Асимптотические свойства статистик от моментов наступления событий рекуррентного потока | Вестн. Том. гос. ун-та. 2000. № 271.

Асимптотические свойства статистик от моментов наступления событий рекуррентного потока

Доказывается сходимость почти наверное и асимптотическая нормальность некоторых статисгак от моментов наступления собьпий рекуррентного потока, наблюдаемого на фиксированном отрезке времени, итенсивнсхль которого неофаниченно увеличивается.

Asymptotic properties of the statistics of the moments of occurrence of events of a recurrent stream.pdf Постановка задачи С рекуррентными потоками приходится сталкиваться при изучении многих физических и техничесистемах, при анализе систем массового обслуживания и т.д. Одной из проблем, возникающих при экспериментальном изучении этих потоков, является оценка ских систем - при изучении потоков частиц, пото- ^ параметров. обычно наблюдение за таким потоков сигналов в сетях связи и радиолокационных ком производится на некотором интервале времени [О,Г], и результаты измерений - это моменты наступления событий потока ,/2,...,IN. При построении оценок эти данные превращаются в статистики вида S = £ /(f,), где /(•) - некоторая функция. >»1 При исследовании получающихся оценок неизбежно встаёт вопрос об их асимптотических свойствах - сходимости по распределению, сходимости почти наверное и т.д. Он напрямую зависит от соответствующих свойств статистик указанного выше типа. Однако надо отметить, что применение известных теорем теории вероятностей здесь не проходит по следующим причинам: 1) так как число событий N, наступивших на интервале [О,Г], случайно, то и число слагаемых в исследуемых статистиках также случайно; 2) Если зафиксировать N, то величины t, становятся зависимыми. ВсС это приводит к необходимости отдельного исследования асимптотических свойств указанных выше статистик. Описание рекуррентного потока и техники вычисления средних Пусть начало отсчета времени приходится на момент /0 и tx, t2, .... tN - моменты измерений. Пусть'"(,-(, /"='l,'N\ '-' riHtepBknti' времени ' между »-м и (/' -1) -м измерениями. Поток моментов измерений {/,} называется рекуррентным потоком, если величины т,, i = 2, N являются независимыми, одинаково распределенными случайными величинами с плотностью вероятностей р{т), так что 1=2 Особую роль здесь играет величина т, = /, -10, так как в ней от /) отнимается не момент предыдущего измерения, а момент начала отсчета времени поэтому плотность вероятностей р,(т,) величины Ti отлична от плотностей вероятностей других Ti. Пусть т = А/{т} = оо = |тр(т)А и X = 1/т - интенсивность рекуррентного о потока моментов измерений. Тогда по общей теории [1, т \-\p{u)du 2] т) = Х . Покажем для часто встре чающихся статистик, как вычисляются математические ожидания при рекуррентном потоке моментов намерений. В дальнейшем большую роль будет играть функция п(т), определяемая следующим образом: пусть р(к) (т) есть А-кратная свертка функций р(х), т.е. p(i)(t) = = p(i)* p(t)*...* р(т) (к раз). Определим л(т) так: (1) Опишем путь аналитического нахождения я(т) по известной функции/>(т). Обозначим через p'(s) преобразование Лапласа от функции р(х): p'(s)~ ОО = je~"p(x)ch. Тогда, по своим свойствам [3], преобра-о зование Лапласа от функции pik)(т) есть (p'(s$ • Значит, преобразование Лапласа я* (j) от функции я(т): e_£lM_. (2) Пользуясь свойствами и таблицами обратного преобразования Лапласа [3, 4], можно найти и л(т) в явном виде. Отметим еще, чтор' (о) = 1 и р' (о)= -т, • / \ j и тогда [31: lim л(т) = lim sn* (s) = lim . . = - = X, где неопределенность раскрыта по правилу Лопигаля. Вычислим еще функцию те,(х) = ^^ (т)* р'*4'(т) *=1 Учитывая свойства преобразования Лапласа и виц функции р\(х), получаем, что преобразование Лапласа p'(s) от функции р, (т) есть р\ (s) = X - - ^ ^ s s Таким образом, преобразование Лапласа тг|(.г) от функ- . . . ... . . . . . . SV.jav v ции я,(т) есть яД5) = -i- wj = ~> S *=1 S откуда следует, что л,(т) = X. Перейдем теперь к вычислению математических ожиданий от наиболее часто встречающихся статистик. Начнем со статистики S, = и вычислим ее математичеi=i ское ожидание, считая, что юмерения производятся на интервале времени [0,7], так что /0=0 и все t, е [0, Г]. Чтобы избавиться от необходимости учитывать только те значения th которые принадлежат отрезку [0, 7], введем функцию в(х) = |q е*сши х < 0 и ПР^0"13810* ОО статистику S/ в виде 5, = где функция0( ) автоматически оставит в выражении для 5, только те слагаемые, для которых tk е [0, Г]. Тогда Аф,} = I J/M^-Oa^R- (3) *=i о Обозначим переменную tk через t без индекса: Ms,} = ]f(t)Q(T-t)tpk(t)di = 4 о =f/o/ifto)*^-0^)]^ =\fU)nx{t)dt=x\f{t)dt. о ' о о Итак, A/|Z /(', )J = >J f(u)du, (4) откуда видно, что это математическое ожидание совпадает с A/jS",} для стационарного пуассоновского потока моментов измерений [7]. Рассмотрим математическое ожидание статистик (5) вида Для этого вычислим сначала математическое ожи- ЛМ N / ч дание статистики вида SJ = E I /(/,,/.). Чтобы избавиться от пределов суммирования до N, представим S'2 в виде 52' = E^Z /(/„/y) e(7'-/j)e(r-/;). Заметим,что t, =т, + т2 + ...+т(, tj =t, + т,+1 + т,+2 + +...+Тj. Обозначим комбинацию т(+1+т/+2+...+Тj через Ati J4. Тогда, в силу независимости значений т,, величина Дt, J4 не зависит от t,. Обозначая j-i через к, представим S2 в виде Я =tifL', +Чл№-'Ят-(«уы = (-l)7(i)(0> о о Кроме того, в формулах для математических ожиданий функция я() имеет аргумент | и- v , что приводит к некоторым особенностям. Рассмотрим их. оо Запишем j /(v)5(j и - v |)

Ключевые слова

Авторы

ФИООрганизацияДополнительноE-mail
Идрисов Фарит ФатыховичТомский государственный педагогический университетпрофессор, доктор технических наук, декан технолого-экономического факультетаterpugov@fpmk.tsu.tomsk.su
Сазонова Татьяна АлександровнаАнжеро-Судженский филиал Кемеровского государственного университетадоцент, проректор по учебной работеsaz@asf.ru
Всего: 2

Ссылки

Гнеденко Б.В., Коваленко И.А. Введение в теорию массового обслуживания. М.: Наука, 1966.431 с.
Кокс Док. Р., Смит В. Теория восстановления. М.: Сов. радио, 1967.299 с.
Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 196S. 716 с.
Диткик В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М.: Наука, 1974.
Колмогоров А Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976.
Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965.
Марголис Н.Ю. Оценка интенсивности флуктуирующего пуассоновского потока методом полиномиальной аппроксимации // Управляемые системы массового обслуживания. Томск: Изд-во Том. ун-та,1984. Вып. 3. С. 73-91.
Лоэв М. Теория вероятностей. М.: ИЛ, 1962. 719 с.
Хеннекен П.А., Тортра А. Теория вероятностей и некоторые ее приложения. М.: Наука, 1974.472 с.
Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1988. 447 с.
 Асимптотические свойства статистик от моментов наступления событий рекуррентного потока | Вестн. Том. гос. ун-та. 2000. № 271.

Асимптотические свойства статистик от моментов наступления событий рекуррентного потока | Вестн. Том. гос. ун-та. 2000. № 271.

Полнотекстовая версия