Зависимости механических свойств керамики с бимодальным распределением пор по размерам от пористости на разных масштабных уровнях | Изв. вузов. Физика. 2019. № 8. DOI: 10.17223/00213411/62/8/128

Зависимости механических свойств керамики с бимодальным распределением пор по размерам от пористости на разных масштабных уровнях

Выявлены особенности в зависимостях от пористости упругих и прочностных свойств керамики с иерархически организованной поровой структурой. Для исключения влияния других микроструктурных факторов, таких, например, как размер зерна, изучение проводилось на основе многоуровневого компьютерного моделирования с использованием подвижных клеточных автоматов и вероятностного подхода. Разработана специальная компьютерная модель механического поведения пористой керамики с бимодальным распределением пор по размерам. На нижнем уровне модели явно учитываются мелкие изолированные поры и проводятся серии расчётов представительных образцов с индивидуальным расположением пор в пространстве. Получаемые в результате анализа Вейбулла значения упругих и прочностных характеристик этих образцов служат эффективными свойствами матрицы пористого материала на мезоуровне. На мезоуровне явно рассматриваются крупные поры как равноосной, так и вытянутой формы. На макроуровне неоднородность материала описывается неявно и сводится к заданию автоматам уникальных упругих и прочностных свойств, полученных из анализа Вейбулла результатов серии расчётов на мезоуровне.

Dependencies of the mechanical properties of ceramics with bimodal distribution of pore size on porosity at different sc.pdf Введение Современные технологии производства конструкционных и функциональных материалов позволяют получать высокоэффективные материалы, обладающие сложной многоуровневой структурой на различных пространственных масштабах. Традиционно свойства кристаллических материалов изменяли за счёт модификации их микроструктуры, например, путём добавления легирующих элементов, формирования различных сплавов, твёрдых растворов, изменения размера зерна. В настоящее время используются аддитивные технологии типа селективного лазерного спекания, позволяющие создавать заданную мезо- и макроструктуру деталей, которая порой обеспечивает задание им весьма необычных свойств. Если ограничиться рассмотрением керамических материалов, то наиболее важными параметрами их микроструктуры являются размер и форма зёрен, а мезострукутры - характеристики порового пространства. При этом последние являются определяющими для большинства физико-механических характеристик, поскольку позволяют варьировать их в широких пределах. Следует отметить, что наиболее широкие возможности современных аддитивных технологий производства керамических материалов относятся к варьированию именно поровой структуры. Поэтому для выбора технологических параметров при изготовлении современных керамических материалов важно уметь достаточно точно оценивать их физико-механические свойства на основании знаний о структуре порового пространства. Для предсказания физико-механических свойств пористых материалов различными авторами использовались разные подходы вот уже на протяжении ста лет, но до сих пор эта проблема в полной мере не решена и потому является актуальной. Аналитическое решение этой задачи наиболее успешно развито в рамках механики композитов и микромеханики, а именно подходов, основанных на методах самосогласованного поля и случайных функций [1, 2]. Однако эти подходы применимы лишь к свойствам, определяющим распространение различного типа возмущений (упругих, тепловых и электромагнитных). Для прочностных параметров возможности этих подходов ограничены периодической поровой структурой. Следует также отметить, что экспериментальное определение прочностных свойств материалов приводит к очень большому разбросу данных, причины которого могут быть различными. Из вышесказанного можно сделать вывод, что для решения данной проблемы перспективно применение средств компьютерного моделирования и статистического анализа [3-12]. В качестве численного метода моделирования в данной работе был выбран метод подвижных клеточных автоматов, который является дальнейшим развитием метода дискретных элементов (используется для описания порошковых сред) и классического метода клеточных автоматов (применяется для моделирования процессов самоорганизации в природе и технике). В результате данный метод позволяет успешно моделировать процессы генерации повреждений и распространения трещин в материалах различной природы с явным учётом элементов его внутренней структуры на различных масштабах [5, 6]. Целью данной работы является выявление особенностей упругих и прочностных свойств керамики с бимодальным распределением пор по размерам с помощью многоуровневого компьютерного моделирования на основе метода подвижных клеточных автоматов и вероятностного подхода с явным учётом формы и объёмного содержания пор различного размера, а также анализ зависимости механических свойств такой керамики от пористости. 1. Описание модели 1.1. Метод подвижных клеточных автоматов Метод подвижных клеточных автоматов (далее MCA - Movable Cellular Automata) [5-10] является численным методом, основанным на концепции дискретных частиц, которая имеет существенные отличия от концепции, основанной на решении уравнений классической механики сплошных сред. В методе MCA предполагается, что материал состоит из определённого количества элементарных объектов конечного размера (автоматов), которые взаимодействуют друг с другом и могут вращаться и перемещаться в пространстве, тем самым моделируя реальные процессы деформации. Движение ансамбля частиц описывается уравнениями Ньютона - Эйлера. С помощью процедуры осреднения для тензора напряжений в частице, изложенной в работах [7, 8], осуществляется переход от межавтоматных сил к компонентам тензора напряжений в объёме автомата. Таким образом, для описания упругопластического поведения в рамках метода MCA становится возможным использовать теорию пластического течения, например модель идеальной пластичности с критерием Мизеса. Для этого к методу MCA был адаптирован известный алгоритм Уилкинса [8]. Пару подвижных клеточных автоматов можно рассматривать как виртуальный бистабильный автомат (у него существуют два состояния: связанная и несвязанная пара), что позволяет явно моделировать процессы разрушения в методе MCA. Заданием правил перехода пары из состояния связанной в состояние несвязанной формулируется критерий разрушения моделируемого материала, который, вообще говоря, определяется физическими механизмами деформации материала. Переключение пары автоматов в несвязанное состояние приводит к изменению сил, действующих на элементы, в частности, они не будут сопротивляться взаимному удалению друг от друга. В данной работе процессы разрушения моделировались с использованием критерия, основанного на достижении в паре порогового значения интенсивности напряжений, вычисляемой на основе компонент осреднённого тензора напряжений в точке контакта пары автоматов [7, 8]. Таким образом, метод MCA позволяет моделировать механическое поведение твёрдого тела, в том числе пластическое и вязкоупругое деформирование, разрушение, фрагментацию и дальнейшее взаимодействие фрагментов как сыпучей (гранулированной) среды [6]. Ряд недавних публикаций показал перспективность метода МСА для моделирования разрушения керамик. Так, в работах [9, 10] этим методом корректно моделировалась прочность и получена оценка её неопределённости для макрообразцов керамики различной пористости как при сжатии, так и при кручении. В [11] предложено использовать оценку неопределённости, получаемую из моделирования методом МСА образцов с явным учётом пор, для многоуровневого моделирования керамики. В перечисленных выше исследованиях поры были равноосными. В [12] изучены модельные образцы керамики с цилиндрическими порами, одинаково ориентированными в пространстве, при этом показано, что цилиндрические поры, наклонённые под углом 45° к направлению сжатия, демонстрируют минимальные значения прочности и модуля упругости. 1.2. Методика многоуровневого моделирования В данной работе предлагается многоуровневый подход для трёхмерного моделирования циркониевой керамики с бимодальным распределением пор по размерам [13-15]. В целом, этот подход аналогичен двумерному подходу, описанному в [16], основное и важное отличие заключается в использовании случайного распределения упругих и прочностных характеристик гетерогенного материала на более высоких масштабах, при этом параметры этого случайного распределения определяются по результатам моделирования на нижележащих масштабах [11]. Начальный наименьший масштаб предлагаемого подхода соответствует характерному размеру самых мелких пор рассматриваемой керамики, которые, как правило, изолированные равноосные [13, 14]. В расчётах на этом уровне они учитываются явно. Вначале определяется размер представительного образца. Для этого генерируется серия кубических образцов с различным распределением пор одинакового размера в пространстве, т.е. каждая пора каждого образца характеризуется уникальным случайным расположением. По результатам расчётов на одноосное сжатие каждого образца определяются его модуль упругости и предел прочности (как угол наклона и максимум расчётной диаграммы нагружения). Для этой серии образцов находятся средние значения модуля упругости и предела прочности. Затем генерируется следующая серия подобных же образцов, но большего размера, для которой также определяются средние значения модуля упругости и предела прочности. Анализируется сходимость средних значений модуля Юнга и предела прочности при увеличении размера соответствующих образцов, именно по результатам этой сходимости определяется размер представительного образца данного масштабного уровня. В конце этой процедуры имеем данные моделирования одноосного сжатия нескольких (от 5 до 10) представительных образцов с явным учётом пор одинакового размера, но с уникальным случайным расположением их в пространстве. Анализ Вейбулла этих данных позволяет определить математические ожидания для модуля упругости и прочности, а также параметры распределения Вейбулла для этих свойств на текущем масштабном уровне. Полученные вероятностные параметры позволяют описывать неоднородность упругих и прочностных свойств материала матрицы, которая формирует стенки пор следующего масштабного уровня, на котором явно учитываются только большие поры, форма которых может быть различной. Моделирование одноосного сжатия образцов на этом втором уровне позволяет определить вероятностные параметры упругих и прочностных свойств, которые используются для моделирования рассматриваемой керамики с учётом неоднородности её структуры на макроскопическом масштабе. 2. Результаты моделирования и их обсуждение 2.1. Моделирование на микроуровне модели Рассмотрим результаты моделирования одноосного сжатия образцов рассматриваемой керамики на самом низком масштабе модели, соответствующем малым порам, размер которых равен 1 мкм и соответствует размеру зерна материала [13, 14] (назовём его микроскопическим). Здесь естественно использовать размер автоматов равный 1 мкм. В результате выполнения описанной выше процедуры был определён размер представительного образца данного уровня, который составил 60 мкм. Функция отклика автоматов соответствовала диаграмме нагружения нанокристаллического ZrO2 (Y2O3) с общей пористостью 0.02 и средним размером пор, соизмеримым с размером зерна [13, 14]. В качестве критерия разрыва связи между двумя автоматами в расчётах было выбрано условие превышения интенсивностью напряжений в паре автоматов порогового значения, соответствующего экспериментальным данным для прочности на сжатие образцов керамики с общей пористостью 0.02 [13, 14]. Основные физико-механические параметры материала приведены в таблице. Физико-механические свойства беспористой керамики Состав Плотность ρ, кг/м3 Модуль сдвига G, ГПа Модуль сжатия K, ГПа Предел прочности σ, ГПа ZrO2 2201 31 36.9 1.1 Типичный пример структуры модельных образцов с явным учётом пор с объёмным содержанием 0.1 на этом масштабе показан на рис. 1, а. Малые равноосные поры генерировались путём удаления случайно выбранных автоматов из начальной ГЦК-упаковки (показаны на рис. 1, а белыми сферами). Рис. 1. Типичная структура (а) и диаграммы одноосного сжатия (б) модельных образцов с явным учётом пористости 10 % на самом нижнем масштабе модели Рассматривалось от пяти до десяти представительных образцов с порами одного размера, но с уникальным расположением в пространстве. Типичные диаграммы нагружения (σ-ε) для этих образцов показаны на рис. 1, б. По этой диаграмме определялся упругий модуль сжатия (угол наклона линейного участка) и предел прочности (максимальное значение диаграммы) для каждого индивидуального образца. Получаемые в результате моделирования значения модуля упругости и предела прочности являются случайными величинами (вследствие случайного расположения пор/включений). В работе [17] для определения функциональной зависимости свойств рассматриваемых модельных образцов от пористости предложено использовать не средние расчётных данных, а математические ожидания для соответствующего распределения Вейбулла. Это обусловлено тем, что случайные величины, зависящие от наличия «слабого звена», по своей природе описываются экспоненциальным законом Вейбулла , (1) где η - параметр масштаба; β - параметр формы, причём для определения параметров этого распределения зачастую достаточно совсем небольшой выборки. В силу экспоненциальной функции, лежащей в основе этого распределения, а также его несимметричности, математическое ожидание случайной величины может значительно отличаться от арифметического среднего выборки, означающего предположение о равномерности распределения. В настоящее время существует множество коммерческих программ, осуществляющих анализ надёжности или долговечности по Вейбуллу, таких, как Weibull++, Visual-XSel, Statgraphics, Statistica и др. Для определения параметров η и β в них реализовано несколько методов, основным из которых является метод оценки максимального правдоподобия. При этом в случае небольшой выборки рекомендуется использовать метод медианной регрессии, который сводится к преобразованию формулы (1) к линейному уравнению и аппроксимации этим уравнением выборки по методу наименьших квадратов. Существует также свободное программное обеспечение для анализа больших данных на основе языка R [18]. В настоящей работе использовался разработанный для этого языка специальный пакет, реализующий анализ Вейбулла [19]. На рис. 2, а показаны графики анализа Вейбулла для прочности модельных образцов микроуровня для двух значений концентрации маленьких пор (в один автомат), равных 0.025 и 0.1, где наблюдается максимальный разброс значений. Видно, что расчётные данные модели на этом уровне хорошо описываются распределением Вейбулла (аппроксимируются прямой на графиках Вейбулла). Рассмотрим зависимость предела прочности σ модельного материала на данном масштабе от пористости C. Поскольку для моделируемого материала объёмная доля малых изолированных пор не превышает 0.2, то максимальная пористость модельных образцов на этом масштабе составляла 0.25. На рис. 2, б точками нанесены значения математического ожидания распределения Вейбулла для прочности, определённые по пяти образцам с различными вариантами размещения пор по пространству; показаны также интервалы отклонения прочности для каждой величины пористости. Видно, что максимальный разброс наблюдается в интервале пористости от 0.01 до 0.1. Как показано в [17], эти точки хорошо аппроксимируются зависимостью вида , (2) где Cmax, C0 и m являются подгоночными параметрами, а σ0 - предел прочности матрицы. Рис. 2. Графики: а - анализ Вейбулла для прочности модельных образцов микроуровня рассматриваемой керамики (данные для пористости 0.025 и 0.1); б - зависимость приведённого значения прочности на сжатие этих образцов от пористости Следует отметить, что разброс значений упругого модуля для расчётных образцов данного уровня модели на порядок меньше разброса прочности, и зависимость модуля от пористости также хорошо аппроксимируется функцией (2). 2.2. Моделирование на мезоуровне модели Полученные в результате анализа на микроуровне данные для прочностных и упругих свойств дают возможность перейти на следующий уровень модели (будем называть его мезоуровнем), где эти данные используются для задания эффективных свойств материала матрицы, из которого состоят стенки больших пор рассматриваемой керамики. Вследствие использования вероятностного подхода этот материал является неоднородным, его упругие и прочностные свойства распределены по пространству стохастически. Поэтому при построении модельных образцов на этом мезоскопическом масштабе необходимо задавать разброс упругих и прочностных свойств для каждого автомата в соответствии с распределением Вейбулла, полученным из расчётов на предыдущем масштабном уровне (микроуровне). Размер автомата на мезоуровне должен соответствовать представительному объёму микроуровня и, следовательно, в нашем случае быть не менее 60 мкм. Так как размер автомата этого уровня не привязан к размеру пор, то поры при их явном задании будут состоять из нескольких автоматов. Поскольку крупные поры рассматриваемой керамики могут иметь различную форму, то в рамках построенной модели представляет интерес исследовать влияние формы пор на прочностные и упругие характеристики на мезоуровне. Поэтому дальше будут проанализированы результаты с двумя простейшими формами пор: сферическими (равноосными) и цилиндрическими (вытянутыми). Размер автоматов был равен 60 мкм, размер представительных кубических образцов составлял 3 мм. 2.2.1. Сферические поры Типичный модельный образец мезоуровня со сферическими порами показан на рис. 3, а, где цвет автомата соответствует его прочности. Поры в данном случае генерировались удалением не только одного случайно выбранного автомата, но и всех его ближайших соседей (двенадцать для ГЦК-упаковки). Как показано, например, в [17], размер пор тоже влияет на прочность. Чтобы исключить влияние этого фактора, все поры в данных расчётах были одного размера. Однако их объёмное содержание, в отличие от микроуровня, варьировалось от 0.01 до 0.65. При этом алгоритм генерации пор предполагал дополнительную проверку на их перекрытие. После пористости примерно 0.22 уже не удаётся избежать перекрытия сферических пор, и при пористости более 0.3 поровое пространство модельных образцов было проницаемым. Рис. 3. Пространственное распределение прочностных свойств по модельному образцу мезоуровня со сферическими порами (а) и зависимость прочности на сжатие таких образцов от пористости (б) Рассмотрим зависимость предела прочности σ модельного материала на данном масштабе от пористости C. На рис. 3, б точками нанесены значения математического ожидания распределения Вейбулла для прочности, определённые по пяти образцам с различными вариантами размещения пор по пространству, а также интервалы отклонения прочности для каждой величины пористости. В области изолированных пор (до пористости 0.22) эти точки хорошо аппроксимируются зависимостью (2). Как и в [17], в области проницаемой пористости расчётные точки аппроксимируются другой зависимостью: , (3) где Cmax, Cn, n и m являются подгоночными параметрами, а σ0 - предел прочности матрицы. Таким образом, зависимость прочности от пористости меняет свой характер при переходе предела перколяции. Как и в случае микроуровня, разброс значений упругого модуля образцов мезоуровня также существенно меньше разброса прочности. Кроме того, изменение зависимости модуля упругости от пористости при переходе предела перколяции также менее существенно. 2.2.2. Цилиндрические поры Далее были рассмотрены образцы с цилиндрическими порами, диаметр которых был равен двум диаметрам автоматов (120 мкм), длина - 360 мкм. Сами поры задавались в виде цилиндров, которые не заполнялись автоматами при формировании ГЦК-упаковки модели. Были рассмотрены два типа поровой структуры. Образцы первого типа содержали цилиндрические поры, наклонённые под углом 45° по отношению к направлению сжатия (оси Z), как показано на рис. 4, а, т.е. в нём все поры имели одинаковую ориентацию. Для образцов этого типа общая пористость варьировалась от 0.05 до 0.2. Второй тип поровой структуры (рис. 4, б) получался случайным поворотом исходных пор, показанных на рис. 4, а, вокруг оси Z. Для предотвращения пересечения таких пор их объёмное содержание варьировалось от 0.05 до 0.11 вследствие трудности плотного размещения случайно ориентированных цилиндров. Для каждого значения пористости генерировалось пять представительных образцов с порами одинакового размера, но уникальным расположением в пространстве. Моделировалось одноосное сжатие таких образцов вдоль оси Z. Вследствие особенности структуры образцы первого типа (рис. 4, а) являются анизотропными. Поэтому кроме упругого модуля и прочности на сжатие в данном случае также вычислялись коэффициенты Пуассона (уширения) вдоль осей X и Y по перемещениям четырёх реперных автоматов, располагающихся на внешних плоскостях образца вдоль соответствующих осей. Все эти значения являются случайными величинами вследствие случайного расположения пор. Рис. 4. Схематическое изображение одинаково (а) и случайно (б) ориентированных цилиндрических пор, располагающихся в кубическом образце мезоуровня На рис. 5, а представлены зависимости от пористости относительных значений прочности на сжатие для всех значений пористости, используемых в расчётах. Как и в ранее рассмотренных случаях, разброс значений прочности намного превышает разброс упругого модуля. Тем не менее все результаты моделирования хорошо аппроксимируются степенной функцией (2). Случайная ориентация цилиндрических пор вдоль направления сжатия практически не влияет на значение упругого модуля вдоль этой оси, но увеличивает прочность на величину до 10 % (кривая 2 против кривой 1 на рис. 5, а). Рис. 5. Зависимости от пористости относительных значений прочности (а) и коэффициентов Пуассона вдоль осей X и Y (б) для двух типов поровой структуры: одинаково (сплошные кривые) и случайно ориентированных пор (пунктир) На рис. 5, б показаны полученные в результате моделирования значения коэффициентов Пуассона вдоль двух поперечных осей (X и Y) в зависимости от общей пористости для двух типов поровой структуры. Для однонаправленных пор очевидно, что значения коэффициента Пуассона νx вдоль оси X (кривая 1 на рис. 5, б) меньше, чем значение коэффициента Пуассона νy вдоль оси Y (кривая 2 на рис. 5, б) вследствие того, что поперечное сечение, перпендикулярное оси Y, содержит вытянутые поры, тогда как сечение по сопряжённому направлению содержит круглые поры меньшей площади. Кривые 1 и 2 на рис. 5, б также показывают, что νx убывает с увеличением пористости быстрее, чем νy для образцов с однонаправленными порами. Для образцов со случайно ориентированными порами значения коэффициентов Пуассона вдоль обеих осей приблизительно равны между собой, если учитывать большой разброс этих величин (кривая 3 на рис. 5, б и соответствующие точки). Интересно отметить, что для этого типа поровой структуры убывание значений коэффициентов Пуассона с увеличением пористости примерно соответствует убыванию νx для однонаправленных. 2.3. Моделирование на макроуровне Конечным этапом моделирования в рамках предложенного многоуровневого подхода является модель макромасштаба, где весь учёт внутренней структуры сводится к заданию автоматам эффективных упругих и прочностных свойств, полученных на мезоуровне, при этом поры явно не рассматриваются. Всем автоматам также задаётся индивидуальное отклонение этих свойств в соответствии с полученными параметрами распределения Вейбулла. Вследствие неоднородности свойств автоматов картина разрушения модельных макроскопических образцов представляет собой много достаточно мелких фрагментов, что является результатом наличия большого количества локальных концентраторов напряжений. В отличие от образцов с явным учётом пор, где пути распространения трещин достаточно извилистые [12, 16], в макрообразце трещины в основном распространяются вдоль плоскостей максимальных касательных напряжений, изредка отклоняясь в направлении новых концентраторов напряжений. Диаграммы нагружения при одноосном сжатии двух образцов с одинаковыми параметрами распределения Вейбулла для упругих и прочностных свойств, но различным разбросом этих свойств по автоматам (различным использованием датчика случайных чисел) также будут отличаться. Однако, как показали расчёты, эта разница проявляется только на стадии распространения макротрещины (нисходящая часть кривых). Главная причина такой разницы заключается в том, что относительный разброс модуля упругости весьма мал по сравнению с разбросом прочностных свойств. Тем не менее значения деформации, при которых возникают макротрещины в обоих образцах, отличаются друг от друга, так же как и пути распространения макротрещин. В целом, полученные результаты позволяют сделать вывод о том, что предложенный многоуровневый подход способен корректно моделировать механическое поведение керамических материалов с иерархической пористостью. Заключение С целью выявления особенностей в зависимостях от пористости упругих и прочностных свойств керамики с иерархически организованной поровой структурой разработана трёхмерная многоуровневая компьютерная модель на основе метода подвижных клеточных автоматов и вероятностного подхода. Показано, что она способна корректно воспроизводить деформационные характеристики и картину разрушения образцов керамики с бимодальным распределением пор по размерам начиная с масштаба самых мелких пор и вплоть до макроскопического масштаба. Это обусловлено возможностями метода подвижных клеточных автоматов, а также определением вероятностных параметров распределения Вейбулла для упругих и прочностных свойств автоматов на мезо- и макроскопическом масштабах на основе анализа результатов моделирования предыдущего уровня по одноосному сжатию образцов с явным учётом пор. Получены следующие конкретные результаты. 1. Расчёты с явным учётом пор сферической формы показали, что разброс значений упругого модуля образцов с различным расположением пор в пространстве существенно меньше разброса прочности. Зависимость прочности от пористости меняет свой характер при переходе поровой структуры от изолированных пор к проницаемой пористости. Изменение зависимости модуля упругости от пористости при переходе предела перколяции менее существенно. 2. Расчёты с явным учётом цилиндрических пор, различным образом ориентированных в пространстве, показали, что разброс значений упругого модуля для данного типа поровой структуры относительно небольшой, тогда как разброс значений прочности и коэффициентов Пуассона значительный. Случайная ориентация вытянутых пор приводит к повышению прочности и практически не изменяет модуль сжатия модельной керамики.

Ключевые слова

керамика, поровая структура, разрушение, многоуровневое моделирование, метод подвижных клеточных автоматов, ceramics, pore structure, fracture, multiscale simulation, Movable cellular Automaton Method

Авторы

ФИООрганизацияДополнительноE-mail
Смолин Алексей ЮрьевичИнститут физики прочности и материаловедения СО РАН; Национальный исследовательский Томский государственный университетд.ф.-м.н., профессор, гл. науч. сотр. ИФПМ СО РАН, профессор НИ ТГУasmolin@ispms.ru
Еремина Галина МаксимовнаИнститут физики прочности и материаловедения СО РАН; Национальный исследовательский Томский государственный университетк.ф.-м.н., мл. науч. сотр. ИФПМ СО РАН, мл. науч. сотр. НИ ТГУanikeeva@ispms.ru
Коростелев Сергей ЮрьевичИнститут физики прочности и материаловедения СО РАНк.ф.-м.н., ст. науч. сотр.sergeyk@ispms.ru
Всего: 3

Ссылки

Solid Mechanics and its Applications / eds. M. Kachanov and I. Sevostianov. V. 193. - Springer, 2013. - 389 p.
Manoylov A.V., Borodich F.M., and Evans H.P. // Proc. R. Soc. A. - 2013. - V. 469. - P. 20120689. https://doi.org/10.1098/rspa.2012.0689.
Acton K.A., Baxter S.C., Bahmani B., et al. // Comput. Methods Appl. Mech. Eng. - 2018. - V. 336. - P. 135-155. https://doi.org/10.1016/j.cma.2018.02.025 0045-7825.
Smolin I.Yu., Makarov P.V., Kulkov A.S., et al. // Phys. Mesomech. - 2018. - V. 21. - P. 297- 304. https://doi.org/10.1134/S1029959918040033.
Mikushina V.A., Smolin I.Yu., and Sidorenko Yu.N. // Inorg. Mater. Appl. Res. - 2019. - V. 10. - P. 66-69. https://doi.org/10.1134/S2075113319010222.
Psakhie S.G., Moiseyenko D.D., Smolin A.Yu., et al. // Comp. Mater. Sci. - 1999. - V. 16. - P. 333-343.
Dmitriev A.I., Smolin A.Yu., Popov V.L., and Psakhie S.G. // Phys. Mesomech. - 2009. - V. 12. - Iss. 1-2. - P. 11-19.
Smolin A.Yu., Shilko E.V., Astafurov S.V., et al. // Defence Technology. - 2018. - V. 14. - P. 643-656. https://doi.org/10.1016/j.dt.2018.09.003.
Aniszewska D. // Theor. Appl. Fract. Mech. - 2012. - V. 62. - P. 34-39. https://doi.org/10.1016/j.tafmec.2013.01.004.
Czopor J., Aniszewska D., and Rybaczuk M. // Comput. Mater. Sci. - 2012. - V. 51. - P. 151-155. https://doi.org/10.1016/j.commatsci.2011.06.042.
Smolin A.Yu., Smolin I.Yu., and Smolina I.Yu. // AIP Conf. Proc. - 2017. - V. 1893. - P. 030127-1. https://doi.org/10.1063/1.5007585.
Роман Н.В. Многоуровневое моделирование деформации и разрушения хрупких пористых материалов методом подвижных клеточных автоматов: дис.. канд. физ.-мат. наук. - Томск: Томский государственный университет, 2012. - 120 с.
Kulkov S., Buyakova S., and Gömze L. // Építőanyag-JSBCM. - 2014. - V. 66. - No. 1. - P. 1-6. https://doi.org/10.14382/epitoanyag-jsbcm.2014.1.
Kalatur E.S., Buyakova S.P., Kulkov S.N., et al. // Építőanyag-JSBCM. - 2014. - V. 66. - No. 2. - P. 31-34. https://doi.org/10.14382/epitoanyag-jsbcm.2014.6.
Zhukov I., Promakhov V., Buyakova S., and Kulkov S. // Adv. Environment. Biol. - 2014. - V. 8. - Iss. 13. - P. 447-450. http://www.aensiweb.net/AENSIWEB/aeb/aeb/August%202014/447-450.pdf.
Konovalenko Ig.S., Smolin A.Yu, and Psakhie S.G. // Frattura ed Integrità Strutturale. - 2013. - V. 24. - P. 75-80. https://doi.org/10.3221/IGF-ESIS.24.07.
Smolin A.Yu., Smolin I.Yu., and Smolina I.Yu. // Procedia Structural Integrity. - 2016. - V. 2. - P. 661-668. https://doi.org/10.1016/j.prostr.2016.06.342.
R: A language and environment for statistical computing. R Foundation for Statistical Computing, Vienna, Austria. Режим доступа https://www.R-project.org/
Project Abernethy. Implementation of functions supporting reliability analysis methods presented in "The New Weibull Handbook" by R. B. Abernethy. Режим доступа http://r-forge.r-project.org/projects/abernethy/
 Зависимости механических свойств керамики с бимодальным распределением пор по размерам от пористости на разных масштабных уровнях | Изв. вузов. Физика. 2019. № 8. DOI: 10.17223/00213411/62/8/128

Зависимости механических свойств керамики с бимодальным распределением пор по размерам от пористости на разных масштабных уровнях | Изв. вузов. Физика. 2019. № 8. DOI: 10.17223/00213411/62/8/128