -1 Седло -1 Седло +1 Притягивающий узел +1 Притягивающий фокус +1 Недоступный центр -1 Недоступное седло -1 Недоступный центр Карты особых точек динамической системы асимметричного скалярного дублета Итак, мы перечислили все характеристики особых точек в двумерных плоскостях и . Для получения общей, четырехмерной, характеристики каждой особой точки необходимо перемножить их характеристики в соответствующих плоскостях. Но при этом необходимо проверить непротиворечивость соответствующих условий на параметры. Например, рассмотрим непротиворечивые случаи из табл. 7 и из табл. 8. Им соответствует особая точка, являющаяся притягивающим узлом в плоскости и седлом в плоскости . Но для существования такой особой точки необходимо . Теперь нам предстоит посмотреть, к какой ситуации приводят условия и (12), чтобы выяснить, в какой области находится особая точка. Разобраться в достаточно запутанной картине помогают карты особых точек динамической системы. На рис. 1 показана карта особых точек динамической системы с параметрами . (16) Карты отображают характер особых точек динамической системы. Здесь и в дальнейшем темно-серым цветом изображены центры, светло-серым - притягивающие узлы, серым - притягивающие фокусы, белым - седловые точки. Левой половине круга соответствует характер точки в плоскости , правой - . Черный цвет границы круга соответствует недоступной точке, серый - доступной точке . Рис. 1. Карта особых точек при параметрах модели (16)

Ключевые слова

limit Euclidean cycles, numerical simulation, qualitative analysis, asymmetric scalar doublet, classical scalar field, phantom scalar field, cosmological model, предельные евклидовы циклы, численное моделирование, качественный анализ, асимметричный скалярный дублет, классическое скалярное поле, фантомное скалярное поле, космологическая модель

Авторы

ФИООрганизацияДополнительноE-mail
Кох Ирина АлександровнаКазанский федеральный университетассистент каф. высшей математики и математического моделирования Института математики и механики им. Н.И. Лобачевского КФУirina_kokh@rambler.ru
Игнатьев Юрий ГеннадиевичКазанский федеральный университетд.ф.-м.н., профессор, ведущ. науч. сотр. Института физики КФУignatev_yu@rambler.ru
Всего: 2

Ссылки

Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. Сер. «Справочная математическая библиотека». Вып. 11. - М.: Наука, 1989.
Богоявленский О.И. Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике. - М.: Наука, 1980.
Ignat'ev Yurii, Agathonov Alexander, and Kokh Irina. arXiv:1810.09873 [gr-qc].
Игнатьев Ю.Г., Самигуллина А.Р. // Пространство, время и фундаментальные взаимодействия. - 2017. - Вып. 1. - С. 100-102.
Ignat’ev Yu.G. and Kokh I.A. // Изв. вузов. Физика. - 2018. - Т. 61. - № 6. - С. 72-81.
Игнатьев Ю.Г., Кох И.А. // Изв. вузов. Физика. - 2018. - Т. 61. - № 9. - C. 38-42.
Ignat'ev Yurii, Agathonov Alexander, and Kokh Irina. arXiv:1808.04570 [gr-qc].
 Качественный и численный анализ космологической модели, основанной на асимметричном скалярном дублете с минимальными связями. III. Фактор неодносвязности и характер особых точек | Изв. вузов. Физика. 2019. № 2.

Качественный и численный анализ космологической модели, основанной на асимметричном скалярном дублете с минимальными связями. III. Фактор неодносвязности и характер особых точек | Изв. вузов. Физика. 2019. № 2.