Моделирование параметра Грюнайзена в ударной волне | Изв. вузов. Физика. 2019. № 2.

Моделирование параметра Грюнайзена в ударной волне

Моделировалась функция Грюнайзена от плотности и температуры по экспериментальным зависимостям ударной адиабаты, изоэнтропы и значению параметра Грюнайзена при нормальной плотности. Приведены вычисления функции для золота и серебра в широком диапазоне параметров. Функция сравнивается с результатами известных работ. Подчеркивается, что предложенный метод отличается от ранее опубликованных результатов отсутствием безосновательных предположений. Построены аппроксимации холодного уравнения состояния, скорости ударной волны от массовой скорости во всем диапазоне параметров и параметра Грюнайзена.

Modeling of the parameter Gruneisen in shock wave.pdf Введение Параметр Грюнайзена устанавливает связь между тепловым давлением и плотностью тепловой энергии и является одним из основополагающих термодинамических параметров в проблеме уравнения состояния твердого тела. Описание твердых тел в экстремальных условиях, например в ядрах планет или в атомных взрывах, требует адекватного определения параметра Грюнайзена. Установление функции Грюнайзена - зависимости параметра Грюнайзена как функции объема и температуры - является важной фундаментальной и прикладной проблемой. Поиску этой зависимости посвящены сотни публикаций, однако решения проблемы нет, хотя при этом использовались самые разнообразные методы: от сугубо эмпирических до квантово-механических расчетов. Постановка задачи Адиабата Гюгонио содержит две неизвестные функции: - холодное давление и - параметр, или функция Грюнайзена. При небольших сжатиях принимается . Поэтому при определении уравнения состояния по ударной адиабате есть три варианта: 1) задается функция и определяется ; 2) задается функция и определяется ; 3) задается зависимость между и и определяются обе функции одновременно. Анализ показывает, что сделанные предположения во всех опубликованных работах, использующих эти варианты, не вполне адекватны и соответственно результаты не вполне корректны. Поэтому здесь предлагается вычислительная процедура, в которой задаются ударная адиабата, функция (изоэнтропическая или изотермическая), согласованная со статическими измерениями, параметр Грюнайзена при нормальных условиях и определяется , где - температура в ударной волне. Затем производится перерасчет к холодной составляющей . Уравнение состояния В приближении Ми - Грюнайзена , , , (1) где - холодная (при ), тепловая и полная энергия; - холодное, тепловое и полное давление; - удельный объем, , нижний индекс 1 соответствует начальному состоянию. Уравнение Ми - Грюнайзена предполагает линейную зависимость теплового давления от тепловой энергии. Из уравнения (1) и уравнения энергии для ударной волны следует ударная адиабата [1] . (2) Нижний индекс - от Hugoniot. Уравнение (2), разрешенное относительно параметра Грюнайзена, получается таким: . (3) При электронная, ионизационная и радиационная составляющие малы, и ими можно пренебречь. Тогда в уравнении (3) можно заменить холодную изотермическую составляющую на изоэнтропическую, и оно может быть переписано в виде . (4) В уравнении (4) при возникает неопределенность вида для функций и двух производных, поскольку , , . Выход из этой неопределенности можно сделать, разлагая в ряд числитель и знаменатель, либо по правилу Лопиталя, дифференцируя три раза числитель и знаменатель, что приводит к уравнению [1] . (5) Основная трудность состоит в адекватном конструировании уравнения состояния (или ). Все известные уравнения состояния, в частности наиболее популярные [2-4] - трехпараметрические, определяются только величинами , объемным модулем сжатия или и неименованным параметром при . Однако параметры не определяют однозначно параметр Грюнайзена. Поэтому вычисленная величина по уравнениям (5) или (4) определяет лишь степень угадывания, она может быть либо случайно близкой к экспериментальной величине, либо некорректной величиной. Предлагаемая вычислительная процедура состоит из двух стадий. Сначала уравнение (5) используется для вычисления дополнительного параметра в уравнении состояния, исходя из термодинамического соотношения , с разумной (~ 1 %) точностью определяемого при начальных условиях ( - коэффициент объемного теплового расширения, - теплоемкости). Затем это уравнение состояния используется для вычисления по формуле (4). Для определения температуры уравнения (1) в приближении Дебая записываются в виде . (6) Поскольку функция Дебая , то температура Дебая должна определяться из уравнения по вычисленному параметру Грюнайзена. Для решения уравнения (6) используется итерационная процедура. Ударная адиабата Существующие аппроксимации зависимости скорости ударной волны от массовой скорости для решаемой задачи не совсем удобны, поскольку для используемой в работе процедуры вычислений необходима единая во всей области параметров функция с достаточным количеством производных. Предлагается аппроксимация в виде . (7) При малых для многих веществ зависимость линейная . При очень больших скоростях твердое тело превращается в идеальный газ также с линейной зависимостью ; для нерелятивистского и для релятивистского газа. Поэтому формула (7) c параметрами аппроксимирует весь диапазон скоростей: примерно от 0 до релятивистских скоростей. Для учета сложных особенностей реальных зависимостей и повышения точности перехода формула (7) может быть усложнена увеличением степеней полиномов либо использованием иных функций. Остается лишь ограничение для членов со старшими степенями. Разложим (7) в ряд: , где , . Помимо линейного члена в зависимости обычно экспериментально определяется только один квадратичный член. Чтобы использовать эту информацию, здесь выбирается параметр . Однако это не должно служить основанием для универсального выбора . Максимальное сжатие: . При , однако сжатие может быть и больше, если учитывать в процессе сжатия ионизацию ионов, когда эффективное значение уменьшается. Принятые зависимости : для серебра [5] , для золота [6] . Параметры в (8) определяются исходя из минимизации погрешности и при условии . Давление на ударной адиабате очевидным образом определяется. Входящая в уравнение (5) для величина . Холодное уравнение состояния Холодное уравнение состояния, адекватное во всей рассматриваемой области плотностей, предложено автором в [7]. В это уравнение был добавлен дополнительный член для согласования с параметром Грюнайзена : ; (8) (9) где ; ; ; ; a.u.; ; параметры и выбирались исходя из лучшего согласования с приближением Томаса - Ферми, обычно . Можно принять в качестве , как изотермические параметры, так и изоэнтропические. Тогда зависимости в уравнениях (8), (9) либо изотермические, либо изоэнтропические. Для уравнения (5) необходимо использовать адиабатический модуль, вычисляемый из ударной адиабаты , иначе условия касания ударной адиабаты и изоэнтропы нарушатся. Для корректного сравнения с наиболее достоверными изотермами [8, 9] необходимо осуществить преобразования между и , а также , и . Параметр в (8), (9) определяется, в частности, параметром : . Из уравнения (5) вычисляется параметр определяемый, в частности, : . Величина при в (5) запишется так: . На рис. 1 приведены вычисленные ударные адиабаты и изэнтропы. Рис. 1. Вычисленные ударные адиабаты и изэнтропы: - ударная адиабата; - изоэнтропа; - давление ионов; - давление электронов; - температура в ударной волне, вычисленная по (6); - температура Дебая. Для Au и Ag при x  0.4 и вычислены по найденным зависимостям Г, а для Au при х  0.4 показаны экстраполированные значения и Результаты и их обсуждение На рис. 2 приведены вычисленные параметры Грюнайзена по уравнению (4) и параметры, приведенные в работах [10-12] либо вычисленные по представленным в этих работах предлагаемым формулам. На рис. 1 показаны также вычисленные зависимости и . Рис. 2. Параметры Грюнайзена: уравнение (4) - жирная линия; линии, помеченные [1]; линия, помеченная как , вычислена по уравнению (10) со значением ; линия, помеченная как Alt, - аппроксимация [10]; линия, помеченная как Bur, - из [11]; линия, помеченная как Mol, - из [12] Следует, прежде всего, обратить внимание на величину , которая вычислялась как численно, так и аналитически по формуле Величины производных золота и серебра сильно различаются, что приводит, в частности, к различной форме . Хотя сравнение параметров представленных веществ показывает, что большинство их довольно близки. Обобщенная формула для известных аналитических представлений параметра Грюнайзена записывается в виде [1] , или . (10) Величины , вычисленные по (10) с , несмотря на исключительную популярность этого уравнения, по-видимому, никогда не согласуются с экспериментальными значениями, кроме случайного совпадения. Это частично объясняется тем, что формулы (10) основаны на упрощенных модельных представлениях. Можно использовать естественную процедуру согласования для . При нормальных условиях параметр определяется как . Тогда вычисленная зависимость может демонстрировать лишь некую качественную закономерность с неопределяемой погрешностью. Авторы [10] предложили аппроксимацию вида , которая, по-видимому, наиболее приемлема. Однако вычисленные в [10] зависимости с использованием холодных энергий и давлений в трехпараметрическом ( ) приближении не всегда адекватны. В работе [11] на основании соотношения Линдемана предложена аппроксимация вида , где - параметры приближения. Неопределенность обусловлена, в частности, необоснованностью соотношения Линдемана. В работе [12] предложена формула , где , не имеющая подгоночных коэффициентов. Подобная универсальность вряд ли возможна в эмпирической формуле. Рис. 3. Параметры Грюнайзена: и . Сплошные линии - вычисленные, пунктирные - экстраполяция. Вертикальная линия при х = 0.25 соответствует максимальному сжатию в ударной волне Аппроксимация при проводилась функцией , где , приведенная величина . Поскольку вблизи вещество превратилось в высокотемпературный газ, принимается . Параметры аппроксимирующей формулы определялись исходя из среднеквадратичного приближения. На рис. 3 представлены аппроксимации параметров Грюнайзена: вычисленного параметра по формуле (6) и холодного решеточного параметра , процедура перехода к которому описана автором в [13]. Для твердого тела в приближении Томаса - Ферми, как известно, . Однако при достаточно высоких плотностях основную роль играет электронная компонента, для которой и при высоких и при низких температурах . В заключение подчеркнем, что приведенная вычислительная процедура позволяет отказаться от многочисленных эмпирических и эвристических формул, достоверность которых неоправданна.

Ключевые слова

уравнение состояния, ударная адиабата, высокие давления, параметр Грюнайзена, equation of state, shock adiabat, high pressures, Gruneisen parameter

Авторы

ФИООрганизацияДополнительноE-mail
Прут Вениамин ВениаминовичНИЦ «Курчатовский институт»; Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)д.ф.-м.н., профессор, ведущ. науч. сотр. НИЦ «Курчатовский институт», профессор МФТИvvprut@gmail.com
Всего: 1

Ссылки

Прут В.В. Экстремальные состояния вещества. - LAP LAMBERT Academic Publishing, 2012.
Molodets А.М. // High Pressure Res. - 2004. - V. 24. - Nо. 3. - P. 365.
Burakovsky L. and Preston D.L. // J. Phys. Chem. Solids. - 2004. - V. 65. - P. 1581.
Альтшулер Л.В., Брусникин С.Е., Кузьменков Е.А. // ПМТФ. - 1987. - № 1. - С. 134.
Dewaele A., Torrent M., Loubeyre P., and Mezouar M. // Phys. Rev. B. - 2008. - V. 78. - P. 104102.
Dewaele A., Loubeyre P., and Mezouar M. // Phys. Rev. B. - 2004. - V. 70. - P. 094112.
Прут В.В. // Изв. вузов. Физика. - 2016. - T. 59. - № 5. - С. 73.
Yokoo M., Kawai N., Nakamura K., and Kondo K. // Phys. Rev. B. - 2009. - V. 80. - P. 104114.
Трунин Р.Ф., Гударенко Л.Ф., Жерноклетов М.В., Симаков Г.В. Экспериментальные данные по ударно-волновому сжатию и адиабатическому расширению конденсированных веществ. - Саров: РФЯЦ-ВНИИЭФ, 2006.
Holzapfel W.B. // High Press. Res. - 2005. - V. 25. - P. 187.
Birch F. // Phys. Earth Planet Interiors. - 1968. - V. 1. - P. 141.
Vinet P., Rose J.H., Ferrante J., and Smith J.R. // J. Phys.: Condens. Matter. - 1989. - V. 1. - P. 1941.
Жарков В.Н., Калинин В.А. Уравнения состояния твердых тел при высоких давлениях и температурах. - М.: Наука, 1968.
 Моделирование параметра Грюнайзена в ударной волне | Изв. вузов. Физика. 2019. № 2.

Моделирование параметра Грюнайзена в ударной волне | Изв. вузов. Физика. 2019. № 2.