Анализ генерации гармоник в плоских ондуляторах в однопроходных ЛСЭ | Изв. вузов. Физика. 2019. № 2.

Анализ генерации гармоник в плоских ондуляторах в однопроходных ЛСЭ

Проводится теоретическое исследование эволюции мощности излучения гармоник в однопроходном лазере на свободных электронах (ЛСЭ) и сравнение с некоторыми экспериментами ЛСЭ. Используется феноменологическое описание, которое принимает во внимание основные параметры ЛСЭ: силу тока и лоренц-фактор электронов, разброс энергий и геометрию пучка - и позволяет описать практически любой ондулятор. Изучается влияние высших гармоник ондуляторного поля и отклонения от оси на излучения ЛСЭ с учётом реальных параметров пучка. Вычислены соответствующие коэффициенты Бесселя для ондулятора с учётом присутствия второго периодического поля. С помощью феноменологической модели моделируются эксперименты ЛСЭ SPARC, SACLA и LCLS. Изучается генерация высших гармоник в них, проводится сравнение эволюции мощности излучения с экспериментальными данными для мощности гармоник, включая чётные и высшие, длины усиления, насыщения и соответствующие мощности. Исследуется возможность влияния третьей гармоники поля на излучение ЛСЭ. Демонстрируется, что даже при заметных искажениях, с третьей гармоникой 10 % амплитуды идеального синусоидального магнитного поля, ее влияние на излучение ЛСЭ очень мало. Генерация второй гармоники излучения ЛСЭ в исследуемых экспериментах оказывается слабой, что согласуется с измерениями. Поведение высших гармоник также согласуется с измерениями.

Analysis of harmonic generation in planar undulators in single-pass free electron lasers.pdf Введение После появления и развития в 1960-х годах лазеров, которые работали в инфракрасной области, были предприняты значительные усилия для получения когерентного излучения в рентгеновском диапазоне, где синхротронное излучение (СИ) оставалось на протяжении многих лет самым сильным источником. Нижний предел длины волны лазера, основанного на инверсии населенности, составляет около ста нанометров. Ондуляторное излучение (ОИ) имеет важное значение из-за небольшой ширины спектральной линии излучения и его высокой яркости; оно используется во многих установках по всему миру. Физический принцип ондулятора, где заряд совершает небольшие колебательные движения поперёк оси ондулятора в пространственно-периодическом магнитном поле на фоне релятивистского дрейфа, был предложен Гинзбургом [1]. Гинзбург также предположил, что ОИ может быть когерентным, если оно исходит от электронных банчей (сгустков), удаленных друг от друга на расстоянии длины волны излучения, а длина банча короче длины волны ОИ. Первый прибор для генерации ОИ был построен и протестирован Х. Мотцем (Motz) [2] в 1951 г. В ЛСЭ излучение взаимодействует с электронами в ондуляторе, группируя электроны в микробанчи на расстоянии длины волны излучения друг от друга. Таким образом, формируется когерентное ОИ, интенсивность которого экспоненциально растёт вдоль ондулятора до насыщения. ЛСЭ способны генерировать когерентное рентгеновское излучение с пиковой мощностью, превышающей мощность СИ в рентгеновском диапазоне [3, 4]; это излучение применяются во многих областях: в медицине, архитектуре и др. В многопроходном ЛСЭ излучение заключено в оптической полости с отражающими полупрозрачными зеркалами, как и в обычном лазере. Оптические элементы задают моды излучения, но в рентгеновском диапазоне обнаружены лишь редкие пики отражательной способности [5], что ограничивает использование зеркал в нём. В однопроходных ЛСЭ с высоким коэффициентом усиления [6, 7] излучение проходит ондуляторы большой длины один раз. Такие ЛСЭ не требуют оптических резонаторов, и их частота не ограничена отражательной способностью зеркал. Генерация начинается либо от начального шума в ЛСЭ с самоусилением спонтанного излучения (ССИ), либо от слабого когерентного источника в ЛСЭ с затравочным излучением. Излучение ЛСЭ ССИ обычно имеет хорошую пространственную структуру, но плохую временную когерентность из-за начальных флуктуаций. Работа ЛСЭ с высоким коэффициентом усиления обычно моделируется численными программами, которые используют одно- и трёхмерные численные модели. Однако использование последних требует обученного и подготовленного персонала, вычислительной среды, средств и исходных данных, а феноменологическая модель легко реализуется в любой математической программе, например Mathematica. Кроме того, для пользователя численных программ обычно доступно лишь изменение стандартных параметров обычных ондуляторов и невозможно задать конфигурацию магнитного поля в них. Феноменологическое описание, напротив, позволяет моделировать практически любой ЛСЭ с ондуляторным полем произвольной конфигурации. 1. Феноменологическое описание двухчастотного однопроходного ЛСЭ Феноменологическое описание эволюции мощности излучения в однопроходном ЛСЭ [8] основывается на логистическом уравнении, предложенном Даттоли в [9]. Полная мощность гармоники ЛСЭ включает в себя линейный и нелинейный члены: [10]: , , . (1) Здесь , где - длина усиления n-й гармоники; ; - скорректированный с учётом дифракции пучка параметр Пирса [3, 10, 11]: , , , (2) λu - период ондулятора; k - ондуляторный параметр; - поперечное сечение гауссова пучка, м2; - энергия покоя электрона, эВ; Pe - мощность пучка электронов, Вт; - плотность тока пучка, A/м2; I0 - ток, A; P0,n - начальная мощность гармоники n, - её мощность насыщения, , fn - коэффициенты Бесселя; Φ и η - корректирующие феноменологические коэффициенты, учитывающие разброс энергий в пучке и эмиттанс : , , ; (3) , , , (4) μi - коэффициенты уширения, которые выражаются через эмиттанс и параметры Твисса в каждой ондуляторной секции с N периодами [10]. Мощность излучения гармоник растет, следуя эволюции их банчинга. В несгруппированном пучке ~ 1/9 доступной мощности излучения исполь¬зуется для начальной группировки [3], так как сначала происходит модуляция энергии и за ней следует модуляция электронной плотности пучка. В сгруппированном пучке коэффициенты банчинга эволюционируют следующим образом [10]: , (5) где - коэффициенты банчинга электронов, входящих в секцию ЛСЭ. Стабильное усиление в ЛСЭ достигается при малом разбросе энергии, , и расходимости пучка . Для согласованного пучка ; в рентгеновском диапазоне . Осевая асимметрия пучка в ондуляторе феноменологически учитывается в его сечении через параметры Твисса и эмиттанс: . Взаимодействие излучения с электронами увеличивает начальный разброс энергии на [12] (детали модели и формулы см. в [13]). Для описания эволюции мощности и банчинга в феноменологической модели ЛСЭ нужны коэффициенты банчинга для исследуемых гармоник излучения. В реальных ондуляторах могут присутствовать высшие гармоники периодического магнитного поля ондулятора, например: . (6) Чтобы описать их возможное влияние на излучение ЛСЭ с учётом эмиттанса , мы рассчитали соответствующие коэффициенты fn в терминах обобщённых функций Бесселя: , , ; (7) (8) (9) Формулы (7) - (9) следует использовать вместо полученных ранее в [8, 13-21]; они правильно и точно описывают излучение нечётных гармоник, а также ранее неучтённый вклад чётных гармоник ОИ. Резонансы ОИ в поле (6) приходятся на длины волн . В обычном плоском ондуляторе на оси получаем , где - обычные функции Бесселя, и резонансы на длинах волн . 2. Моделирование ЛСЭ эксперимента SPARC Феноменологическая модель была проверена моделированием ЛСЭ в диапазоне излучения 0.5 мкм - 0.15 нм в различных условиях. Мы провели моделирование мощности гармоник по длине ондуляторов в эксперименте SPARC [22], где применялись ондуляторные секции длиной 2.1 м с k = 2.1, λu = 2.8 см, а пучок электронов имел энергию 151.9 МэВ и ток I0 = 53 A. На рис. 1, а показан полученный рост мощности по длине ондуляторов ЛСЭ. Видно, что феноменологическая модель с хорошей точностью согласуется с экспериментальными значениями измеренной мощности ЛСЭ: насыщение достигается примерно на 13.5 м длины ондуляторов. Разница в результатах является естественной даже для сложных численных симуляций PERSEO и GENESIS (рис. 1, б), которые дают несколько завышенные значения для мощности гармоник. Рис. 1. Эволюция мощности гармоник в ЛСЭ в эксперименте SPARC. Экспериментальные значения - точки. Гармоники в феноменологической модели: а - n = 1 (кр. 1) и 3 (кр. 3); б - численные симуляции в программах PERSEO (штриховые кривые а) и GENESIS (пунктирные кривые б): n = 1 (кр. 1) и 3 (кр. 3) 3. Моделирование ЛСЭ эксперимента SACLA на установке SPRING 8 На установке SPRING 8 (Япония) проводится модернизация второй линии ЛСЭ SACLA с изменяемым параметром дипольности k для работы в мягком рентгеновском диапазоне ~ 1-12 нм. Мы провели моделирование эволюции мощности излучения этого ЛСЭ [23] с максимальными значениями: k = 2.1 и энергии электронов E = 800 МэВ (по данным [23]); значение тока I0 = 300 A было получено в симуляциях самими разработчиками ЛСЭ [23]. Приведем некоторые данные моделирования ЛСЭ SACLA:  = 1570, Ee = 800 МэВ, PE = 241 ГВт, J = 5.1109 A/м2, full = 5.8910-8 м2, I0 = 300 A, уe = 0.4510-3,  ≈ 1.05, fn = {0.801, 0.329, 0.199}, сD,n = {0.00087, 0.00048, 0.00035}, Pn,f = {2.5108, 1.2105, 87} Вт, Lg = 1.2 м, Ls ≈ 14 м, λ1 = 11.7 нм, λ3 = 3.9 нм, λ5 = 2.34 нм. Результаты феноменологического моделирования эволюции мощности излучения по длине ЛСЭ показаны на рис. 2, а; его пространственное распределение в 1 см от ЛСЭ смоделировано с помощью программы SPECTRA и представлено на рис. 2, б. Рис. 2. Эволюция мощности излучения в ЛСЭ Spring 8 с ондулятором с λu = 1.8 см, k = 2.1, при γ = 1570, σe = 4.510-4, εnx,y = 3 мммрад (а). Гармоники в феноменологической модели: n = 1 (кр. 1а), n = 3 (кр. 3а), n = 5 (кр. 5а). Гармоники в PERSEO: n = 1 (кр. 1б), n = 3 (кр. 3б), n = 5 (кр. 5б). Пространственное распределение излучения ЛСЭ (б, оси в мм) Мы получили максимальную мощность основного тона ≈ 0.2 ГВт, длину усиления Lg = 1.2 м, длину насыщения Ls ≈ 14 м, что соответствует полной длине ондуляторов ЛСЭ SACLA [23]. Начальный разброс энергии пучка электронов: [23]. Величина параметра Пирса для первой гармоники равна ρ1 ≈ 0.0009, что гарантирует стабильную генерацию в ЛСЭ при . Для высших гармоник при не выполняется условие . Отметим, что для генерации третьей гармоники требуется пучок с начальным разбросом энергии . Моделирование мощности гармоник ЛСЭ эксперимента SACLA [23] с током I = 120 А, нормализованным эмиттансом εnx,y = 1 мммрад и длительностью банча 0.8 пс, показано на рис. 3. Рис. 3. Эволюция мощности излучения (а) при γ = 1570, σe = 210-4, εx,y = 1 мммрад, в ЛСЭ с ондулятором с λu = 1.8 см, k = 2.1, и эволюция банчинга (б). Гармоники: n = 1 (кр. 1), n = 2 (кр. 2), n = 3 (кр. 3), n = 4 (кр. 4), n = 5 (кр. 5) Приведем некоторые данные моделирования для гармоник с n = 1, 2, 3, 4, 5: fn = {0.800, 0.060, 0.323, 0.058, 0.195}, ρn = {0.00088,0.00015,0.00050,0.00015,0.00036}, PF,n = {1.1108, 1.1103, 1106, 2103, 7.1104} Вт, P0 = 14 кВт, γ = 1570, Ee = 800 МэВ, PE = 96 ГВт, J = 6.1109 A/м2, Σfull = 1.96610-8 м2, I0 = 120 A, σe = 0.0002, ξ = 1.05, k = 2.1, h = 3, d = 0, λu = 1.8 см, Ls = 12.2 м, Lg = 1.02 м, λn=1 = 11.7 нм, λn=2 = 5.9 нм, λn=3 = 3.9 нм, λn=5 = 2.34 нм. Вклад 3-й гармоники был зарегистрирован и оценён экспериментаторами как ~ 0.3 % от вклада основного тона [23]. Смоделированная эволюция мощности и банчинга гармоник в таком ЛСЭ представлена на рис. 3: мы получили длину усиления Lg ≈ 1 м, длину насыщения Ls ≈ 12.2 м, мощность гармоник с n = 1 и 3 соответственно PF,n=1 = 110 МВт и PF,n=3 = 1 МВт. Гармоника с n = 3 имеет мощность несколько больше измеренной, но < 1 % от мощности гармоники с n = 1, согласно [23]. Вторая и четвертая гармоника возникают из-за конечных размеров и отклонения пучка от оси, и неидеальности поля; их мощность мала (см. кривые 2 и 4 на рис. 3). 4. Моделирование ЛСЭ эксперимента LCLS и изучение влияния высших гармоник поля ондулятора на излучение ЛСЭ Одним из самых известных и хорошо документированных экспериментов по генерации когерентного жесткого рентгеновского излучения был эксперимент LCLS [24]. В нём использовался пучок электронов высокой энергии с релятивистским фактором γ = 26600 и током 3 кА для генерации основного тона на длине волны λ1 = 0.15 нм в ЛСЭ длиной > 70 м, состоящем из 17 ондуляторов длиной 3.4 м с k = 3.5 и периодом λu = 3 см с зазорами в 15 см между ними. Разброс энергий электронов в пучке составлял σe = 110-4, нормализованный эмиттанс εx,y = 0.4 мкм, сечение пучка Σ = 910-9 м2, плотность тока J = 3.331011 A/м2. Эволюция мощности основного тона в ЛСЭ LCLS, смоделированная в [25, 26], полностью соответствует измеренным в [24] значениям. Далее, используя формулы (1) - (4) и (7) - (9), проведём моделирование излучения гармоник в LCLS-эксперименте и сравним результаты с экспериментальными данными в [27]. При этом мы также предположим возможность присутствия третьей гармоники поля ондулятора с тем или иным знаком, d = ±0.1, h = 3 в (6). Моделирование роста мощности гармоник приведено на рис. 4. Динамика основного тона соответствует описанной в [24], длина усиления Lg = 3.7 м находится в расчётном интервале 3.5-4 м [24], длина насыщения составляет ~ 56 м, с учётом зазоров это соответствует измеренному значению 60 м, максимальная мощность основного тона ~ 20 ГВт, с учётом осцилляций ~ 12 ГВт. Мощность третьей гармоники PF,n=3 ≈ 0.28 ГВт. Рис. 4. Эволюция мощности гармоник в ЛСЭ LCLS с E = 13.6 ГэВ, σe = 110-4, εx,y = 0.4 мкм, λu = = 3 см, k = 3.5 (а); магнитное поле в ондуляторе с (б). Гармоники в эксперименте LCLS: n = 1 - точки, диапазон измеренных значений суммарной мощности высших гармоник указан тёмной областью между штрихпунктирными линиями. Гармоники в феноменологической модели: n = 1 (кр. 1), n = 2 (кр. 2), n = 3 (кр. 3), n = 5 (кр. 5). Штриховые кривые соответствуют ондулятору с d = +0.1, пунктирные - ондулятору с d = -0.1 В ондуляторах иногда возможно заметное присутствие высших гармоник магнитного поля на оси. Например, третья гармоника поля с амплитудой ~ 1/10 амплитуды основного периодического поля ондулятора была отмечена в [28]. Подобный вклад способен существенно изменить форму поля плоского ондулятора (рис. 4, б). Изучим воздействие третьей гармоники магнитного поля плоского ондулятора на излучение ЛСЭ. Сравнение пунктирных и штриховых кривых на рис. 4, а показывает, что, несмотря на заметное изменение формы поля (рис. 4, б), третья гармоника поля ондулятора, независимо от знака «+» или «-», не оказывает существенного влияния на излучение ЛСЭ (рис. 4, а). Более того, даже присутствие третьей гармоники магнитного поля с d = ±0.3 мало меняет мощности гармоник излучения ЛСЭ. Мы не показываем этот случай, чтобы не загромождать рис. 4. В идеальном плоском ондуляторе на оси присутствуют только нечётные гармоники; но из-за неидеальности гармонического поля, бетатронных осцилляций, конечного размера пучка и отклонения от оси, возможно появление чётных гармоник. Мы оценили присутствие второй гармоники излучения в ЛСЭ LCLS исходя из параметров электронного пучка и магнитного поля. Примерная мощность второй гармоники показана кривыми 2 на рис. 4 и 5. Её мощность насыщения приблизительно равна начальной мощности основного тона. Высшие гармоники излучения были измерены экспериментально [27]: вклад третьей гармоники составлял 0.2 < 2 % от мощности основного тона для жесткого рентгеновского излучения с E = 13.6 ГэВ, σe = 110-4 (рис. 4); туда включена и мощность более высоких гармоник, которые не измерялись отдельно. Этот диапазон показан затемнением между штрихпунктирными кривыми на рис. 4, а. Сравнение моделирования гармоник с экспериментом ЛСЭ LCLS в мягком рентгеновском диапазоне с энергией электронов E = 4.3 ГэВ, σe = 310-4 представлено на рис. 5. Измеренная мощность третьей гармоники в этом случае составляла 2-3 %, второй гармоники ~ 0.04-0.1 % мощности основного тона, мощность пятой гармоники не измерялась и была оценена ~ 1/10 мощности третьей гармоники. В рамках феноменологической модели мощности высших гармоник находятся в диапазоне измеренных значений (рис. 4, а и 5). При E = 13.6 ГэВ мощность второй гармоники меньше или около начальной мощности основного тона (см. рис. 4, а), и она не была зарегистрирована в эксперименте. При E = 4.3 ГэВ, σe = 310-4 мы получили вторую гармонику в мягком рентгеновском диапазоне (рис. 5); её мощность несколько меньше измеренной, но по порядку величины соответствует ей. Рис. 5 Эволюция мощности гармоник в LCLS ЛСЭ с E = 4.3 ГэВ, σe = 310-4, εx,y = 0.4 мкм, λu = 3 см, k = 3.5. Гармоники в феноменологической модели: n = 1 (кр. 1), n = 2 (кр. 2), n = 3 (кр. 3), n = 5 (кр. 5). Экспериментально оцененный диапазон мощности насыщения гармоник указан тёмными областями между штриховыми кривыми Заключение В настоящей работе проведен сравнительный анализ результатов моделирования лазеров на свободных электронах с использованием феноменологической модели, численных симуляций и измерений в экспериментах с ЛСЭ. Мы провели феноменологическое и численной моделирование эксперимента SPARC [22] и сравнили его с измерениями и результатами трехмерного моделирования в [22] в программе GENESIS (см. рис. 1). Феноменологическое моделирование показало отличное согласие с экспериментом, даже лучшее, чем в сложных численных программах. Мощность первой и третьей гармоник, длина усиления и насыщения согласуются с измеренными значениями. Моделирование ЛСЭ на модернизированной второй линии ЛСЭ SACLA с максимальными значениями тока 300 А, энергии электронов E = 800 МэВ и ондулятора с периодом λu = 1.8 см и k = 2.1 показало, что для устойчивой генерации основного тона на длине волны λ1 ≈ 12 нм нужен разброс энергий пучка σe < ρ1/2 = 4.410-4; при этом ЛСЭ будет вблизи насыщения на длине 14 м (см. рис. 2), что соответствует длине имеющихся ондуляторов экспериментальной установки. Для генерации третьей гармоники на длине волны λ3 ≈ 4 нм требуется пучок с начальным разбросом энергии σe < 2.510-4. Смоделирован проведённый эксперимент SACLA с током 120 А [23], в котором была зафиксирована третья гармоника. Результаты моделирования (см. рис. 3 и данные к нему): длина усиления Lg ≈ 1 м, длина насыщения Ls ≈ 12 м, мощности гармоник PF,n=1 = 1.1108 Вт и PF,n=3 = 6105 Вт - соответствуют измерениям; PF,n=3/PF,n=1 ≈ 0.9 %. Моделирование мощности гармоник рентгеновского излучения в эксперименте LCLS [24] с электронами энергии E=13.6 ГэВ и током 3 кА для генерации на длине волны λ1 = 0.15 нм (см. рис. 4) показало хорошее согласие с измеренными параметрами ЛСЭ. В частности, мы получили длину усиления Lg = 3.7 м, длину насыщения Ls ~ 55 м, мощность основного тона PF,n=1 ≈ ≈ 20 ГВт→12 ГВт с учётом осцилляций, смоделированных численно в программе PERSEO, что соответствует измерениям [24]. Мы получили мощность третьей гармоники PF,n=3 ≈ 0.28 ГВт в измеренном [27] диапазоне 0.2-2 % значений мощности основного тона. Для излучения в мягком рентгеновском диапазоне от электронов с энергией 4.3 ГэВ мы также получили хорошее согласие с LCLS-экспериментом: третья гармоника ~ 2-3 %. Вторая гармоника излучения ЛСЭ с плоским ондулятором появляется из-за неидеальности гармонического поля, бетатронных осцилляций, конечного размера пучка и отклонения от оси ондулятора. В большинстве исследованных ЛСЭ она оказывается слабее начальной мощности шума в ЛСЭ (кривые 2 на рис. 3 и 4). В некоторых случаях она может быть более существенной. Так, в LCLS эксперименте вторая гармоника была зафиксирована с 0.04-0.1 % мощности основной. Мы также получили её в нашей модели (см. рис. 5). Таким образом, результаты модели соответствуют экспериментальным значениям и численным симуляциям, что говорит о правильности моделирования. Исследовано влияние высших гармоник периодического магнитного поля ондулятора на излучение гармоник ЛСЭ. Продемонстрировано, что даже значительное, 10-30 %, присутствие третьей гармоники поля, заметно искажающее его синусоидальную форму (см. рис. 4, б), независимо от знака «±», не оказывает существенного влияния на излучение гармоник ЛСЭ (см. рис. 4, а). Согласие результатов с экспериментами ЛСЭ в широком диапазоне длин волн говорит о справедливости феноменологического подхода и позволяет исследовать с его помощью настоящие и строящиеся ЛСЭ с практически любой конфигурацией магнитного поля. Авторы выражают благодарность рецензентам, профессору А. Борисову и в.н.с. А. Лобанову за полезные обсуждения и советы.

Ключевые слова

излучение ондуляторов, гармоники поля, генерация гармоник, лазер на свободных электронах, undulator radiation, two-frequency undulator, harmonic generation, free-electron laser

Авторы

ФИООрганизацияДополнительноE-mail
Жуковский Константин ВладимировичМосковский государственный университет им. М.В. Ломоносовад.ф.-м.н., ведущ. науч. сотр.zhukovsk@physics.msu.ru
Калитенко Александр МихайловичМосковский государственный университет им. М.В. Ломоносовастудентsaschaaa125@gmail.com
Всего: 2

Ссылки

Lee K., Mun J., Hee Park S., et al. // Nucl. Instrum. Methods Phys. Res. A. - 2015. - V. 776. - P. 27- 33.
Ratner D. et al. // Phys. Rev. ST-AB. - 2011. - V. 14. - P. 060701.
Zhukovsky K. // J. Optics. - 2018. - V. 20. - Nо. 9. - P. 095003.
Zhukovsky K. and Kalitenko A. // J. Synchrotron Rad. - 2019. - V. 26. - P. 159-169, DOI:10.1107/S1600577518012444.
Emma P. et al. // Nature Photonics. - 2010. - V. 4. - P. 641-647.
Shigeki Owada et al. // J. Synchrotron Rad. - 2018. - V. 25. - P. 282-288.
Zhukovsky K. // EPL. - 2017. - V. 119. - P. 34002.
Giannessi L. et al. // Phys. Rev. ST-AB. - 2011. - V. 14. - P. 060712.
Жуковский К.В. // Изв. вузов. Физика. - 2018. - Т. 61. - № 2. - С. 67-74.
Жуковский К.В. // Вестник МГУ. Сер. 3. Физика. Астрономия. - 2018. - № 5. - C. 18-25.
Жуковский К.В. // Вестник МГУ. Сер. 3. Физика. Астрономия. - 2018. - № 4. - C. 26-34.
Жуковский К.В., Потапов И.А., Калитенко А.М. // Изв. вузов. Радиофизика. - 2018. - Т. 61. - № 3. - С. 244-260.
Zhukovsky K. // Opt. Commun. - 2018. - V. 418. - P. 57-64.
Zhukovsky K. // J. Appl. Phys. - 2017. - V. 122. - No. 23. - P. 233103.
Zhukovsky К. // J. Phys. D: Appl. Phys. - 2017. - V. 50. - P. 505601.
Zhukovsky K. and Potapov I. // Laser Part. Beams. - 2017. - V. 35. - P. 326.
Dattoli G. and Ottaviani P.L // Opt. Commun. - 2002. - V. 204. - No. 1. - P. 283-297.
Schneidmiller E.A. and Yurkov M.V. // Phys. Rev. ST-AB. - 2012. - V. 15. - P. 080702.
Dattoli G., Giannessi L., Ottaviani P.L., and Ronsivalle C. // J. Appl. Phys. - 2004. - V. 95. - P. 3206-3210.
Dattoli G. // J. Appl. Phys. - 1998. - V. 84. - Nо. 5. - P. 2393-2398.
Жуковский К.В. // Изв. вузов. Физика. - 2017. - T. 60. - № 9. - С. 155-161.
Sprangle P. and Smith R.A. // Phys. Rev. A. - 1980. - V. 21. - No. 1. - P. 293.
Yu L.-H. et al. // Science. - 2000. - V. 289. - P. 932.
Patent numbers: EP 1198725 A1 and PCT number PCT/US2000/013549.
Motz H., Thon W., and Whitehurst R.N.J. // Appl. Phys. - 1953. - V. 24. - P. 826.
McNeil B.W.J. and Thompson N.R. // Nature Photonics. - 2010. - V. 4. - P. 814.
Багров В.Г., Бисноватый-Коган Г.С., Бордовицын В.А. и др. Теория излучения релятивистских частиц. - М.: Физматлит, 2002. - 575 с.
Ginzburg V.L. // Isvestia Akademii Nauk SSSR (Fizika). - 1947. - V. 11. - No. 2. - P. 1651.
 Анализ генерации гармоник в плоских ондуляторах в однопроходных ЛСЭ | Изв. вузов. Физика. 2019. № 2.

Анализ генерации гармоник в плоских ондуляторах в однопроходных ЛСЭ | Изв. вузов. Физика. 2019. № 2.