Анализ деформаций при прохождении волн через контактный слой упругих тел | Изв. вузов. Физика. 2020. № 9. DOI: 10.17223/00213411/63/9/89

Анализ деформаций при прохождении волн через контактный слой упругих тел

Исследовано напряженно-деформированное состояние на границе раздела упругих тел, представляющей контактный слой, характеризуемый размером и набором физико-механических параметров. Для описания границы использованы модели слоистой и блочной среды, в рамках которых рассмотрена задача прохождения упругой волны через границу. Найдены аналитические выражения для коэффициентов отражения и преломления границы, позволяющие определить деформации на границе и распределения деформации в контактном слое. Вычислены соответствующие деформационные зависимости от толщины слоя при различных упругих параметрах контактирующих тел и границы. Проанализированы закономерности деформаций на границе раздела, описываемой моделями слоистой и блочной сред. Области эквивалентного использования рассмотренных моделей определены в случае анализа деформаций на границе и распределения деформаций в контактном слое.

Strains analysis at the wave propagation throught he contact layer of the elastic solids.pdf Введение Реальные материалы и среды, к числу которых относятся композиты, поликристаллы, пористые и геологические среды, имеют иерархически организованную внутреннюю структуру. Границы раздела являются важным элементом внутренней структуры. Многочисленные экспериментальные и теоретические данные свидетельствуют о том, что границы раздела, представляющие двумерные дефекты, оказывают существенное влияние на физические и эксплуатационные свойства сред, материалов и тел [1-4]. Эксплуатационные свойства перечисленных объектов определяются закономерностями процессов деформирования и разрушения. Напряженно-деформированное состояние формируется в процессе распространения, взаимодействия и затухания волн. Для исследования деформированного состояния на границе раздела двух упругих тел рассмотрим известную задачу прохождения волны через границу. Традиционно при решении этой задачи находятся коэффициенты отражения и преломления и определяются потоки энергии первичной и вторичных волн [5, 6]. Коэффициенты отражения и преломления позволяют определить деформационные моды на границе, характеризующие формоизменение и поворот бесконечно малого элемента среды на границе. Таким образом, были изучены закономерности деформаций на свободной поверхности [7], границе раздела упругих тел при условии идеального контакта и скольжения [8, 9]. Результаты [7-9] были получены для границ раздела, обычно рассматриваемых в механике сплошной среды. С точки зрения классической механики граница раздела представляет бесконечно тонкий поверхностный слой, на котором задаются граничные условия, определяющие разрывы величин некоторых параметров контактирующих сред. В действительности граница имеет некоторый объем, в плоском случае толщину, и обладает физико-механическими свойствами отличными от свойств контактирующих тел. Принято считать, что такая граница представляет элемент структуры неоднородных тел [10]. Существует ряд дискретных и континуальных моделей сред, структурная неоднородность которых обусловлена наличием границ раздела [11, 12]. Цель настоящей работы - исследование особенностей деформаций на границе раздела - контактном слое двух упругих тел. Для описания указанной границы используются модели слоистой и блочной среды. В рамках обеих моделей контактный слой характеризуется физико-механическими свойствами, отличными от свойств граничащих тел. В модели слоистой среды граница раздела представляет слой конечных размеров, деформационное поведение которого определяется системой уравнений механики сплошной среды при заданных граничных условиях [5]. Указанная модель позволяет находить численные и аналитические решения многих задач механики деформируемого твердого тела, гидродинамики и электродинамики с учетом соответствующих уравнений. В модели блочной среды, впервые предложенной М.А. Садовским для описания массива горных пород [10], граница раздела рассматривается как слой бесконечно малого размера, деформационное поведение которого также определяется уравнениями механики сплошной среды. На основе уравнений, определяющих поведение контактного слоя в этой модели, формулируются и записываются «граничные» условия для контактирующих тел. Данный подход широко используется при численном моделировании процессов деформации структурно неоднородных тел [13]. В работе для границ раздела, описываемых моделями слоистой и блочной среды, находятся аналитические выражения для коэффициентов отражения и преломления, деформаций на границе раздела и распределений деформаций в контактном слое. На основе рассчитанных деформационных зависимостей анализируются особенности деформаций на границе раздела упругих тел с учетом ее размеров и механических свойств. 1. Математическая постановка задачи и аналитические решения 1.1. Постановка задачи и классическое решение Рассмотрим два однородных изотропных упругих тела, расположенных в области z < 0 и z > h декартовой системы координат xyz, связанной с границей раздела. Упругое тело в области z < 0 характеризуется коэффициентами Ламе λ-, µ- и материальной плотностью ρ-, в области z > h определяется параметрами λ+, µ+, ρ+. Граница раздела с параметрами упругого тела λb, µb, ρb и толщиной h является конечной величиной в модели слоистой среды и бесконечно малой величиной δh в модели блочной среды. Предположим, что плоская гармоническая волна падает на границу, определенную нормалью n||z, в точке z = 0. В простейшем случае нормального падения вертикально поляризованной волны вектора смещений падающей, отраженной и преломленной волн, распространяющихся в контактирующих телах, задаются формулами . (1) Здесь un0, un- - амплитуды падающей и отраженной волн, распространяющихся в области z < 0; un+ - амплитуда преломленной волны при z > h; kn0, kn± - волновые векторы указанных волн (kn0 = kn-); ω - частота; t - время. Нижний индекс n = z соответствует величинам продольной волны (P), n = y обозначает величины поперечной волны (SV). В последнем выражении (1), а также в дальнейшем для конечной и бесконечно малой толщины границы будем использовать единый символ h. При конечной толщине границы волновые процессы в слое определяются суммой двух распространяющихся волн , (2) где un+b - амплитуда преломленной волны при z = 0; un-b - амплитуда отраженной волны при z = h; knb - волновой вектор. Рис. 1. Схематическое представление волновой картины на границе раздела двух упругих тел в рамках модели блочной (а) и слоистой среды (б) Формулы (1) при h = 0 описывают волновую картину на границе раздела в приближении классической механики. При условии идеального контакта на границе раздела непрерывны векторы смещений и нормальные компоненты тензора напряжений . (3) Здесь Un1 = Un0-Un-, Un2 = Un+ - полные смещения в граничащих телах; σzn1, σzn2 - напряжения, определенные по закону Гука, например, σzn1 = ikn1Mn1Un1, где Mz1 = λ- +2µ- , My1 = 2µ- - упругие модули, kn1 = kn- - волновые числа. Подставляя (1) в (3) и опуская временной множитель exp(-iωt), получим систему алгебраических уравнений относительно амплитуд вторичных волн, решением которой являются коэффициенты отражения и преломления, называемые коэффициентами Френеля , (4) An12 = ρ1Mn1/ρ2Mn2, ρ1 = ρ-, ρ2 = ρ+. Продифференцировав Un из первого равенства (3) по координате, получим выражение для деформации на границе раздела , (5) где Ezn - амплитуда деформаций; en0 = ikn0un0 - безразмерный множитель. 1.2. Нахождение решений для деформаций на границе раздела в модели блочной среды Процессы деформирования упругой границы раздела в модели блочной среды М.А. Садовского определяются уравнением движения и законом Гука, которые для рассматриваемой геометрии задачи примут вид . (6) Здесь Unb - смещения границы, Eznb - деформации, Mnb - упругие модули, σznb - напряжения. В предположении бесконечно малой толщины границы эти уравнения могут быть записаны в виде . (7) Формулы (7), а также их двухмерные аналоги для упругого, вязкоупругого и идеально пластического тела используются при численном моделировании блочных сред [12, 13]. При толщине h→0 из (7) следуют условия идеального контакта (3). Подставляя (1) в (7), получим систему уравнений для нахождения коэффициентов отражения и преломления волн на границе раздела толщиной h . (8) При введении безразмерной толщины границы Hn = knbh коэффициенты уравнений (8) можно представить следующим образом: . (9) Аналитическое решение (8) относительно коэффициентов отражения rn = un-/un0 и преломления tn = un+/un0 контактного слоя (10) позволяет определить по формуле (5) амплитуды компонент деформации на границе раздела . (11) При Hn→0 из (10) следуют формулы (4) для коэффициентов Френеля на границе раздела в рамках классической механики, при Hn→∞ предельными являются значения rn = Rn и tn = -Tn. При контакте двух одинаковых тел решение (10) несколько упрощается (12) На основе второго равенства (7) можно получить формулу для анализа распределения амплитуды деформаций в контактном слое . (13) 1.3. Определение деформаций на границе раздела в модели слоистой среды Рассмотрим задачу распространения упругой волны через границу раздела конечной толщины в рамках модели слоистой среды [5]. При условии идеального контакта (3) на границах слоя амплитуды волн контактирующих тел (1) и слоя (2) при z = 0 удовлетворяют формулам , (14) при z = h выполняются равенства (15) На основе уравнений (14), (15) можно получить известные решения для коэффициентов отражения и преломления слоя . (16) Система уравнений (14), (15) позволяет также найти коэффициенты Френеля для волн, распространяющихся в слое, . (17) Величины, определяемые по формулам (16), (17), выражаются через коэффициенты Френеля на границах слоя при z = 0 (Rn1b, Tn1b) и при z = h (Rnb2, Tnb2), которые определяются по формуле (4). При толщине Hn = 0 коэффициенты отражения и преломления (16) соответствуют решению на гра¬нице раздела в приближении классической механики (rn = Rn, tn = Tn). В случае контакта одинаковых тел формулы (16) запишутся в виде . (18) Найденные коэффициенты отражения и преломления слоя позволяют определить деформации на границе раздела по формуле (11). Выражение для распределения амплитуды деформаций в контактном слое можно получить, продифференцировав смещения (2) по координате: . (19) 2. Результаты численных расчетов и их обсуждение 2.1. Анализ деформаций на границе раздела На основе аналитических решений (10), (16) были рассчитаны действительные и мнимые части коэффициентов отражения и преломления границ раздела, представляющих элемент структуры неоднородного тела. Указанные величины удовлетворяют закону сохранения потока энергии . (20) При проведении расчетов равенство (18) использовалось в качестве критерия правильного нахождения входящих в него величин. На рис. 2 приведены зависимости амплитуд деформаций от толщины границы, рассчитанные в рамках моделей слоистой и блочной среды. Особенностями деформаций на границе раздела, рассматриваемой в рамках модели слоистой среды, являются периодичность представленных зависимостей относительно безразмерной длины волны Ezn(hn) = = Ezn(hn+1) (hn = Hn/2π) и наличие экстремумов при толщине границы равной половине длины волны, распространяющейся в слое hn = m/2, где m - целое число. Значения деформаций при толщине границы, кратной длине волны (hn = m), минимальны, при толщине, кратной половине длины волны (hn = (2m+1)/2), максимальны. При контакте двух одинаковых тел минимальные амплитуды деформаций равны нулю, максимальные значения амплитуд равны двум. В случае контакта различных упругих тел экстремальные амплитуды деформаций определяются коэффициентами Френеля, полученными для границы раздела в рамках классической механики (4), (21) Как следует из (21), минимальные значения деформаций при hn = m соответствуют деформациям на границе в приближении классической механики (5). Кроме двух рассмотренных экстремальных значений (21) в случае контакта различных упругих тел возможен дополнительный экстремум (рис. 2, а). Анализ производной ∂Ezn/∂Hn = 0 позволил установить, что условия экстремума определяются равенствами . (22) Из первого уравнения (22) следуют рассматриваемые экстремумы (21), существование которых определяется толщиной границы. Значения экстремальных деформаций при hn = m/2 зависят от свойств контактирующих тел и не зависят от упругих свойств границы раздела. Действительные решения второго уравнения (22) определяют дополнительные экстремумы, существование которых зависит от толщины, свойств контактирующих тел и границы. Поскольку в случае контакта одинаковых тел решение второго уравнения (22) является комплексным: , (23) поэтому дополнительных экстремумов при hn ≠ m/2 не существует. Рис. 2. Зависимости амплитуд деформаций на границе раздела от толщины границы, рассчитанные в модели слоистой (сплошные кривые) и блочной (пунктирные кривые) сред (a) и их относительная разница (б). Цифрами 1 обозначены зависимости при Mn1/Mnb = 1.5, Mnb/Mn2 = 0.6, цифрами 2 - при Mn1/Mnb = 0.6, Mnb/Mn2 = 1.5; цифрами со штрихами обозначены зависимости при ρ1/ρb = 1.3, ρb/ρ2 = 0.3, цифрами без штрихов - при ρ1/ρb = 0.3, ρb/ρ2 = 1.3 Амплитуды деформаций на границе раздела, описываемой в рамках модели блочной среды, изменяются непрерывно от значений при hn = 0, соответствующих деформациям на границе в при¬ближении классической механики, до предельных значений при hn→∞. Из анализа выражений (10) при hn→∞ следует, что коэффициенты отражения и преломления слоя в модели блочной среды определяются выражениями: . (24) Соответствующая коэффициентам (24) амплитуда деформации совпадает с максимальной амплитудой деформации, полученной в модели слоистой среды при толщине hn = (2m+1)/2 (21). Поскольку в модели блочной среды рассматриваются бесконечно тонкие границы раздела, то совпадение зависимостей амплитуд деформаций, полученных в модели слоистой и блочной сред, наблюдается при малой толщине границы. На рис. 2, б показана относительная разница результатов расчетов амплитуд деформаций на границе раздела в модели слоистой и блочной сред, определенная по формуле . (25) Относительная разница не превышает 12.5 % при толщине границы меньше четверти длины волны, распространяющейся в слое (hn < 0.25). Как установлено, формулы (21) определяют не только экстремальные значения деформаций на границе раздела в модели слоистых сред, но и предельные деформации (при hn→0, ∞) в модели блочных сред. Зависимости амплитуд экстремальных деформаций (21) от свойств контактирующих тел показаны на рис. 3. На границе раздела в рамках классической механики и границах рассматриваемых сред при hn = m амплитуды минимальных деформаций при изменении отношения модулей контактирующих тел изменяются непрерывно: от максимального значения, равного двум при Mn1/Mn2 = 0, до отрицательных значений при Mn1/Mn2→∞ (рис. 3, а). При больших значениях отношения Mn1/Mn2 Ezn(Mn1/Mn2)→-∞ практически линейно. Модули зависимостей Ezn(ρ1/ρ2) также изменяются непрерывно от максимальных величин при ρ1/ρ2 = 0 до нуля при ρ1/ρ2→∞. Определяемые вторым выражением (21) максимальные амплитуды деформаций на границе раздела приближаются к двум при Mn1/Mn2→0 и Ezn(Mn1/Mn2)→∞ при Mn1/Mn2→∞ (рис. 3, б). Функциональная зависимость амплитуд деформаций от отношения плотностей граничащих тел на рис. 3, б качественно совпадает с модулем аналогичной зависимости на рис. 3, а. Рис. 3. Зависимости амплитуд деформаций от отношений упругих модулей Mn12 = Mn1/Mn2 и плотностей Dn12 = ρ1/ρ2 контактирующих тел на границе раздела при толщине hn = m (а) и hn = (2m+1)/2 (б). Сплошные кривые - Ezn(Mn12), пунктирные кривые - Ezn(Dn12), в обоих случаях Mn12, Dn12 = 0.2 (кр. 1), 0.7 (кр. 2), 1.3 (кр. 3), 4.3 (кр. 4) 2.2. Анализ распределения деформаций по границе раздела Закономерности распределения амплитуд деформаций по толщине границы, установленные в рамках моделей слоистых и блочных сред, демонстрируют зависимости, представленные на рис. 4. Как и деформации на границе, распределения деформаций по толщине границы периодичны в модели слоистой среды и изменяются непрерывно в модели блочной среды (рис. 4, а). Экстремальные значения зависимостей Eznb(hn) в модели слоистой среды имеют место при hn = m/2, но в отличие от деформации Ezn(hn) максимумы Eznb(hn) наблюдаются при hn = m и минимумы при hn = (2m+1)/2. Других экстремумов не существует. Значения экстремумов распределения амплитуд деформаций по толщине границы существенно зависят от отношений упругих модулей Mn1/Mnb, Mnb/Mn2 и практически не зависят от отношения плотностей ρ1/ρb, ρb/ρ2 в модели слоистых сред. Отмеченная закономерность зависимости Eznb(hn) от отношений модулей и плотностей как контактирующих тел, так и границы наблюдается и при других ее толщинах. В модели блочной среды зависимость распределения амплитуд деформаций от отношений модулей и плотностей контактирующих тел равнозначна за исключением экстремальных значений. При hn = 0 амплитуда Eznb(hn) не зависит от отношений плотностей ρ1/ρb, ρb/ρ2 и зависит от отношений модулей Mn1/Mnb, Mnb/Mn2, при hn→∞ амплитуда Eznb(hn)→0. Совпадение результатов расчетов распределения амплитуд деформаций, найденных в рамках моделей слоистой и блочной среды, наблюдается при малой толщине границы, как и для деформации на границе. Относительная разница результатов расчета Pznb(hn) (рис. 4, б), определенная аналогично (25), показывает, что численное совпадение в 12.5 %, полученное для деформации на границе (рис. 3, б), имеет место при толщине hn ≤ 0.15. Рис. 4. Распределения амплитуд деформаций по толщине границы, рассчитанные в модели слоистых (сплошные кривые) и блочных (пунктирные кривые) сред (a) и их относительная разность (б). Цифрами 1 обозначены кривые при Mn1/Mnb = 1.5, Mnb/Mn2 = 0.6, цифрами 2 - при Mn1/Mnb = 0.6, Mnb/Mn2 = 1.5, цифрами со штрихами обозначены зависимости при ρ1/ρb = 1.3, ρb/ρ2 = 0.3, цифрами без штрихов - при ρ1/ρb = 0.3, ρb/ρ2 = 1.3 Заключение В рамках задачи распространения упругой волны через границу раздела, представляющую контактный слой двух упругих тел, исследованы особенности деформаций на границе и распределения деформаций по толщине границы. Для описания указанных границ использованы модели слоистой и блочной сред, в рамках которых получены аналитические выражения для коэффициентов отражения и преломления границ, зависящие от частоты падающей волны, в отличие от границы раздела, традиционно рассматриваемой в рамках классической механики. Исследуемые деформации на границе и в контактном слое определяются коэффициентами отражения и преломления границ. Показано, что закономерности деформаций на границе раздела существенно зависят от используемой модели границы. Амплитуды деформаций на границе раздела, описываемой моделью слоистой среды, периодичны относительно безразмерной длины волны, распространяющейся в контактном слое, и имеют экстремумы при толщине границы кратной половине длины волны. Деформация на границе в рамках модели блочной среды изменяется непрерывно от значений при нулевой толщине границы до предельных при hn→∞. Аналогичные закономерности имеют место для распределений амплитуд деформаций по толщине границы. Установлено совпадение максимальных деформаций на границе раздела в модели слоистой среды и предельно больших деформаций в модели блочной среды. Значения максимальных деформаций определяются упругими свойствами контактирующих тел и не зависят от свойств границы. Амплитуды деформаций, полученные при нулевой толщине границ в рамках моделей слоистой и блочной среды, соответствуют деформациям на границе раздела в приближении классической механики. Проанализирована адекватность использования моделей слоистой и блочной среды при описании границ раздела малой толщины. В рамках рассмотренных в приближении границ получены значения деформаций, превышающие соответствующие характеристики на границе раздела. Результаты работы имеют особое значение для понимания особенностей деформирования и эксплуатации широкого круга структурно-неоднородных и композиционных материалов, анализа и интерпретации данных сейсмических исследований и методов неразрушающего контроля.

Ключевые слова

упругие волны, контактный слой, модели слоистой и блочной среды, деформация, elastic waves, contact layer, model of layered and block medium, strain

Авторы

ФИООрганизацияДополнительноE-mail
Чертова Надежда ВасильевнаИнститут физики прочности и материаловедения СО РАНд.ф.м.-н., ст. науч. сотр. ИФПМ СО РАНchertova@ispms.tsc.ru
Гриняев Юрий ВасильевичИнститут физики прочности и материаловедения СО РАНд.ф.-м.н., ведущ. науч. сотр. ИФПМ СО РАНgrn@ispms.tsc.ru
Всего: 2

Ссылки

Zhou Q., Huang P.,Liu M., Wang F., et al.// J. Alloy. Compd. - 2017. - V. 698. - P. 906-912.
Zare Y. and Rhee R.Y. // Phys. Mesomech. - 2020. - V. 23. - P. 176-181.
Dongare A.M. et al. // J. Mater. Sci. - 2018. - V. 53. - Iss. 9. - P. 5511-5514.
Бурлаченко А.Г., Мировой Ю.А., Дедова Е.С., Буякова С.П. // Изв. вузов. Физика.- 2019. - Т. 62. - № 8. - С. 121-127.
Бреховский Л.М., Годин О.А. Акустика слоистых сред. - М.: Наука, 1989. - 416 с.
Ignatovich V.K. and Phan L.T.N. //Am. J. Phys. - 2009. - V. 77. - P. 1162-1177.
Chertova N.V. // Tech. Phys. Lett. - 2015. - V. 41. - Iss. 11. - P. 1075-1079.
Чертова Н.В., Гриняев Ю.В.// Физич. мезомех. - 2018. - Т. 21. - № 2. - С. 56-67.
Чертова Н.В., Гриняев Ю.В. // Письма в ЖТФ. - 2018. - V. 44. - Вып. 9. - С. 1075-1079.
Sadovskii M.A. // Dokl. Akad. Nauk SSSR. - 1974. - V. 247. - Iss. 4. - P. 829-832.
Aleksandrova N.I. // Wave Motion. - 2014. - V. 51. - P. 818-832.
Sadovskii V.M. and Sadovskaya O.V. // Wave Motion. - 2015. - V. 52. - P. 138-150.
Bobryakov A.P. // J. Min. Sci. - 2011. - V. 47. - Iss. 6. - P. 722-729.
 Анализ деформаций при прохождении волн через контактный слой упругих тел | Изв. вузов. Физика. 2020. № 9. DOI: 10.17223/00213411/63/9/89

Анализ деформаций при прохождении волн через контактный слой упругих тел | Изв. вузов. Физика. 2020. № 9. DOI: 10.17223/00213411/63/9/89