Calculating point cloud object volume using the co-opposite-direction slicing method.pdf Введение Эффективным способом вычисления объема пространственных объектов является расчет объема облака точек (PCO) [1-4], который широко применяется в таких областях, как лесное хозяйство, геология, машиностроение, транспорт, навигация, геодезия и картография [5-10]. Существует множество методов расчета объема облака точек (PCVC) [11, 12], однако только два из них - сегментацию [13] и сечение [14] - можно считать точными и эффективными для нерегулярных объектов. Традиционный метод сегментации состоит из шести этапов [13], тогда как метод сечения, основанный на нем, упрощается до пяти этапов [15]. Основное различие между ними заключается в отсутствии проекционной связи в методе сегментации. Без этой связи метод сечения может избежать присущих ему эффектов тройного увеличения и возможного эффекта искажения формы, обычно наблюдаемого в методе сегментации [15]. Однако форма сечения изменяется в зависимости от его положения, поэтому база расчета одной формы неизбежно изменяется соответствующим образом, что искажает результаты расчета объема. Из-за этих проблем адаптивность, надежность и робастность метода сечения ставятся под сомнение, что ограничивает его использование. Для эффективной борьбы с искажениями расчета объема, вызванными случайными ошибками и особенностями метода сечения, необходимы его усовершенствования с точки зрения обеспечения того, чтобы его теоретическая модель и алгоритм лучше удовлетворяли требованиям практического применения и проектирования PCVC. Основываясь на существующем методе сечения (SM), в работе предлагается метод сечения по встречным направлениям (CODSM), который полностью использует взаимную компенсацию случайных ошибок и согласованность систематических погрешностей метода [16]. Более конкретно, CODSM увеличивает параллельные наблюдения и использует два средних значения в расчете результата PCVC. CODSM пытается развивать сильные стороны оригинального метода (сохраняя преимущество высокой эффективности) и обходит слабые стороны (устраняет такие недостатки, как слабое сопротивление случайным ошибкам и недостаточный учет систематических погрешностей метода). Чтобы проверить эффективность этого алгоритма, было проведено экспериментальное исследование PCVC с CODSM: рассматривались два рабочих условия для двух типичных объектов - моделей конуса и основания каменного льва - для анализа и сравнения результатов CODSM с традиционным SM. Результаты показывают, что предложенный CODSM может эффективно уменьшить или даже устранить двойное неблагоприятное воздействие случайных ошибок и погрешностей метода. Поэтому CODSM - это не только усовершенствование SM, но и полноценный практичный и эффективный метод для PCVC. Методы CODSM базируется на SM. Фундаментальные принципы CODSM состоят в прямом (сверху вниз) и обратном (снизу вверх) направлениях движения лазерного сканера при расчете объема облака точек (PCO), разрезанного горизонтально, данные суммируются в процессе расчета так, как показано на рис. 1. Рис. 1. Блок-схема расчета объема облака точек методом сечения по встречным направлениям Как показано на рисунке, данные расчета D могут быть получены сканированием объекта: между минимальным 0 и максимальным H значениями PCO в горизонтальном прямом или обратном направлениях набор (n+1) сечений Si может быть получен прямым или обратным сечением на равных расстояниях h в горизонтальном прямом или обратном направлениях (как показано далее в уравнениях (1), (2)). Граница контура определяется границей многоугольника Pi (i = 0, 1, …, m). Вычисление площади многоугольника дает площадь сечений, что показано далее в уравнениях (3). Расчет объема Vj (j = 1, 2) при прямом или обратном направлении может быть получен путем суммирования нижней области A1 и последующего её умножения на h. Здесь V1 и V2 - значения объема сечения PCO при прямом или обратном направлении соответственно. В результате среднее значение является объемом PCO, вычисленным с помощью CODSM: (1) (2) (3) (4) (5) В уравнениях (1) - (5) H - высота PCO; n+1 - общее число сечений при прямом или обратном направлении; m - число многоугольных вершин границы контура сечения; x, y, z - координаты вершин многоугольной границы контура; объемы PCO V1 - при прямом и V2 - при обратном направлениях. Традиционное сечение [14] представляет собой односторонний SM. Для базовых сечений форма связана с ее положением (значение z), а поскольку каждое сечение окружено соседними сечениями, единичный объем изменяется в зависимости от сечения и его положения. Другими словами, различные направления сечения могут привести к различным результатам расчета V1 и V2 по SM. Принимая средние значения V1 и V2 в качестве оптимальной оценки, CODSM может объективно устранить случайные ошибки, а также уменьшить систематические погрешности метода, тем самым повышая надежность и точность результатов PCVC. Другими словами, основанный на принципе «среднего исключения ошибки» CODSM [16, 17] имеет преимущество комплементарных добавок и потерь и, таким образом, может считаться простым и эффективным методом PCVC. Проектирование экспериментальной модели Для проверки эффективности CODSM разработан и проведен эксперимент с максимально возможным разрешением сканирования PCO (1мм) и наибольшего набора интервалов сечения . Эксперимент основан на данных PCO (рис. 2, в и 3, в) двух объектов: модели правильного конуса (рис. 2, б) и неправильной формы каменного основания льва (рис. 3, а). Объекты выбраны с учетом требований «проверки правильности и применимости» и репрезентативности. Конус - это правильный объект, геометрические размеры которого могут быть измерены и использованы для точного расчета объема [14] (рис. 2, а), поэтому его можно использовать для проверки правильности алгоритма. Основание каменного льва представляет собой неправильный объект средней сложности, объем которого не может быть точно измерен или вычислен (рис. 3, в), поэтому он может быть общим примером для проверки применимости алгоритма [15]. Рис. 2. Модель конуса: а - измеренные радиус и высота конуса; б - модель конуса; в - данные множества точек На рис. 2, а показаны точные результаты измерения геометрических размеров модели конуса [14], которые могут быть использованы для расчета приближенного истинного значения объема [15]. Радиус окружности конуса - 78.0 мм, а высота - 188.4 мм. Рис. 3. Данные каменного льва и множества точек: а - каменный лев; б - его данные множества точек; в - данные множества точек его основания Конструкция интервала нарезки В эксперименте расстояние между сечениями (далее - расстояние) составляло h, прямое направление - сверху вниз, а обратное - снизу вверх. Значение h было выбрано таким образом, чтобы оно удовлетворяло требованиям уравнения (6), тогда можно получить n + 1 сечений . Обычно H не делится на h нацело и существует n равноудаленных сечений с интервалом h и одно сечение с высотой hb меньше h ( ) и сегмент, соответствующий hb, идентифицируется как остаток PCO (далее hb именуется остатком PCO): (6) где При выборе интервала сечения h учитывалась как точность оценки, так и репрезентативность. Эксперимент по расчету объема Во время одностороннего прямого или обратного эксперимента с объемом PCO SM, объем V состоял из двух частей - основного объема Va и остаточного объема Vb, которые могут быть вычислены по уравнениям (7) - (9). Va соответствует основной части PCO с высотой , которая может быть разделена на расстояние h, в то время как Vb является остатком PCO с высотой hb: (7) (8) ; (9) (10) Уравнения (7) - (10) предназначены для расчета объемов как прямых, так и обратных PCO, а их среднее значение является конечным объемом PCO, рассчитанным по методу CODSM. Результаты Выбрав в качестве примеров правильный конус (рис. 4) и неправильную форму каменного основания льва (рис. 5), эксперимент проводили вдоль их положительной и наклонной осей соответственно. Далее следовали «де-шумизация» [18-20] и расчет [14] данных PCO при лазерном сканировании объектов для проверки компенсации, применимости и правильности CODSM как репрезентативными, так и общими экспериментами. Двухосный эксперимент на конусе Поскольку существует прямая и обратная симметрия вдоль горизонтальной оси конуса (в горизонтальном направлении конус имеет верхнюю и нижнюю симметрию с горизонтальной осью симметрии, (рис. 4, в и г)), постольку перечисленные расчеты и анализируемые данные являются экспериментальными результатами репрезентативной положительной оси и общей наклонной оси конуса (как показано в табл. 1, 2 и рис. 6, 7). На основе этих результатов может быть проведен анализ и сравнение характеристик однонаправленных и встречнонаправленных алгоритмов. Эксперимент с положительной осью конуса В соответствии с положительной осью SM (рис. 4, а и б) для расчета односторонних и встречнонаправленных прямых и обратных объемов PCO вдоль положительной оси конуса были приняты расстояния 1, 2, 4, 8 и 16 мм (табл. 1). Так как истинный объем конуса может быть рассчитан [14] (473, 142, 270 мм3), то односторонний и встречнонаправленный объемы и их относительные погрешности могут быть получены при различных условиях. Результаты и тенденции приведены в табл. 1 и на рис. 6 соответственно. Как видно из табл. 1 и рис. 6, абсолютные значения погрешностей объема вдоль положительной оси конуса в прямом и обратном SM пропорциональны шагу сечения. При этом погрешности почти одинаковы по величине, но противоположны по знаку. Таким образом, можно сделать вывод, что большие шаги приводят к большим погрешностям, однако среднее значение CODSM компенсирует ошибки, вызванные различиями в направлении сечения. Рис. 4. Схема трехосной положительной и отрицательной формы сечения конического множества точек: а - сечение нормальной положительной оси; б - сечение нормальной отрицательной оси; в - сечение поперечной положительной оси; г - сечение поперечной отрицательной оси; д - сечение наклонной положительной оси; е - сечение наклонной отрицательной оси Таблица 1 Экспериментальные результаты для нормальной оси модели конуса Метод Расстояние, мм Объем, мм3 Абсолютная погрешность, мм3 Относительная погрешность, % Количество срезов Положительное сечение 1 2 4 8 16 473138434 473140926 473262638 473779636 473973105 0 2492 124204 641202 834671 0 0.0005267 0.02625109 0.13552101 0.17641158 841 421 211 106 53 Окончание табл. 1 Метод Расстояние, мм Объем, мм3 Абсолютная погрешность, мм3 Относительная погрешность, % Количество срезов Отрицательное сечение 1 2 4 8 16 473138559 473135488 473101818 473156822 471381018 125.5 -2946 -36616 18388 -1757416 2.652510-5 -0.0006227 -0.007739 0.00388639 -0.371438 841 421 211 106 53 Встречнонаправленное сечение 1 2 4 8 16 473138496 473138207 473182228 473468229 472677061 62.75 -227 43794 329795 -461372.5 1.326310-5 -4.79810-5 0.00925606 0.0697037 -0.0975132 1682 842 422 212 106 Рис. 5. Схема тестовой формы сечений наклонной оси облака базовых точек льва: а - сечения нормальной положительной оси; б - сечения нормальной отрицательной оси; в - сечения поперечной положительной оси; г - сечения поперечной отрицательной оси; д - сечения наклонной положительной оси; е - сечения наклонной отрицательной оси Рис. 6. Диаграмма относительной погрешности расчета объема для нормальной оси модели конуса Эксперимент с наклонной осью конуса Чтобы оценить более общий сценарий, основанный, например, на наклонной оси SM (рис. 4, д и е) с шагами 1, 2, 4, 8 и 16 мм были проведены расчеты односторонних и взаимнопротивоположных по направлению прямых и обратных объемов PCO вдоль наклонной оси конуса (табл. 2). Для конуса относительные погрешности приведены в табл. 2, а тенденции - на рис. 7. Таблица 2 Экспериментальные результаты для наклонной оси модели конуса Метод Расстояние, мм Объем, мм 3 Абсолютная погрешность, мм 3 Относительная погрешность, % Количество срезов Положительное сечение 1 2 4 8 16 464882299 464904633 465026217 464939421 464093457 -8256134.5 -8233800.5 -8112216.5 -8199012.5 -9044976.5 -1.7449723 -1.7402519 -1.7145545 -1.7328993 -1.9116977 1018 509 255 128 64 Отрицательное сечение 1 2 4 8 16 464882626 464905286 464781286 464471468 463598236 -8255808 -8233147.5 -8357147.5 -8666965.5 -9540197.5 -1.7449033 -1.7401139 -1.7663218 -1.8318033 -2.0163649 1018 509 255 128 64 Встречнонаправленное сечение 1 2 4 8 16 464882462 464904960 464903752 464705445 463845847 -8255971.25 -8233474 -8234682 -8432989 -9292587 -1.7449378 -1.7401829 -1.7404382 -1.7823513 -1.9640313 2036 1018 510 256 128 Рис. 7. Диаграмма относительной погрешности расчета объема для наклонной оси модели конуса Из табл. 2 и рис. 7 видно, что погрешности расчета объема вдоль наклонной оси конуса прямым или обратным SM примерно пропорциональны шагу сечения. При этом волатильность (или непредвиденность) и ошибки направления увеличиваются с величиной шага. Однако среднее значение CODSM преодолевает (или частично компенсирует) эти непредвиденные и методические ошибки. Это связано с тем, что доминирующее направление одностороннего SM заранее неизвестно, а средняя ошибка CODSM гарантирует, что она меньше, чем ошибка метода прямого сечения. Двухосный эксперимент с основанием каменного льва Прямая и обратная формы основания льва осесимметричны (т. е. существует верхняя и нижняя симметрия с горизонтальной осью в качестве оси симметрии (рис. 5, а-г) как вдоль положительной, так и горизонтальной осей), поэтому достаточно выбрать одну ось, вдоль которой будет проводиться эксперимент. Результаты расчетов и проанализированные данные являются экспериментальными результатами репрезентативной положительной оси и общей наклонной оси основания льва (табл. 3 и 4, рис. 8 и 9). На их основе могут быть проанализированы и сопоставлены характеристики однонаправленных и встречнонаправленных алгоритмов. Эксперимент с положительной осью основания льва В соответствии с положительной осью SM (рис. 5, а и б) при шаге 1, 2, 4, 8 и 16 мм были предприняты расчеты односторонних и встречнонаправленных прямых и обратных объемов PCO. Относительные погрешности вдоль положительной оси основания льва приведены в табл. 3, а тенденции показаны на рис. 8. Таблица 3 Экспериментальные результаты для нормальной оси основания льва Метод Расстояние, мм Объем, мм 3 Абсолютная погрешность, мм 3 Относительная погрешность, % Количество сечений Положительное сечение 1 1191564 -8761 -0.7298857 187 2 1181869.5 -18455.5 -1.5375419 94 4 1163173.5 -37151.5 -3.0951201 47 8 1129681.5 -70643.5 -5.8853644 24 16 1062158.5 -138166.5 -11.510758 12 Отрицательное сечение 1 1209853.00 9528.00 0.79378502 187 2 1219795.00 19470.00 1.62206069 94 4 1239483.00 39158.00 3.26228313 47 8 1278441.00 78116.00 6.50790411 24 16 1356565.00 156240.00 13.0164747 12 Встречнонаправленное сечение 1 1200708.5 383.5 0.03194968 374 2 1200832.25 507.25 0.04225939 188 4 1201328.25 1003.25 0.08358153 94 8 1204061.25 3736.25 0.31126986 48 16 1209361.75 9036.75 0.7528586 24 Рис. 8. Диаграмма относительной погрешности расчета объема для нормальной оси основания льва Из табл. 3 и рис. 8 видно, что погрешности расчета объема положительной оси основания каменного льва по прямому или обратному SM примерно пропорциональны расстоянию. Наблюдается увеличение волатильности и направленности с увеличением расстояния. Следовательно, несмотря на то, что прямой и обратный компенсаторный эффект CODSM с характеристикой среднего значения может проявляться в каждом интервале, очевидно, что чем меньше интервал, тем лучше эффект. Эксперимент с наклонной осью основания льва Расстояния 1, 2, 4, 8 и 16 мм были приняты для расчета односторонних и встречнонаправленных прямых и обратных объемов PCO. Относительные погрешности вдоль наклонной оси основания (табл. 4) на основе наклонной оси SM приведены на рис. 5, а и б, а тенденции - на рис. 9. Из табл. 4 и рис. 9 видно, что погрешности расчета объема по прямому или обратному SM вдоль наклонной оси основания примерно пропорциональны шагу сечения. Наблюдаются высокая волатильность и систематический характер (низкий общий), которые демонстрируют заметную одностороннюю тенденцию увеличения расстояния, что аналогично развороту «искажения» полиномиальной интерполяционной кривой более высокого порядка [21]. В результате прямой и обратный компенсаторные эффекты CODSM в определенной степени улучшаются и становятся очевидными только тогда, когда интервал невелик. Однако положительный эффект от сохранения центрированности и сбалансированности результатов расчетов сохраняется. Таблица 4 Экспериментальные результаты для наклонной оси основания льва Метод Расстояние, мм Объем, мм3 Абсолютная ошибка, мм3 Относительная ошибка, % Количество сечений Положительное сечение 1 2 4 8 16 1181165.50 1179055.00 1176420.00 1173388.00 1166017.50 -19159.50 -21270.00 -23905.00 -26937.00 -34307.50 -1.5961927 -1.7720201 -1.991544 -2.2441422 -2.8581842 185 93 47 24 12 Отрицательное сечение 1 2 4 8 16 1181150.50 1183238.50 1182037.50 1187041.50 1180601.00 -19174.50 -17086.50 -18287.50 -13283.50 -19724.00 -1.5974424 -1.4234895 -1.5235457 -1.1066586 -1.6432216 185 93 47 24 12 Встречнонаправленное сечение 1 2 1181158.00 1181146.75 -19167.00 -19178.25 -1.5968175 -1.5977548 370 186 4 8 1179228.75 1180214.75 -21096.25 -20110.25 -1.7575448 -1.6754004 94 48 16 1173309.25 -27015.75 -2.2507029 24 Рис. 9. Диаграмма относительной погрешности расчета объема для наклонной оси основания льва Из экспериментальных результатов (табл. 1-4 и рис. 6-9) и последующего анализа следует, что существуют большие различия в погрешности и компенсации между односторонним SM и CODSM (табл. 5). Из этих результатов и учета того, что «чем меньше расстояние между сечениями, тем выше точность» [14, 15], можно сделать следующий вывод: CODSM имеет согласованные характеристики и преимущества более высокой точности, более высокой робастности, чем прямой или обратный односторонний SM. Таблица 5 Сравнение погрешности и компенсации SM и CODSM Oбъект Метод Влияние случайных ошибок Компенсация случайных ошибок Влияние систематических погрешностей метода Компенсация систематических погрешностей метода Модель конуса SM Сильное Слабая или отсутствует Сильное Слабая или отсутствует CODSM Слабое Сильная Слабое Сильное Основание каменного льва SM Сильное Слабая или отсутствует Сильное Слабая или отсутствует CODSM Незначительное Довольно сильная Незначительное Довольно сильная Обсуждение Анализ основных характеристик Эксперимент по сечению и расчет объема PCO конуса и основания каменного льва в двух типичных рабочих условиях были проведены с использованием SM и CODSM и дали результаты, представленные в табл. 1-4 и на рис. 6-9. В целом, независимо от регулярности PCO, использование CODSM вдоль положительной оси наилучшим образом дополняет и компенсирует погрешности, возникающие в результате случайности формы и характеристик метода, и его преимущества наиболее отчетливы. Хотя определенная степень ослабления и неопределенности в эффекте компенсации наблюдается при общих условиях работы, таких, как наклонная ось, компенсация присутствует во всех условиях, причем разница заключается скорее в количестве, чем в качестве. То есть при любых заданных условиях работы результаты расчета CODSM лучше, надежнее и, следовательно, робастнее, чем у односторонних SM. Анализ причин компенсации Первопричиной эффекта компенсации является то, что hb (высота остатка PCO, как показано на рис. 3 и 4) отличается для одностороннего прямого и обратного сечения, что приводит к неопределенности и варьированию объемов остаточных сегментов в зависимости от расстояния. Даже если односторонние прямой и обратный hb окажутся одинаковыми, результаты расчета, полученные односторонними прямым и обратным SM, все равно будут различаться из-за направленности объемов сегмента. В общем случае с точки зрения расчета объем сегмента с подходами снизу вверх и сверху вниз вдоль положительной оси конуса сечения и расстояние рассматриваются как дно и высота соответственно (рис. 10). Другими словами, при сечении снизу вверх объем вычисляется вверх (рис. 10, а), а при сечении сверху вниз - вниз (рис. 10, б). Таким образом, для общего нерегулярного PCO, независимо от того, является ли сечение прямым или обратным, систематическая направленность неизбежно оказывает влияние на расчет объема объекта (если случайность формы сечения неизвестна и не поддается контролю). Суперпозиция случайных и систематических погрешностей в сочетании с неопределенностью приведет к несогласованности в расчете объема объектов, прошедших прямое и обратное сечение. Кроме того, сама неопределенность характеризуется случайностью. Следовательно, применение CODSM прямого и обратного наблюдения и принятие в качестве результата двойного учета среднего значения можно считать эффективным подходом и надежным выбором для компенсации случайных и систематических погрешностей. Рис. 10. Схема метода одностороннего сечения (на примере положительной оси конуса): а - сечение снизу вверх; б - сечение сверху вниз Выводы и перспективы Экспериментальные результаты и анализ показывают, что предложенный CODSM эффективен и обладает следующими характеристиками и преимуществами: 1. Причиной и источником CODSM является различие между прямым и обратным SM, которое заключается в положениях сечения, полученных сечениях, высоте остатка PCO и самом остатке PCO. Это различие неизбежно приведет к разным результатам суммирования, которое означает, что прямые и обратные вычисления приведут к систематическим отклонениям. 2. CODSM эффективно преодолевает направленность, волатильность, непредвиденность и систематический характер SM, используя встречные направления (т.е. прямое и обратное) сечения для борьбы с направленностью. CODSM уменьшает направленные эффекты, волатильность, неопределенность и любые системные эффекты, частично компенсируя возможные непредвиденные дефекты. 3. CODSM является более робастным и надежным методом для PCVC с лучшей точностью, чем односторонний SM, когда расстояние между сечениями невелико. 4. CODSM имеет определенные условия применимости: он обладает явными преимуществами, когда расстояние невелико; однако тогда, когда прямая и обратная оси симметричны (например, горизонтальная ось конуса, положительная ось основания или горизонтальная ось основания каменного льва), тогда существует небольшое различие между CODSM и SM, поэтому последний также может быть принят. 5. CODSM имеет преимущество в диапазоне компенсации ошибок: чем меньше интервал, тем больше компенсационный эффект. 6. Компенсация ошибок CODSM асимметрична. Асимметрия, тесно связанная с формой сечения, изменяется в зависимости от условий работы. Идеальным рабочим условием является положительная ось конуса; при других условиях возникают различные степени неустойчивости. 7. Погрешности в CODSM положительно коррелируют с интервалом в зависимости от того, являются ли они случайными или систематическими. Кроме того, интервал оказывает определенное увеличивающее влияние на эти погрешности. Например, в ходе эксперимента вдоль положительной оси основания каменного льва с расстояниями 4, 8 и 16 мм относительные погрешности расчета объема демонстрировали волатильность (рис. 9), а относительные погрешности отверстий прямого и обратного сечения увеличивались с интервалом сечения (рис. 6-9). 8. CODSM необходимо дальнейшее развитие. Как видно из рис. 7 и 9, по-видимому, не решена проблема: почему PCVC вдоль наклонной оси систематически меньше фактического значения. Как показано на рис. 6 и 8, форма сечения правильная и одинаковая в каждом направлении, что является оптимальным и предпочтительным условием вдоль положительной оси в данном эксперименте. Поэтому для конкретных правильных или неправильных PCO углубленное изучение систематических ошибок CODSM может стать одной из целей последующих исследований. Заключение Волатильность, систематический характер и непредвиденность SM положительно коррелируют с направлением сечения PCO. Увеличивая параллельное наблюдение и рассматривая двойной учет среднего значения как объем PCO, предлагаемый CODSM может уменьшать или даже устранять любые неопределенные случайные ошибки, вызванные неправильной формой или сегментным объемом сечений PCO, или неправильной формой PCO, существенно снижая прямые, обратные или односторонние систематические ошибки SM. CODSM выполним и эффективен при балансировке и уменьшении как непредвиденных, так и систематических ошибок, что делает результаты расчетов более обоснованными, а точность - более робастной. Алгоритмическая модель и экспериментальный анализ доказывают, что CODSM является не только развитием SM, но и знаком, указывающим на то, что SM может быть полноценным и надежным методом расчета PCVC.

Скачать электронную версию публикации