Экстремумы упругих свойств кубических кристаллов | Изв. вузов. Физика. 2019. № 8. DOI: 10.17223/00213411/62/8/102

Экстремумы упругих свойств кубических кристаллов

Как правило, обсуждение физических свойств кристаллов сопровождается отнюдь не простыми математическими выкладками, опирающимися на алгебраические выражения в тензорной и матричной записи. Такой подход, обусловленный природой и единым представлением свойств кристаллических материалов, весьма затрудняет практические вычисления их конкретных характеристик и параметров. На примере кристаллов никелида титана показано, что коэффициент анизотропии упругих свойств кристаллов кубической сингонии, равный отношению экстремальных значений (минимальному и максимальному) модуля сдвига, близок к отношению экстремальных значений модуля Юнга. Рассмотрены варианты описания упругой анизотропии кубических кристаллов с помощью ряда размерных и безразмерных независимых показателей. На конкретном примере показано, что они могут давать существенно различающиеся результаты. Обсуждаются способы визуальной интерпретации анизотропии упругих свойств с помощью соответствующих характеристических (указательных) поверхностей и их сечений. Отмечается, что наиболее доступной для построения является индикатриса модуля нормальной упругости Юнга, хотя она не является полной характеристикой анизотропии упругих свойств кубических кристаллов. Предложен способ визуализации матриц упругих постоянных кристаллов с помощью пакета прикладных программ MATLAB, что дает наглядную информацию о соотношении величин элементов матрицы. В качестве примера расчета экстремальных значений и параметров анизотропии, а также построения характеристических поверхностей и их сечений рассмотрены монокристаллы никелида титана TiNi, широко применяемого в различных сферах науки, техники и медицины и часто обсуждаемого в литературе.

Extrema of elastic properties of cubic crystals.pdf Введение Теоретические аспекты упругих свойств кристаллов весьма активно обсуждаются в литературе [1-10]. Несмотря на это, полученные результаты исследований часто содержат достаточно сложные математические выражения, нередко в тензорной или матричной форме, что может затруднять их прикладное использование. В данном сообщении представлен обзор максимально упрощенных, но точных расчетных формул для вычислений экстремальных значений упругих модулей и коэффициента Пуассона и процедуры визуализации упругих свойств кристаллов кубической сингонии на основе матриц упругих постоянных и коэффициентов податливости. Цель данной работы - показать возможность определения экстремальных значений модуля сдвига (G) при изучении упругих свойств кристаллов кубической сингонии только методом растяжения экспериментальных образцов, а также представить рассмотрение способов анализа упругой анизотропии таких кристаллов и методов графического представления анизотропии упругих свойств кристаллов. В случае идеальных кристаллов кубической системы упругие свойства полностью описываются матрицей упругих постоянных (коэффициентов жесткости) cij, которая содержит три независимые упругие постоянные с11, с12 и с44. Из них только постоянная с44 имеет прямой физический смысл как мера сопротивления кристалла сдвигу в плоскости куба вдоль любого направления, лежащего в этой плоскости. Коэффициенты матрицы с11 и с12 такого простого объяснения не имеют. Их смысл можно понять, только используя соответствующую запись закона Гука. Однако линейные комбинации с11 и с12: и в первом случае являются мерой сопротивления кристаллов гидростатическому сжатию (модуль объемной упругости) и во втором случае - мерой сопротивления кристалла сдвигу в плоскости {110} в направлении . При этом с44 и C - экстремальные (всегда наибольший и наименьший, или наоборот) модули сдвига в кубическом кристалле. Исключение могут составлять только упругоизотропные кристаллы, у которых . Отметим, что матрица упругих постоянных кубических кристаллов является весьма разреженной, потому что только 12 из 36 элементов отличны от нуля (в противном случае, если большая часть элементов матрицы ненулевые, матрица считается плотной). Упругие постоянные отражают характер межатомных связей и устойчивость твердых тел к формированию кристаллических структур. Критерии устойчивости к бесконечно малым деформациям для кубических решеток сводятся к следующим односторонним неравенствам: . Кристалл теряет устойчивость к сдвиговым деформациям при условии C  = 0 или c44 = 0, а при всестороннем сжатии при c11+2c12 = 0. При этом обращение в ноль сдвигового модуля может соответствовать перестройке кристаллической решетки в твердом теле при структурном фазовом переходе. Для описания упругих свойств кристаллов также применяются коэффициенты матрицы податливости , которые для кубических кристаллов связаны с упругими постоянными несложными соотношениями [2]: (1) Из уравнений (1) можно получить обратные формулы: (2) Наряду с (1) и (2) известны и другие выражения, связывающие жесткости и податливости кубических кристаллов: и . (3) Для сокращения форм записи алгебраических зависимостей часто применяются следующие линейные комбинации коэффициентов податливости: , . (4) Параметры анизотропии и экстремальные значения упругих модулей Меры упругой анизотропии Как известно, физические свойства кристаллов анизотропны [2]. Степень анизотропии упругих свойств кристаллов обычно аттестуется коэффициентом анизотропии в виде безразмерного отношения или . Оно характеризует степень относительного сопротивления кристалла двум основным типам сдвиговой деформации. Отметим, что, согласно (4), и , то есть величина и знак комбинаций (4) определяются значением A. Очевидно, что для упругоизотропного кристалла и . Металлы и сплавы, однако, упруго анизотропны и, как правило, . При охлаждении нормальных металлов и сплавов упругие постоянные растут, а температурный коэффициент dсij/сijdT обычно составляет (-2 -5)10-4 град-1 [4], т.е. 2-5 % на 100 °C. Коэффициент Зинера является наиболее известной мерой упругой анизотропии кубических монокристаллов. Впервые это понятие было введено К. Зинером [1] при анализе структурных переходов в латуни. С течением времени в литературе был описан широкий спектр вариантов измерений упругой анизотропии. Этому способствовало развитие теории прочности поликристаллических твердых тел, для которых было показано, что главным фактором, определяющим уровень концентрации микронапряжений и деформаций в упругой области, является анизотропия упругих свойств. Наряду с коэффициентом A для кубических кристаллов использовали и другие комбинации упругих постоянных/коэффициентов податливости, например Δ, s или , а также отношение экстремальных значений упругих модулей Юнга (Е) и сдвига , , и даже коэффициентов Пуассона µmax/µmin. Экстремумы упругих модулей Экстремальные значения модулей обычно соответствуют стандартным направлениям в кристаллической решетке. При этом, какая из двух экстремальных величин модуля E100 или E111 является минимальной, а какая максимальной, зависит от знака параметра анизотропии Δ, поскольку , , . (5а) При Δ > 0 (A > 1) E100 < E110 < E111, если Δ < 0 (A < 1), то E100 > E110 > E111, при Δ = 0 (A = 1) материал изотропен и E100 = E110 = E111. Кроме того, известны формулы, связывающие модули Юнга для различных кристаллографических направлений и упругие постоянные кубического кристалла: (5b) Знак Δ также определяет, каким - минимальным или максимальным - является значение модуля сдвига: или . (6) При положительном значении Δ (A > 1) , при отрицательном Δ (A < 1) , для кристалла с упругоизотропными свойствами (Δ = 0, A = 1) . Коэффициенты податливости и упругие постоянные кубической кристаллической решетки связаны с упругими модулями для высокосимметричных направлений соотношениями , , , (7a) , (7b) , (7c) . (7d) Ориентационная зависимость упругих модулей и коэффициента Пуассона Модуль Юнга В общем виде в кубических кристаллах модуль Юнга E(n) определяется через коэффициенты податливости sij с помощью выражений [11] , (8) где - квадратичная форма, состоящая из соответствующих произ- ведений квадратов направляющих косинусов n1, n2 и n3. Поскольку , то . То есть P(n) изменяется от 0 до 1/3 и принимает минимальное значение 0 и максимальное значение 1/3 в направлениях и в кристалле соответственно (вдоль ребра и пространственной диагонали куба). Модуль сдвига Модуль сдвига в кубических кристаллах выражается через сдвиговые постоянные c44 и С или коэффициенты податливости sij следующим образом [11, 12]: , (9) где . (10) Здесь m - единичный вектор, нормальный поверхности сдвига; n - единичный вектор в на- правлении сдвига. Компоненты обоих векторов имеют следующие ограничения: . Так как , то и принимает минимальное значение 0 и максимальное значение 1/2. При этом минимальное значение достигается при m и n, совпадающими с взаимно перпендикулярными осями кубической ячейки , а максимальное - при m и n, совпадающими с взаимно перпендикулярными диагоналями куба соответственно. Элементарная подстановка в формулы (8) и (9) дает, что в данных случаях мы действительно получаем те экстремальные значения модулей упругости из (5) и (6), о которых говорилось выше. Остановимся на экстремальных значениях упругих модулей несколько подробнее. Этот момент кратко описан в [11], но не представлен в никакой другой литературе. Если Δ > 0, то и . (11) Отсюда следует, что . (12) С другой стороны, и , (13) откуда , (14) то есть в итоге , (15) что представляет важное соотношение между экстремальными значениями упругих свойств в кубическом кристалле. По аналогии можно показать, что данная связь между экстремумами будет справедлива и в частном случае упругой анизотропии Δ < 0 (A < 1), то есть при отрицательной анизотропии. Другими словами, выражения (12) и (14) являются инвариантами в кубическом кристалле. Что касается других стандартных систем скольжения в кубических кристаллах, для систем обратная величина модуля сдвига G(m, n) равна [3]. Коэффициент Пуассона Ориентационная зависимость коэффициента поперечной деформации Пуассона активно обсуждалась в специальной литературе по прикладной механике [13-16], в том числе в тех ситуациях, когда значения коэффициента являются экстремальными или отрицательными (ауксетики) значениями. На наш взгляд, наиболее удобной для расчетов в кубических кристаллах является формула [16], согласно которой , (16) или в развернутом виде [11] . (17) Из (16), (17) следует, что значения коэффициента Пуассона вдоль высокосимметричных направлений определяются коэффициентами податливости кристалла по формулам , , , . (18) Направлениям (диагоналям грани куба) соответствуют экстремальные значения коэффициента. Их можно выразить также через упругие постоянные кристаллической решетки. По данным [15] они равны ; (19) . (20) Отметим, что соотношения (19) и (20) верны при Δ > 0. Если Δ < 0, то и соответственно. Наряду с этим, от знаков s12 и Δ зависит, является ли кристалл неауксетиком (s12 < 0, Δ < 0), частичным (s12 < 0, Δ > 0 или s12 > 0, Δ < 0) или полным ауксетиком (s12 > 0, Δ > 0) [16]. Коэффициент Пуассона частичного ауксетика может принимать положительные или отрицательные значения в зависимости от ориентации m и n. Аспекты визуализации упругих модулей и коэффициента Пуассона Традиционно предлагаются для этих целей характеристические (указательные) поверхности обсуждаемых параметров - упругих модулей и коэффициента Пуассона, рассчитанные на основании данных по упругим постоянным и коэффициентам податливости решетки. Как известно, указательной поверхностью (индикатрисой) называется воображаемая вспомогательная поверхность, характеризующая зависимость какого-либо свойства среды от направления. Для построения указательной поверхности из одной точки - геометрического центра фигуры - проводят радиус-векторы, длина которых пропорциональна величине, характеризующей данное свойство в данном направлении. Характеристические поверхности служат наглядным графическим представлением об анизотропии физических свойств, в том числе упругих [17]. Практически полезна поверхность, изображающая изменение модуля Юнга E(n) с направлением растяжения-сжатия в пространстве (рис. 1). В этом случае характеристическая поверхность дает полное графическое представление об анизотропии модуля нормальной упругости Юнга. Другой графической характеристикой анизотропии упругих свойств может служить указательная поверхность модуля сдвига G(n) при кручении, которая может быть построена с помощью соотношения [18] 2E-1(n) + G-1(n) = 2s11 + s44. (21) Рис. 1. Модуль Юнга (ГПа) монокристалла TiNi (ОЦК-решетка) Из (21) также следует, что увеличению модуля Юнга в каком-то направлении соответствует уменьшение модуля сдвига при кручении вокруг этого направления, а сумма для данного кристалла является константой и не зависит от направления n. То есть поверхность представляет собой сферу радиусом . Однако упругие свойства кристаллов полностью нельзя представить одной поверхностью. Наряду с описанными применяются поверхности модуля сдвига G(m, n) и коэффициента Пуассона µ(m, n). То есть построение характеристических поверхностей модуля сдвига при простом сдвиге и коэффициента Пуассона также возможно, но не такое простое на деле и требует дополнительных ограничений, поскольку упругие характеристики G и µ определяются ориентацией двух связанных между собой ортогональных векторов, задающих плоскость и направление сдвига в первом случае и направления продольной и поперечной деформации - во втором (см. выше). Тем не менее оба вектора могут быть параметризованы с помощью трех углов: Так как функции и не могут быть представлены в 3D-пространстве, можно визуализировать каждую из них в координатах (, ) как минимальную и максимальную величины при всех возможных значениях : и [19]. Помимо «ElAM (Elastic Anisotropy Measures)», представленной в [19], исследователям можно посоветовать другие компьютерные (онлайн) технологии при построении поверхностей упругих свойств материалов, например, описанные в [20] на базе программы компьютерной графики для визуализации матриц упругих постоянных материалов «ELATE: Elastic tensor analysis» (рис. 2). Условно в данном пакете поверхность, представляющая , где X = E, G, µ, отображается полупрозрачным голубым цветом, тогда как для применяется зеленый цвет. Для упругоизотропных материалов (А = 1, Δ = s = 0) характеристические поверхности упругих свойств представляют собой сферы: 1/E = s11, 1/G = s44 и µ = -s12/s11, а их сечения являются окружностями. Рис. 2. Модуль сдвига (a) и Юнга (б) (ГПа) монокристалла TiNi (ОЦК-решетка) Менее трудоемким является построение сечений изоповерхностей различными координатными плоскостями типа (100) или (110). В этом случае мы получаем кривые, в ряде случаев не менее наглядные и информативные (рис. 3). Рис. 3. 2D-презентация анизотропии упругих свойств. Центральные сечения характеристических поверхностей модуля Юнга E (100) монокристаллов (ГПа) Ti(Ni, Fe) с различной упругой анизотропией и разным уровнем упругих свойств («мягкой» и «жесткой» решеткой) [21] При построении сечений поверхности коэффициента Пуассона можно зафиксировать положение оси растяжения-сжатия, изменяя направление поперечной деформации, или наоборот. Экстремумы коэффициента Пуассона в кубических кристаллах могут проявляться при растяжении-сжатии в направлениях [100], [110] и [111]. Ориентационную зависимость можно строить только для случая [110]. В двух других случаях коэффициент Пуассона будет постоянной величиной: либо или в соответствии с формулами (18). Для растяжения-сжатия вдоль направлений значения µ21 и µ31 могут быть вычислены по фор- мулам Для примера на рис. 4 представлены сечения поверхностей коэффициента Пуассона кристаллов TiNi с памятью формы [21] и изоморфного, не испытывающего фазовых превращений кристаллического эквиатомного B2-соединения TiFe. Рис. 4. Коэффициенты Пуассона 21 и 31 TiNi (a) и TiFe (б). В правых верхних углах графиков представлены максимальные значения µ кристаллов Визуализация матриц упругих постоянных кристаллов Визуализация разреженных матриц нередко позволяет выявить не только любопытные, но и полезные свойства математических закономерностей, которые порождают такие матрицы или описываются последними. Часто необходимо знать, где расположены ненулевые элементы, т.е. получить так называемый шаблон матрицы. Пакет прикладных программ MATLAB имеет специальные средства для визуализации разреженных матриц, реализованные рядом команд. Наглядную информацию о соотношении величин элементов матрицы дает функция imagesc, которая интерпретирует матрицу как прямоугольное изображение. Каждый элемент матрицы представляется в виде квадратика, цвет которого соответствует величине элемента. Для того чтобы узнать соответствие цвета и величины элемента, следует использовать команду colorbar, выводящую рядом с изображением матрицы шкалу цвета. Возможность визуализации матриц с помощью MatLab в градациях серого цвета представлена на рис. 5. Рис. 5. Визуализация матриц упругих постоянных кристаллов TiNi (a) и TiFe (б) в пакете прикладных программ Matlab (градации серого) Видно, что общий уровень упругих свойств TiFe существенно выше, чем у TiNi, что не противоречит опытным данным [22]. Кроме того, из всех упругих постоянных матриц наибольшее значение имеют упругие постоянные c11 как у TiNi, так и у TiFe. Из недостатков такого графического представления матриц отметим, что, несмотря на некоторое сходство диаграмм, упругая анизотропия кристаллов TiNi и TiFe принципиально различна: A > 1 и A < 1 соответственно. Однако оно универсально и может использоваться для кристаллов других сингоний, например гексагональных систем [23]. Пример Результаты расчетов по приведенным в данном сообщении формулам для кристаллов TiNi при 100 °C (TR = 20 °C) представлены в таблице. Упругие характеристики и экстремальные значения упругих свойств монокристаллов TiNi Кристалл c11, ГПа c12, ГПа c44, ГПа s11, ГПа-1 s12, ГПа-1 s44, ГПа-1 Ti49Ni51 164.5 133.5 33 0.022278 -0.00998 0.030303 C', ГПа Δ, ГПа-1 s, ГПа-1 Emin = E100, ГПа Emax = E111, ГПа ГПа Gmax = G100,0kl, ГПа 15.5 0.017 0.034 44.9 92.1 15.5 33.0 , ГПа-1 , ГПа-1 0.03421 0.03421 A Emax/Emin Gmax/Gmin µmax/µmin 2.13 0.77 2.05 2.13 0.10 0.73 7.3 Заметим, что, согласно представленным в таблице данным, действительно равенство (15) выполняется, а коэффициент анизотропии , что несколько неожиданно и требует осмысления и дальнейшего изучения. Выводы 1. Ориентационная зависимость упругих свойств и расчетные формулы для экстремальных значений упругих характеристик кубических кристаллов допускают представление в виде, удобном для вычислений. 2. Для описания упругой анизотропии кристаллов кубической сингонии можно использовать ряд различных относительных безразмерных параметров, в том числе отношение экстремальных значений упругих характеристик. Коэффициент анизотропии кристаллов TiNi весьма близок к отношению Emax/Emin, но значительно ниже, чем µmax/µmin. 3. Для графического представления индивидуальных упругих свойств кубических кристаллов могут применяться характеристические поверхности модуля нормальной упругости Юнга, кручения, простого сдвига и коэффициента Пуассона, а также их плоские сечения, менее рутинные при построении, но достаточно наглядные и информативные. Для визуализации матриц упругих постоянных и упругой анизотропии кристаллов рекомендованы онлайн-программы «ElAM (Elastic Anisotropy Measures)», «ELATE: Elastic tensor analysis», а также пакет прикладных программ Matlab.

Ключевые слова

упругие свойства, экстремумы, анизотропия, кристаллы, elastic properties, extrema, anisotropy, crystals

Авторы

ФИООрганизацияДополнительноE-mail
Муслов Сергей АлександровичМосковский государственный медико-стоматологический университет им. А.И. Евдокимова Минздрава РФд.б.н., профессорmuslov@mail.ru
Лотков Александр ИвановичИнститут физики прочности и материаловедения СО РАНд.ф.-м.н., профессор, зав. лабораториейlotkov@ispms.tsc.ru
Арутюнов Сергей ДарчоевичМосковский государственный медико-стоматологический университет им. А.И. Евдокимова Минздрава РФд.м.н., профессорsd.arutyunov@mail.ru
Всего: 3

Ссылки

Зинер К. Упругость и неупругость металлов. - М.: ИЛ, 1954. - 41 с.
Nye J.F. Physical Properties of Crystals. - Oxford: Clarendon Press, 1985.
Сиротин Ю.И., Шаскольская М.П. Основы кристаллофизики. - 2-е изд., перераб. - М.: Наука, 1979. - 640 с.
Упругие постоянные и модули упругости металлов и неметаллов: справочник / под ред. И.Н. Францевича. - Киев: Наукова думка, 1982. - 286 с.
Annin D. and Ostrosablin N.I. // J. Appl. Mech. Tech. Phys. - 2008. - V. 49. - No. 6. - P. 998-1014.
Kevin M. // J. Elast. - 2014. - V. 120. - P. 87-108. https://doi.org/10.1007/s10659-014-9506-1.
Ting T.C.T. Anisotropic Elasticity: Theory and Applications. - N.Y.: Oxford University Press, 1996.
Turle J. and Sines G. // J. Phys. D. Appl. Phys. - 1971. - V. 4. - P. 1731-1736.
Turley J. and Sines G. // J. Phys. D. Appl. Phys. - 1971. - V. 4. - P. 264-271.
Walpole L.J. // J. Phys. D. Appl. Phys. - 1986. - V. 19. - P. 457-462.
Hayes M. and Shuvalov A. // J. Appl. Mech. - 1998. - V. 65. - P. 786-787.
Гольдштейн Р.В., Городцов В.А., Лисовенко Д.С. // Письма о материалах. - 2012. - Т. 2. - C. 21-24.
Ballato A. // IEEE. - 1996. - V. 43. - No. 1. - P. 56-62.
Povolo F. et al. // J. Nucl. Mater. - August 1983. - V. 118. - Iss. 1. - P. 78-82.
Wang X.F., Jones T.E., Li W., and Zhou Y.C. // Phys. Rev. B. - 2012. - V. 85. - P. 134108.
Епишин А.И., Лисовенко Д.С. // ЖТФ. - 2016. - Т. 86. - Вып. 10. - С. 74-82.
Митюшов Е.А., Берестова С.А. // Математическое моделирование систем и процессов. - 2006. - № 14. - С. 142-146.
Адамеску P.A., Гельд П.В., Митюшов Е.А. Анизотропия физических свойств металлов. - М.: Металлургия, 1985. - 136 с.
Marmier A., Lethbridge Z.A.D., Walton R.I., et al. // Comput. Phys. Commun. - 2010. - V. 181. - P. 2102. DOI: 10.1016/j.cpc.2010.08.033.
Gaillac R., Pullumbi P., and Coudert F.-X. // J. Phys. Condens. Matter. - 2016. - V. 28. - P. 275201.
Муслов С.А., Шеляков А.В., Андреев В.А. Сплавы с памятью формы: свойства, получение и применение в технике и медицине. - М.: Мозартика, 2018. - 254 с. DOI: 10.18411/A-2018-208.
Закревский И.Г., Кокорин В.В., Муслов С.А. и др. // Металлофизика. - 1986. - Т. 8. - № 6. - С. 91-95.
Лебеденко И.Ю., Арутюнов С.Д., Муслов С.А., Усеинов А.С. // Вестник РУДН. Сер. Медицина. - 2009. - № 4. - С. 637-638.
 Экстремумы упругих свойств кубических кристаллов | Изв. вузов. Физика. 2019. № 8. DOI: 10.17223/00213411/62/8/102

Экстремумы упругих свойств кубических кристаллов | Изв. вузов. Физика. 2019. № 8. DOI: 10.17223/00213411/62/8/102