Плоские гравитационные волны в пространственно-однородных моделях штеккелевых пространств типа (3.1) | Изв. вузов. Физика. 2019. № 2.

Плоские гравитационные волны в пространственно-однородных моделях штеккелевых пространств типа (3.1)

Проведена классификация пространств с плосковолновыми метриками по признаку наличия трехмерных подгрупп группы движения пространства-времени с трехмерными пространственными орбитами. Для полученных пространственно-однородных моделей найдены точные решения вакуумных уравнений Эйнштейна. Для полученных решений проведена классификация по Петрову и Бианки. Полученные результаты по классификации плосковолновых метрик по допускаемым ими трехмерным подгруппам группы движений с трехмерными пространственными орбитами могут быть использованы для любых метрических теорий гравитации.

Flat gravitational waves in spatially homogeneous models of Stackel spaces of type (3.1).pdf Введение Предлагаемое исследование направлено на разработку метода построения интегрируемых космологических решений на базе моделей пространства-времени, допускающих пересечение двух типов симметрий - пространственной однородности, необходимой для космологических применений, и наличия так называемых «полных наборов» векторов и тензоров Киллинга 2 ранга, обеспечивающих разделение переменных в уравнении движения пробных частиц в форме уравнения Гамильтона - Якоби и в уравнении эйконала. Пространства, допускающие полное разделение переменных в уравнении движения пробных частиц в форме уравнения Гамильтона - Якоби, называют Штеккелевыми пространствами. Основы теории Штеккелевых пространств и ссылки на источники можно найти в работах [1-5]. Для Штеккелевых пространств построен ряд классов точных решений в метрических теориях гравитации (см., например, [6-11]). Рассматриваемые в данной работе модели пространства-времени представляют новый инструмент для получения интегрируемых космологических моделей в произвольных метрических теориях гравитации, в которых свободно падающие тела и излучение движутся по геодезическим линиям пространства-времени. Особый интерес представляют изотропные Штеккелевы пространства, где используется система координат с «отделяемой» изотропной переменной (переменная волнового типа), которая обычно связана с наличием в физической системе «волнового» процесса (гравитационного, электромагнитного и др. излучения). Решение поставленной задачи базируется на изучении структуры векторов Киллинга и допускаемой Штеккелевым пространством типов группы движений (изометрий) с пространственно-подобными орбитами в «привилегированных» системах координат, допускающих разделение переменных в уравнении Гамильтона - Якоби для пробных частиц и в уравнении эйконала [12-15]. В данной работе рассматриваются самые простые из изотропных Штеккелевых пространств - пространства типа (3.1). Штеккелевы пространства типа (3.1) по определению допускают три коммутирующих вектора Киллинга, т.е. допускают существование системы координат, где метрика зависит только от одной переменной, причем данная переменная является волновой (изотропной) переменной. Метрики пространств типа (3.1) относятся к плосковолновым метрикам. В настоящее время, после проведения ряда успешных гравитационных экспериментов по обнаружению гравитационных волн, интерес к их изучению сильно вырос. В данной работе мы изучаем плосковолновые Штеккелевы метрики в пространственно-одно¬родных моделях пространства-времени в теории гравитации Эйнштейна. Полученные в работе результаты по классификации плосковолновых метрик по допускаемым ими подгруппам группы движений с пространственноподобными орбитами могут быть использованы также и для любой метрической теории гравитации. Сформулируем постановку задачи более детально. Мы будем предполагать, что: • рассматриваемые нами модели пространства-времени имеют плосковолновую метрику Штеккелевых пространств типа (3.1), т.е. пространство-время допускает существование системы координат, относительно которой метрика зависит только от одной переменной, которая является волновой (изотропной) переменной; • рассматриваемые модели пространства-времени являются пространственно-однородными, т.е. группа движений (изометрий) пространства-времени допускает трехпараметрическую подгруппу с трехмерными пространственноподобными орбитами; • метрики рассматриваемых пространств являются точным решением уравнений теории гравитации (в данной работе - вакуумных уравнений Эйнштейна). Задача работы состоит в том, чтобы найти и проклассифицировать модели пространства-времени, удовлетворяющие предыдущим трем требованиям. 1. Плосковолновые модели пространства-времени Мы будем называть модель пространства-времени плосковолновой или Штеккелевым пространством типа (3.1), если пространство допускает существование системы координат { }, относительно которой метрика пространства зависит только от одной переменной : (1) Здесь является волновой (изотропной) переменной, т.е. В рассматриваемой «привилегированной» системе координат метрика пространства-времени может быть представлена в следующем виде: (2) Функции и являются произвольными функциями волновой переменной. Подстановка метрики (2) в вакуумные уравнения Эйнштейна приводит к требованию обращения функций в постоянные, и метрика в этом случае принимает вид (3) Для метрики (3) из уравнений Эйнштейна остается только одно уравнение, не обращающееся в тождество, а именно только компонента тензора Риччи не обращается в ноль. Далее мы найдем все случаи, когда плосковолновая метрика (3) отвечает пространственно-однородным моделям пространства-времени. 2. Симметрии плосковолновых моделей пространственно-однородного пространства-времени Плосковолновые модели пространства-времени допускают три коммутирующих вектора Киллинга , которые в используемой нами системе координат можно записать в виде (4) (5) (6) Вектор Киллинга является изотропным, а векторы и - пространственно-подобными. Дополнительный вектор Киллинга, который требуется для обеспечения условия пространственной однородности рассматриваемых моделей, как показывает анализ уравнений Киллинга и коммутационных соотношений, может относиться к одному из следующих типов векторов: (7) (8) где - постоянные параметры. Тогда существование трех векторов Киллинга будет обеспечивать пространственную однородность пространства-времени в случае, если векторное поле является пространственноподобным. Анализ уравнений Эйнштейна показывает, что модели c вектором Киллинга типа B приводят к противоречию, поэтому далее мы рассмотрим только модели, допускающие вектор Киллинга типа A. Анализ коммутационных соотношений для векторов Киллинга подгруппы пространственной однородности с вектором Киллинга типа A показывает, что существует три неэквивалентных типа подобных моделей: A1, A2, A3. Эти модели относятся к разным типам пространств по классификации Бианки. 3. Плосковолновые пространственно-однородные модели типа A1 Дополнительный вектор Киллинга типа A1 может быть записан в виде (9) где - волновая переменная; - постоянные параметры модели. Коммутационные соотношения для векторов Киллинга, обеспечивающих пространственную однородность моделей типа A1, имеют следующий вид: (10) (11) (12) Метрику моделей типа A1 можно записать так: (13) где - независимые постоянные параметры модели (постоянная определена ниже); - волновая переменная. Определитель метрики имеет вид Для пространственной однородности модели необходимо, чтобы ограничение метрики на орбиты группы однородности было положительно определено, т.е. (14) а это верно для произвольных значений переменных в новой системе координат (15) Уравнения Эйнштейна полностью обратятся в тождество при следующем условии на постоянные параметры модели: (16) Таким образом, из трех параметров модели только два параметра являются независимыми. Из условия (16) получим следующие ограничения на значения постоянных параметров: Уравнение (16) позволяет выразить один из параметров через остальные два: На постоянные параметры имеются следующие ограничения: или, более точно, имеем Для моделей типа A1 имеются три независимых ненулевых компоненты тензора Вейля и : Заметим, что для каждого значения постоянного параметра существует две пары значений параметров , для которых компонента может обращаться в ноль, тогда как компонента в ноль не обращается (и наоборот). Например, для значений и мы получим , но Модели пространства-времени типа A1 становятся плоскими пространствами (тензор кривизны Римана обращается в ноль) для следующих наборов значений постоянных параметров: (17) (18) (19) Не плоскими, но конформно-плоскими данные пространства быть не могут. Неплоские модели типа A1 относятся к типу по классификации Бианки и к типу N по классификации Петрова. 4. Плосковолновые пространственно-однородные модели типа A2 Дополнительный вектор Киллинга моделей типа A2 имеет вид (20) где - волновая (изотропная) переменная; - постоянный параметр модели. Коммутационные соотношения для модели типа A2 имеют вид (21) (22) (23) Метрика модели типа A2 принимает вид (24) где - независимые постоянные параметры модели (постоянная определена ниже); - волновая переменная. Для определителя метрики и постоянных параметров модели имеем Из уравнений Эйнштейна для модели типа A2 остается одно условие: Таким образом, в модели остается только три независимых постоянных параметра - и причем Для пространственной однородности модели необходимо, аналогично моделям типа А1, выполнения условия (25) которое также может быть выполнено для произвольных значений переменных в новой системе координат (26) Для моделей типа A2 имеется три независимых ненулевых компоненты тензора Вейля: Для моделей типа A2 тензор кривизны Римана и тензор Вейля не обращаются в ноль ни при каких значениях параметров, т.е. эти модели не могут быть ни плоскими, ни конформно-плоскими. Модели пространства-времени типа A2 относятся к типу IV по классификации Бианки и типу N по классификации Петрова. 5. Плосковолновые пространственно-однородные модели типа A3 Дополнительный вектор Киллинга модели типа A3 имеет вид (27) где - волновая (изотропная) переменная; - постоянный параметр модели. Коммутационные соотношения векторов Киллинга для модели типа A3 имеют вид (28) (29) (30) Метрический тензор модели типа A3 запишется следующим образом: = где - независимые постоянные параметры модели (постоянная определена ниже); - волновая переменная. Для определителя метрики и постоянных параметров имеем Из уравнений Эйнштейна остается одно соотношение: (31) Таким образом, в модели типа A3 остается три независимых постоянных параметра - и причем для значений параметров имеются ограничения вида (32) (33) Для пространственной однородности модели необходимо, чтобы ограничение метрики на орбиты подгруппы однородности было положительно определено, что приводит для модели типа A3 к условиям (34) С учетом соотношения (33) условия (34) могут быть выполнены для произвольных значений переменных в новой системе координат при (35) Для пространств модели типа A3 имеется три независимых ненулевых компоненты тензора Вейля следующего вида: Пространства типа A3 становятся плоскими только для следующих значений параметров: (тогда ). Не плоскими, но конформно-плоскими данные пространства быть не могут. Неплоские пространства типа A3 относятся к типу по классификации Бианки и типу N - по классификации Петрова. Заключение В работе на базе Штеккелевых пространств типа (3.1) получена классификация плоско-волновых пространственно-однородных моделей пространства-времени в теории гравитации Эйнштейна, содержащая три неэквивалентных типа моделей, относящихся к трем типам однородных пространств по классификации Бианки - типы , и . Для полученных моделей найдены точные решения вакуумных уравнений Эйнштейна. Все решения относятся к типу N по Петрову. Полученная классификация моделей и используемый подход могут быть применимы к любой метрической теории гравитации, в том числе для модифицированных теорий гравитации [16, 17].

Ключевые слова

Bianchi classification, Petrov classification, gravitational waves, homogeneous spaces, group of motions, exact solutions, theory of gravity, классификация Бианки, классификация Петрова, однородные пространства, гравитационные волны, группа движений, точные решения, теория гравитации

Авторы

ФИООрганизацияДополнительноE-mail
Осетрин Константин ЕвгеньевичТомский государственный педагогический университетд.ф.-м.н., профессор каф. теоретической физикиosetrin@tspu.edu.ru
Филиппов Альтаир ЕвгеньевичТомский государственный педагогический университетк.ф.-м.н., доцент каф. информационных технологийaltair@tspu.edu.ru
Осетрин Евгений КонстантиновичТомский государственный педагогический университетаспирант каф. теоретической физикиevgeny.osetrin@gmail.com
Всего: 3

Ссылки

Nojiri S. and Odintsov S.D. // Phys. Rept. - 2011. - No. 505. - P. 59-144.
Nojiri S. and Odintsov S.D. // Int. J. Geom. Meth. Mod. Phys. - 2007. - V. 4. - P. 115-146.
Osetrin K.E., Obukhov V.V., and Filippov A.E. // J. Phys. A. - 2006. - V. 39. - No. 21. - P. 6641-6647.
Обухов В.В., Осетрин К.Е., Филиппов А.Е. // Изв. вузов. Физика. - 2002. - Т. 45. - № 1. - С. 42-50.
Obukhov V.V., Osetrin K.E., and Rybalov Yu.A. // Grav. Cosmol. - 2008. - V. 14. - No. 1. - P. 104-108.
Багров В.Г., Обухов В.В., Осетрин К.Е., Филиппов А.Е. // Grav. Cosmol. - 1999. - V. 5. -No. 4(20), Supplement. - C. 10-16.
Макаренко А.Н., Осетрин К.Е. // Изв. вузов. Физика. - 1999. - Т. 42. - № 10. - С. 34-41.
Багров В.Г., Oбухов В.В., Oсетрин K.E. // Изв. вузов. Физика. - 1997. - Т. 40. - № 10. - С. 74- 78.
Багров В.Г., Истомин А.Д., Обухов В.В., Осетрин К.Е. // Изв. вузов. Физика. - 1996. - Т. 39. - № 8. - С. 48-53.
Osetrin E. and Osetrin K. // J. Math. Phys. - 2017. - V. 58. - No. 11. - P. 112504.
Bagrov V.G., Obukhov V.V., and Osetrin K.E. // Gen. Relativ. Gravit. - 1988. - V. 20. - No. 11. - P. 1141-1154.
Osetrin K., Filippov A., and Osetrin E. // Mod. Phys. Lett. - 2016. - V. A31. - No. 06. - P. 650027.
Obukhov V.V. and Osetrin K.E. // Proceedings of Science (WC2004). - P. 027.
Shapovalov V. N. // Sib. Math. J. - 1979. - V. 20. - P. 1117.
Шаповалов В. Н. // Изв. вузов. Физика. - 1978. - Т. 21. - № 9. - С. 18.
Stackel P. Uber die Integration der Hamilton - Jacobischen Differential-gleichung mittels Separation der Variabeln. - Halle: Hakilitationsschrift, 1891.
Stackel P. // Math. Ann. - 1893. - V. 42. - P. 537-563.
 Плоские гравитационные волны в пространственно-однородных моделях штеккелевых пространств типа (3.1) | Изв. вузов. Физика. 2019. № 2.

Плоские гравитационные волны в пространственно-однородных моделях штеккелевых пространств типа (3.1) | Изв. вузов. Физика. 2019. № 2.