Квантовый затухающий осциллятор Фока с линейной диссипацией и уравнение Линблада | Изв. вузов. Физика. 2019. № 2.

Квантовый затухающий осциллятор Фока с линейной диссипацией и уравнение Линблада

Quantum damping focal oscillator with linear dissipation and Linblad equation.pdf Квантовый затухающий гармонический осциллятор давно используется для описания открытых квантовых систем, в которых происходит диссипация энергии. Основным уравнением для открытых систем служит квантовое уравнение Линблада [1] в различных формах, которое является обобщением уравнения Лиувилля - Неймана, справедливым для замкнутых квантовых систем. Примеры различных резервуаров в виде двухуровневых систем, квантовой оптики, квантовое броуновское движение и др. приведены в монографии [2]. Уравнение Линблада [2, 3] существует в двух основных формах: для статистического оператора в представлении Шредингера и сопряжённого уравнения Линблада для гейзенберговских операторов системы. Работа посвящена решению сопряжённого уравнения Линблада для квантового затухающего гармонического осциллятора в представлении Фока. Такое уравнение можно использовать при рассмотрении затухания электромагнитного поля в случае распространения фотонов в прозрачных средах с диссипацией, которую традиционно не учитывают (см., например, обзор [4]). Мы будем использовать следующее модифицированное динамическое квантовое сопряженное основное уравнение Линблада для операторов системы, которое является обобщением уравнения (3.314) [2]: , (1) где - гамильтониан осциллятора с частотой в абстрактном гильбертовом пространстве [4]; - оператор «энергии диссипации» [5] соответствует оператору ; - оператор рождения фотона моды; - оператор уничтожения фотона моды; - коммутатор; - среднее число квантов моды с частотой теплового резервуара ; - коэффициент затухания моды. Последние два слагаемых формулы (1) в фигурных скобках - это сопряженный генератор Линблада в абстрактном гильбертовом пространстве (осциллятор в представлении Фока). Подставляя последовательно операторы в уравнение (1), получаем урав- нения (2) Применяя преобразование Лапласа к системе (2), получаем систему алгебраических уравнений для изображений, которую решаем методом определителей Крамера. Используя формулу (4) таблицы обратного преобразования Лапласа [6, с. 207], получаем решения системы (2) в виде (3) При начальном условии гейзенберговские и шредингеровские операторы совпадают. Аналогично для квадратичных операторов получаем систему (4) Используя формулы (2.8) и (2.9) таблицы обратного преобразования Лапласа [7, с. 214], получаем решения системы (4) в общем виде: . (5) Здесь , ; - основная амплитуда; ; - фаза. (6) Коэффициенты и в формулах (6) имеют вид (7) (8) Вторая группа коэффициентов в слагаемых формулы (5) с множителем , не зависящим от начальных значений операторов, следующая: (9) . (10) Из формулы (3) видно, что амплитуды осцилляторов уменьшаются по экспоненциальной спирали в комплексной плоскости. Частота осцилляций уменьшена по сравнению с частотой моды . Формулы (3) и (5) - затухающие амплитудно-частотные и фазочастотные колебания. Из их сравнения видно, что оператор энергии начиная с некоторого постоянного значения, осциллирует с удвоенной частотой сложным образом. Он уменьшает свою амплитуду с удвоенным показателем экспоненты по сравнению с амплитудой осциллятора . Заметим, что на основе квантового уравнения Линблада для открытых квантовых систем можно учитывать линейную диссипацию для различных резервуаров не только для колебаний с описанием временного затухания, но и для электромагнитных волн в средах с пространственным затуханием путем замены времени , где - скорость света в кристалле [8]. Тогда в случае сред с дисперсией частота моды зависит от волнового вектора и поляризации в формулах (3) и (5).

Ключевые слова

осциллятор Фока, уравнение Линблада, Fock oscillator, Linblad equation

Авторы

ФИООрганизацияДополнительноE-mail
Кирчанов Вячеслав СергеевичПермский национальный исследовательский политехнический университетк.ф.-м.н., доцентKirchanovvs@pstu.ru
Всего: 1

Ссылки

Linblad G. // Comm. Math. Phys. - 1975. - V. 48. - No. 2. - P. 119-130.
Бройер Х.-П., Петруччионе Ф. Теория открытых квантовых систем. - М.; Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2010. - 824 с.
Кирчанов В.С. // ТМФ. - 2006. - Т. 146. - № 2. - С. 288-294.
Топтыгин И.Н. // УФН. - 2017. - Т. 187. - Вып. 9. - С. 1007-1020.
Stratonovich R.L // Physica A. - 1997. - V. 236. - No. 3-4. - P. 335-352.
Бейтмен Г. и Эрдейи A. Таблицы интегральных преобразований. Т. 1. Преобразования Фурье, Лапласа, Меллина. - М.: Наука, 1969. - 344 c.
Корн Г. и Корн Т. Справочник по математике. - М.: Наука, 1974. - 836 с.
Холево А.С. Квантовые случайные процессы и открытые системы. - М.: Мир, 1988. - 223 с.
 Квантовый затухающий осциллятор Фока с линейной диссипацией и уравнение Линблада | Изв. вузов. Физика. 2019. № 2.

Квантовый затухающий осциллятор Фока с линейной диссипацией и уравнение Линблада | Изв. вузов. Физика. 2019. № 2.