On effective approximation of the power spectrum of the large structure of the Universe.pdf Введение Важнейшим свидетелем предыстории Вселенной является ее пространственная структура, проявляющаяся прежде всего в неравномерной иерархической скученности галактик. Гигантский объем информации, имеющийся на этот счет в компьютерах астрономов, хранит многие, еще нераскрытые «тайны мироздания». Извлечь их оттуда и встроить в динамически развивающуюся современную космологию - это отдельная серьезная задача современной космоинформатики. Непременным условием ее успешного решения является развитие методов сжатия информации. Наглядным примером служит статистическая механика, «упаковавшая» невероятный по тем (да и сегодняшним) временам объем информации о системах, состоящих из такого числа молекул, что и названия-то ему не было, в несколько термодинамических характеристик: давление, объем, температура, внутренняя энергия, энтропия и др. Аналогичным путем развивается и описание самой большой системы - Вселенной: те же образы материальных точек, правда, теперь образы для галактик, а не молекул, и те же образы статистической динамики, описывающие кластеризацию уже не атомов и молекул, а галактик и скоплений галактик, и тот же математический аппарат, распространяющий правила теории вероятностей на ансамбль точечных распределений, отвечающих реально наблюдаемой картине. Но есть важнейшее отличие множества галактик во Вселенной от множества молекул в сосуде с газом: крайняя неоднородность их пространственного распределения. Для описания состояния Вселенной на всех этапах ее развития физики используют так называемые космологические параметры. Это, например, параметр Хаббла, определяющий темп расширения Вселенной, или параметры, задающие соотношение между материей и темной энергией. Знание законов изменения этих параметров на всех стадиях эволюции Вселенной позволит физикам заглянуть на миллиарды лет назад или вперед и создать правильную модель развития Вселенной. Чтобы собрать информацию, например, о плотности Вселенной, нам нужно заглянуть в разные уголки ее и оценить локальные плотности, по которым уже можно было бы оценить среднюю плотность, но ведь нужна еще и оценка точности, а для использования стандартного аппарата (центральной предельной теоремы) необходимо иметь дело с набором независимых данных. Необходимо позаботиться, чтобы использованные в этой выборке участки космоса были достаточно далеко друг от друга, чтобы не осталось корреляций между их свойствами. В этом и состоит смысл моделирования таких распределений, чтобы понять, как они ведут себя на больших расстояниях и насколько они должны быть удалены друг от друга, чтобы выборка оказалась представительной. Тестирование одной из таких моделей и является целью нашей работы. 1. Корреляционные функции Традиционным средством описания случайного расположения множества точечных объектов является аппарат корреляционных функций, широко применяемый в статистической космологии [1] и в статистической физике вообще. В модели равномерного пуассоновского ансамбля (РПА) со средним числом галактик в единице объема числа заполнения для двух непересекающихся областей V1 и V2 являются целозначными взаимно независимыми случайными величинами со средними значениями и равными им дисперсиями. В этом ансамбле концентрация , вероятность P1 обнаружить объект в малом объеме V1 около точки r1 равна n V1, a вероятность того, что в каждом из двух непересекающихся малых объемов окажется по одному атому, равна произведению . В произвольном пуассоновском ансамбле концентрации могут быть разными, в равномерном - одинаковыми, но само произведение, означающее взаимную независмость чисел заполнения, перестает быть актуальным для непуассоновского ансамбля и заменяется выражением (1) включающим двухточечную корреляционную функцию . Она определяется как ковариация относительных флуктуаций плотности : в указанных точках и в однородной изотропной модели зависит только от расстояния между ними. Она отражает статистическую связь между положениями атомов, принимая положительные значения на расстояниях, характерных для размеров неоднородностей (кластеров и пустот), и отрицательные значения для переходных областей. В отсутствие взаимодействий (идеальный газ нейтральных атомов) корреляционная функция равна нулю, наличие короткодействующих взаимодействий сопровождается знакопеременным поведением корреляций убывающей амплитуды. Поскольку вероятности попадания в каждый из элементарных объемов более одного точечного объекта бесконечно малы, формула (1) одновременно дает и среднее число пар атомов, каждый из которых находится в одном из указанных элементарных объемов, . Отметим, что здесь положения объемов, характеризуемые, например, их центральными точками r1 и r2, выбраны произвольно, безотносительно к тому, содержат они атомы (галактики) или нет. При статистическом анализе наблюдательных данных и особенно их моделировании удобно пользоваться условной вероятностью обнаружения галактики в одном из элементов при условии, что другой элемент занят другой галактикой: Эта вероятность может рассматриваться как вероятность перехода частицы из точки r2 в элемент V1, а будучи поделенной на величину последнего, становится условной концентрацией . В статистически однородной среде она связана с корреляционной функцией через единственный параметр - среднюю по ансамблю концентрацию : (2) и (в изотропной модели) зависит, как и , только от абсолютной величины вектора расстояния r между точками 1 и 2. Безразмерное отношение называют структурной функцией [2]. Согласно (2), (3) Общепризнанным в настоящий момент считается наличие некоторого диапазона расстояний со степенным убыванием корреляционной функции, (4) в котором присутствуют два параметра: показатель степени и масштабный фактор r0, характеризующий скорее амплитуду флуктуаций в указанном диапазоне, чем длину корреляций. Нижняя граница этого диапазона r1 соответствует размерам отдельных галактик, играющих в данной схеме роль точечных частиц (атомов). Положение верхней границы представляется более неопределенным, поскольку связано с определением средней концентрации галактик. Теоретическое обоснование аппроксимации степенного вида функции (4) в виде 50 кпк hr 10 Мпк дано Пиблсом и Гротом в работе [3] с привлечением аналитической модели и численного метода многочастичной динамики. Корреляционный анализ, показавший высокую эффективность в молекулярной физике жидкостей и газов, в задаче о распределении галактик встретился с определенной проблемой: далекие хвосты корреляционных функций, обусловленные дальнодействием гравитационных сил, привели к повышенной чувствительности обработанных результатов по отношению к приграничным областям. На рис. 1 работы [4] ясно видны и статистические погрешности корреляционного анализа в приграничных областях обзоров, и тонущие в них хвосты корреляционных функций. Авторы обращают внимание на зависимость амплитуд выборок от их объемов и возрастающую роль шумов вблизи границы интервала. Рис. 1. Типичная картина поведения выборочных корреляционных функций по результатам стандартного анализа VL выборок каталога IRAS 1.2 Jy (S) [4]: ● - VL20S, □ - VL40S, ○ - VL60S Осознание этого факта привело не просто к совершенствованию методики обработки путем перехода к условной статистике, но и к чрезвычайно поучительной дискуссии о границах применимости фрактальной модели к описанию распределения галактик, воспроизведенной в обзоре [5]. Но вопрос о положении этой границы остается открытым. Это связано с уходом в область все более высоких флуктуаций, порождающих растущую неопределенность. 2. Спектр мощности флуктуаций Альтернативный способ описания случайно-неоднородной среды основан на спектральном представлении, широко используемом в теории турбулентности. По аналогии со спектром мощности временных сигналов в статистике галактик вводится спектральная функция пространственных флуктуаций как преобразование Фурье трехмерной корреляционной функции, (5) представляющее случайное поле относительных флуктуаций плотности n(r) в виде суперпозиции плоских пространственных волн: В традиционном предположении о гауссовом характере случайного поля фазы плоских волн полагают равномерно распределенными на и рассматривают только спектр амплитуд , собственно и называемый спектром мощности. Хотя основная проблема, заключающаяся в достоверности определения средней плотности по выборкам ограниченного объема, остается в -методе актуальной, показатель степени в области длин волн, соответствующих размерам обзора, оценивается в этом методе без искажений [5, с. 118]. Спектр мощности степенных корреляций типа (4) тоже имеет, по крайней мере приближенно, степенной вид (рис. 2). В частности, для (6) и имеем (7) Грубо оценивая при и вне этой области, получим спектр Зельдовича - Гаррисона (ЗГ): (8) Рис. 2. Спектр мощности P(k) Ликского каталога (точки) [6], пунктир - аппроксимация ЗГ c n = -1.41 Приведем очень важную в свете нашей работы цитату из книги Пиблса: «Это предположение (8) является лишь догадкой, которая подтвердится, если окажется, что в некоторых деталях результаты близки к наблюдаемым, (и возможно, если в конце концов будет установлено, что это предположение согласуется с некоторой фундаментальной теорией, описывающей раннюю Вселенную и начало расширения)» [1, с. 123]. В качестве такого фундаментального принципа Пиблс примеряет во второй главе своей книги модель иерархического скучивания, в основе которой лежит предположение, что флуктуации плотности на малых масштабах значительно выше крупномасштабных. «Степенной закон в форме (8) принят потому, - пишет Пиблс, - что он удобен для расчетов и, вероятно, не является надуманным. Если бы показатель степени был меньше или равен -3, то из условия сходимости следовало бы, что спектр должен обрываться на некоторой длине волны , и основную роль играли бы флуктуации размера , на которые накладывается относительно невысокая «рябь» с , связанная со степенным спектром при . Но это разрушило бы всю картину иерархического скучивания» [1, с. 124]. Взяв за исходный пункт ЗГ-спектр и модифицировав его мягко урезающим в длинно¬вол¬но¬вой части экспоненциальным множителем, Пиблс получил аппроксимацию (A и 0 - постоянные), которую назовем спектром Пиблса. Выполняя численные расчеты, он встретился с осциллирующим поведением соответствующей , особенности которого зависели от конкретной формы коротковолнового обрезания. Бонометто и др. [7] рассмотрели версии с двумя различными обрезающими экспонентами, но результаты ничем не были подтверждены и качественно не согласовывались с полученными Пиблсом. Уместно сказать, что к тому времени широко была известна модель Неймана - Скотта, где участвующие в процессе объекты были разделены на предков и потомков. Предки размещались согласно РПА, а потомки рождались в некотором случайном числе от каждого из предков и распределялись по заданной (степенной с усечением) плотности независимо друг от друга, образуя таким образом «семейные» кластеры. Специальным выбором параметра усечения, амплитуды и показателя степени парная корреляционная функция была согласована с формулой (6). Были вычислены в этой модели третья и четвертая функции, но разбиравшийся с ними в своей книге Пиблс заметил, что они не согласуются с наблюдениями [1, с. 237]. В [8] предложена модель, в которой одинаковые частицы распределены по пуассоновски распределенным в пространстве непересекающимся сферическим с радиальным профилем типа изотермической сферы кластерам, случайное число частиц в них характеризуется квазиравновесной плотностью [9]. 3. Фрактальная модель распределения галактик Степенная аппроксимация условной концентрации сыграла важную роль в формировании фрактальной интерпретации распределения галактик, предложенной Б. Мандельбротом [10]: именно вытекающее из нее N-R-соотношение (9) легло в основу наиболее популярного (хотя и не строгого) введенного им определения фрактальной размерности распределения галактик через показатель : Соответственно фрактальные концентрации (которых теперь две: локальная и глобальная ), как и прежде, вычисляются в системе с центром на одной из галактик и обе стремятся к нулю с увеличением r. Это общее свойство иерархических структур, увеличение масштабов которых сопровождается доминированием пустот (войдов). Ссылаясь на имеющиеся к тому времени данные, Мандельброт определил , a амплитуду положил равной случайной величине, каждая реализация которой однозначно определяет сферически симметричное неслучайное распределение точек. Нельзя не отметить, что это выглядит весьма странно, совершенно не вписываясь в философскую концепцию фрактала, точнее, в ее реализацию применительно к моделированию распределения галактик. Согласно космологическому принципу, Вселенная «из всех точек» выглядит одинаково. Вейнберг [11, с. 438-439] пишет: «... можно сделать вывод, что любая фиксированная точка может служить началом координат, эквивалентных координатной системе, известной в космологии как метрика Робертсона - Уокера». Мандельброт, по-существу, ослабил это принцип, добавив одно слово: любая точка фрактала... Вместо равноправия всех точек пространства в претензии на начало координат было провозглашено равноправие всех материальных точек (т.е. всех точек фрактала). С логической стороны это вполне оправдано: как можно выбрать начало координат в пустом пространстве? С другой стороны, есть расстояние, и расположить систему точек так, чтобы плотность их числа спадала по мере удаления от любой из них, невозможно. Какой-то особый регулярный (наподобие шахматного) порядок расположения точек, как это предлагал Фурнье д’Альбэ, не согласуется с бунтарским характером турбулентной Вселенной. Но этот последний факт и указывает путь к решению проблемы. Надо принять космологический принцип эквивалентности всех материальных точек в его стохастическом смысле: в системе координат, связанной с любой точкой фрактала, мы работаем с одним и тем же статистическим ансамблем. И это сразу меняет дело. Мы работаем теперь с условной статистикой. Все точки равноправны, но мы видим неоднородности в их распределении. Где-то точки расположены гуще, где-то реже. Выбирая каждый раз новую точку в качестве начала координат, мы изменяем всю картину. Казалось бы, какая же тут эквивалентность? Но если представить себе, что каждая видимая точка есть просто узел на одной из множества независимых эквивалентных ломаных, заполняющих пространство, то становится ясно, что в корреляционном отношении все узловые точки, принадлежащие данной траектории, эквивалентны, а все другие, не лежащие на этой траектории, независимы от них. Фрактал должен быть, конечно, случайным, стохастическим, степенной закон спадания условной вероятности должен выполняться в среднем, а построение точечного распределения как совокупности узлов (точек рассеяния) ансамбля независимых траекторий как раз и обеспечит статистическое равноправие всех претендентов на центр мира. К тому же фрактал самоподобен, и стохастичность (вероятностный характер) тоже должна отвечать этому требованию во всех масштабах: если в какой-то области (в каком-то масштабе) он обладает стохастичностью, то и в любых масштабах мы должны обнаружить это свойство, а предложение считать одним и тем же случайным числом, не зависящим от выбранного центра отсчета, несовместимо с наблюдаемой вариабельностью плотности галактик и тем более с корреляциями высших порядков. Таким образом, возникает естественный способ обобщения схемы Неймана - Скотта: не ограничиваться двумя первыми поколениями, а продолжить построение траектории. По этому пути пошел Б. Мандельброт: на каждом шаге галактики располагаются в соответствии с процессом случайного блуждания Рэлея - Леви; каждая последующая помещается на расстоянии l от предыдущей в случайно выбранном направлении так, что P(l > x) = (x0/x) , при x > x0. Эта процедура повторяется большое (возможно, неограниченное) число раз, причем всякий раз величина и направление l выбираются независимо. Приняв в качестве переходной плотности распределение Ципфа - Парето, Мандельброт становится перед необходимостью вычисления многократных сверток этих, не очень приспособленных к такой операции, операций распределений. «Итак, модель требует дальнейшего усовершенствования», заметил по этому поводу Пиблс [1, с. 247], но решение задачи было уже «на кончике пера». Действительно, степенная форма распределения расстояний между последовательными узлами траектории (пробегами, по терминологии переноса) была выбрана Мандельбротом по единственной причине: асимптотика корреляционной функции имеет степенной вид. Вопрос об усечении распределения при малых значениях аргумента совсем второстепенный, главное - сохранить степенной вид многократной свертки. Но именно этим свойством обладает класс трехмерных устойчивых распределений Леви - Фельдгейма p(r, ). Уникальным их преимуществом является чрезвычайная легкость вычисления сверток любых порядков: просто изменяется масштабный множитель в аргументе [12]. В терминах условной статистики этот процесс описывается уравнением где символ означает свертку по пространственным переменным. В трансформантах Фурье его решение имеет вид Подставив (3) в (5) и применив регуляризацию по Адамару [13, c.122] (убирающую трансформанту Фурье единицы и оставляющую только регулярную часть, равную ), приходим к спектру1 (10) где , α - масштабный параметр с размерностью длины. Для изотропных распределений Основанная на этой схеме марковских блужданий модель построения случайных точечных распределений с асимптотическими корреляциями степенного типа подробно проанализирована в работах [12, 14]. Важнейшим, в плане обсуждения замены усреднения по ансамблю (что предполагается в теории), усреднением по далеким областям (что только и можно осуществить в практической космологии) является вывод об автомодельности (скейлинге) не только в отношении математического ожидания числа галактик в заданном объеме, но и в отношении флуктуаций этого числа. Оказывается, распределение безразмерной случайной величины Z = N(R)/n(r) уже при небольших значениях радиуса R шара, в котором подсчитывается число галактик, перестает зависеть от радиуса и слабо зависит от параметра [15]. Предельное распределение не вырождено, флуктуации с ростом R не затухают и закон больших чисел неприменим. Этот факт актуализирует проблему уточнения оценки горизонта статистической независимости r2. 4. За пределами фрактала Еще Пиблс указывал в своей книге на сомнительность выводов по неглубоким выборкам, считая их недостаточно представительными [1, с. 222]. Самая точная оценка, считал он, получена по обзору со 166 галактиками с видимой звездной величиной J ≤ 15 в восьми отстоящих друг от друга площадках 4° × 4°. Число галактик мало, но, к счастью, отмечает Пиблс, эти восемь площадок удачно расположены на небе, поэтому скучивание галактик представлено довольно полно. Найденная оценка параметра r0 приведена в виде (4.23±0.26) h-1Мпк (стандартное отклонение получено по разбросу результатов восьми площадок). Любопытная особенность типа излома усмотрена Пиблсом в Ликском каталоге: при rm ~ 10 Mпк, логарифмическая производная от (т.е. ). Реальность излома , пишет автор, на расстоянии r rm подтверждается при попытках численного моделирования наблюдаемой структуры. Расчеты эти были выполнены на основе 3-параметрической ( , L и ) модели Сонейры - Пиблса [16]. Процесс начинается с построения сферы нулевого уровня радиусом R, внутри нее размещается сфер первого уровня радиусом R/ ( > 1), внутри каждой из них случайным образом размещаются центры сфер второго уровня радиусом R/ 2, и так этот процесс повторяется, пока не закончится на полном числе L сфер уровня L радиусом R/ L. Геометрические центры сфер имитируют положения галактик в скоплении. Результат такого расчета показан на рис. 3. Авторы отмечают заметное превышение корреляционной функции (в интервале 5-15 Mпк). Из этих вычислений была извлечена следующая информация: если бы степенная зависимость простиралась далее rm, то в каждой группе было бы много галактик, и вся картина распределения галактик выглядела бы более клочковатой. Но во всех изученных случаях, считают авторы, эффект (излом) близок к шуму и к нему нужно относиться осторожно. Более или менее надежно установлена положительность корреляционной функции до расстояний 15 Мпк, но достоверно неизвестно даже, меняется ли она на бóльших расстояниях. Рис. 3. Точками и проведенной по ним сглаживающей кривой изображены результаты, полученные в модели Сонейры - Пиблса [16]. Штриховой прямой показана степенная аппроксимация с показателем = 1.77 Проблема влияния границ области, используемой для установления формы корреляционных функций и определения других важных космологических параметров, обострилась в конце 80-х благодаря работам группы университета La Sapienza (Л. Пьетронеро и др.) после встречи с Б. Мандельбротом. Как объясняют тогдашнюю мотивацию в статье [4], участники группы приняли (в полемическом задоре, не остывшем и по сей день) девиз: математика призвана уточнять результаты наблюдений, не противореча им. Первое, что они сделали, это предприняли ревизию каталога CfA, отказавшись от положенного в основу принятой тогда методики предположения о равномерном характере фонового распределения галактик. По существу, речь шла о неопределенности «второй длины» r2, из-за чего используемая выборка не могла быть признана представительной, а полученные на ее основе оценки космологических постоянных - состоятельными. Были сделаны выводы, что корреляции фрактального типа простираются до пределов выборки, а однородность так и не достигается. Усовершенствованная методика анализа обнаружила также, что корреляционные функции галактик и скоплений галактик спадают по степенным законам с одинаковым показателем = -1.7 (что и следует ожидать от фрактального самоподобия), но амплитуда возрастает от 5 до 25 h-1. Причины этого и других несоответствий были выяснены и большей частью устранены, но для тестирования желательно было бы иметь независимую от настоящих выборок модель пространственного распределения случайных точек, корреляции которых на малых расстояниях спадали бы по степенному закону, а на больших - выходили на постоянную нулевую отметку, но переход был бы плавным, в силу внутренних причин, а не внешнего управления («не руками»). Такая модель позже была предложена в [12, 14]. Впрочем, ни фрактальная размерность, ни оценка масштаба перехода к однородному пуассоновскому режиму не остаются неизменными (речь идет именно об оценках, а не об их истинных значениях) в процессе продолжения исследований. Если ранний анализ (в эпоху каталогов угловых положений, когда были обнаружены первые сверхскопления) указывал на малость масштаба Mпк, внутри которого соответствовал бы фрактальной размерности , то позже, как отмечено в обзоре [5], пришло понимание того, что используемая обработка угловых каталогов приводит к искажению как r2, так и D. Совершенствование методики обработки и использование трехмерных карт изменило D с 1.2 до 2.2 0.2 и увеличило r2 от 10 до 100 Mпк. При исследовании процессов, связанных с крупномасштабной структурой Вселенной, естественно принять в качестве нижней границы фрактального диапазона размеры галактик, которые играют теперь роль атомов или молекул в газах. Авторы обзора [5] допускают выбор иных ориентиров для этой границы, соответствующих, например, размерам скоплений темного вещества массой 106-108 Мпк, размерам звезд, комет и даже атомов. Верхняя же граница, попадающая в сферу интересов нашей работы, является менее определенной. Наиболее надежными могли бы стать оценки, выполняемые на основе больших обзоров красных смещений, но они охватывают пока небольшую часть неба, так что вопрос о существовании верхней границы фрактальной области крупномасштабного распределения галактик остается открытым. В связи с этим сохраняется актуальность разработки гибридной модели распределения, характеризующейся фрактальными свойствами на умеренных масштабах и равномерно-пуассоновскими на больших. В работе [17] такой тип пространственных распределений назван мезофракталами2 (взамен распространенного, но весьма громоздкого «fractals with turnover to homogeneity»). 5. Обсуждение результатов Математическая конструкция мезофрактального распределения описана и качественно проанализирована в работах В. Учайкина и соавторов. В основание eе положен спектр мощности Золотарева - Учайкина, предложенный в их работах [12-15, 17]: (11) где , , c ≤ 1 и - положительные постоянные. Не связанная напрямую с формулой Зельдовича - Гаррисона она представляется более пластичной в отношении прямого назначения аппроксимации - корректного описания совокупности эмпирических данных (рис. 2). Однако главная ее особенность не в этом. Можно придумать массу других 4-параметрических формул, более или менее успешно выполняющих эту функцию. Чтобы оценить главное свойство этой аппроксимации, воспользуемся формулой суммы бесконечной геометрической прогрессии: (12) Выражение представляет собой характеристическую функцию -кратной свертки 3-мерной изотропной устойчивой плотности Леви - Фельдгейма p(r, ) с масштабным коэффициентом b. Подставив (13) в (12) и воспользовавшись представлением (6), получим уравнение , (13) в координатном пространстве принимающее вид (14) Это интегральное уравнение Фредгольма второго рода, известное в статистической гидромеханике как уравнение Орнштейна - Цернике для парной корреляционной функции однородной изотропной жидкости. Оно разбивает полную корреляционную функцию (левая часть) на два слагаемых, первое из которых дает прямую корреляционную функцию, а второе - остаточный член, отвечающий за вклад остальных молекул (если речь идет о газе или жидкости [5]) и галактик или скоплений галактик, если рассматривается крупномасштабная структура Вселенной. Написав аналогичное уравнение для условной концентрации n(r), легко узнать в нем уравнение для плотности столкновений многократно изотропно рассеивающейся в некоторой среде частицы. Не имея оснований для разговора о природе этих частиц, этой среды и их взаимодействий, удовлетворимся, во-первых, родством по форме с известнейшим в статистической механике уравнением, упомянутым выше (см. [18]), и, что особенно интригует, родством по духу: распределения свободных пробегов в турбулентной среде характеризуются не экспоненциальной, а, по крайней мере, в асимптотике больших значений, степенной формой [19], т.е., такой, которая характеризует и сами устойчивые плотности. Лишь одним безразмерным множителем (с), близким к 1, отличается эта аппроксимация спектра от формулы (10), но отличие это оказывается принципиально важным для построения мезофрактала уравнения для плотности столкновений изотропно рассеивающейся в среде частицы. Именно благодаря этому обстоятельству поведение условной концентрации (или пропорциональной ей структурной функции) поначалу следует той же асимптотике r-3+ , что и в случае с = 1, и лишь на бóльших масштабах сваливается на более крутую, но тоже степенную асимптотику r-3- . В этом есть принципиальное отличие данной модели от упоминаемых выше моделей с экспоненциальным усечением, «дальняя асимптотика» которых не имеет ничего общего со степенным законом. Ограниченный интервалом (0,1] коэффициент с очевидно может быть интерпретирован как вероятность частицы выжить при столкновении, избежать поглощения, ведущего к обрыву траектории. При с = 1 траектории бесконечны, и хвосты условной концентрации неограниченно спадают по тому же степенному закону, что и хвосты распределений пробегов. Это доказано в работах [11-13]. И в этих же работах доказано, что стóит уменьшить с на сколь угодно малую величину, как условная концентрация с какого-то расстояния начинает переходить с асимптотики r-3+ , свойственной бесконечным траекториям, к асимптотике ограниченных траекторий r-3- . Обозначив соответствущие граничные значения через r1, r2, можно говорить и о переходной области, предшествущей горизонту независимости. Область эта, хорошо видная в модели Сонейры - Пиблса (рис. 3), проявляется также и в модели Учайкина - Золотарева (рис. 4), хотя в несколько ином виде. Рис. 4. Структурные функции в модели Золотарева - Учайкина = 1.5, A = b = 1 и с = 0.9 (1), 0.99 (2), 0.999 (3), 0.9999 (4), 0.99999 (5). Штриховыми прямыми показаны асимптоты Заключение В уравнении (14) легко усмотреть уравнение для совокупной плотности узлов независимых траекторий неких частиц, с относительными смещениями на независимые случайные векторы, распределенные по указанному закону. Такое представление спектра служит основанием для построения эффективного алгоритма моделирования распределения галактик методом Монте-Карло. Результаты, представленные на рис. 5 и 6, показывают вполне удовлетворительное согласие в интервале приведенных волновых чисел (1, 30), достаточном для уверенного восстановления корреляционных функций. Рис. 5. Спектр CfA101 [20, табл. 2А]. Сплошная линия - аппроксимация по формуле (10) для A = 0.0675, b = 0.0168, c = 0.999997, = 1.95. Штриховая и пунктир - верхняя и нижняя границы 68%-го доверительного интервала Рис. 6. Спектр CfA130 [20, табл. 2B]. Сплошная линия - расчет по формуле (10) для A = 0.06.62, b = 0.00445, c = 0.9999985, = 1.6456. Штриховая и пунктир - верхняя и нижняя границы 68%-го доверительного интервала Перечислим основные характеристики представленной в настоящей работе модели. Модель приспособлена для построения случайных точечных распределений с далекими корреляциями степенного типа, подобного наблюдаемому в пространстве распределению галактик. Несмотря на то, что условная концентрация соседних галактик относительно любой из них спадает по степенному закону до фонового уровня (средней концентрации), статистические свойства ансамбля не зависят от выбора начала координат. Какой бы из случайных объектов не был выбран в качестве такового, свойства ансамбля остаются одними и теми же, и условная концентрация с удалением от начала координат убывает по тому же самому изотропному степенному закону. Причина такого, на первый взгляд, парадоксального свойства лежит в том, что множество точечных объектов построено как множество коррелированных узлов на множестве независимых траекторий, на каждой из которых узлы равноправны, ничем не выделяются друг от друга. Этим самым выдерживается космологический принцип эквивалентности систем координат, связанных с материальной структурой Вселенной. И при любом выборе материального начала координат мы наблюдаем в рамках данной модели фрактальный (степенной) характер плотности в умеренных (< 5 Мпк) масштабах и равномерное пуассоновское распределение в масштабах порядка 10 Мпк и бóльших. Четыре параметра модели определяются по известной для данного каталога спектральной плотности мощности путем аппроксимации Золотарева - Учайкина и используются для построения ансамбля независимых траекторий, имеющих вид ломаных со случайными независимыми длинами изотропно распределенных отрезков, в узлах которых и располагаются объекты (галактики). Важнейшее приложение такой модели - имитация процедуры определения космологических параметров по результатам астрономических наблюдений.

Скачать электронную версию публикации