Стационарный режим в сети, управляемой динамическим протоколом доступа с оповещением о конфликте | Вестн. Том. гос. ун-та. 2000. № 271.

Стационарный режим в сети, управляемой динамическим протоколом доступа с оповещением о конфликте

Описаны исследования математических моделей спутниковых сетей связи с динамическим протоколом случайного множественного доступа с оповещением о конфликте. Рассмотрены марковская и немарковская модели. Найдены условия, при которых в системах существует стационарный режим.

Stationary mode in network, operated by dynamic protocol of access with notification of conflict.pdf Эта работа продолжает исследования, посвященные сетям связи с протоколами случайного множественного дступа [1]. Известно, что такие сети часто не отличаются стабильным функционированием [2]. При небольшом количеггве абонентских станций (АС) возможно возникновение явления бистабильности [3], а при большом числе узлов - отсуст-вие стационарного режима [4]. В данной работе находятся условия, при которых в сети связи с оповещением о конфликте и динамическом протоколе случайного множественного доступа [5] существует стационарный режим. Для исследования построим математическую модель в виде однолинейной системы массового обслуживания, на вход которой поступает простейший с параметром Л поток заявок, с функцией распределения времени обслуживания B(t), источником повторных вызовов (ИПВ), из которого заявки обращаются к прибору после случайной задержки, распределенной экспоненциально с параметром о//, где / - число заявок в ИПВ. При возникновении конфликта в системе реализуется интервал оповещения о конфликте с функцией распределения A(t). Заявки, попавшие в конфликт, а также пришедшие на интервале оповещения, переходят в ИПВ. Условие существования стационарного режима. Марковская модель Пусть время обслуживания и оповещения о конфликте распределено экспоненциально с параметрами ц, и р2 соответственно. Рассмотрим случайный двумерный марковский процесс {i(t), k(t)}, где i(t) - число заявок в ИПВ, a k(t) - случайный процесс, принимающий 3 значения: k(t) = 0 - прибор свободен, k(t) = 1 - занят обслуживанием заявки, к(1) «= 2 идет интервал оповещения о конфликте. Обозначим вероятности переходов Ли.,к./2(Д>) = = P{/(f + At) = i2, k(t + At) = k2 //(/) = i,, k(t) = *,}. Для исследования условий существования стационарного режима воспользуемся следствием 1 из предельной теоремы для цепи Маркова [б, §45], которая для рассмотренной модели выглядит следующим образом. Для того чтобы неприводимая непериодическая цепь Маркова имела стационарное распределение {%(/')} такое, что я ^ (/) > 0, к = 0,3, i > 0, необходимо и достаточно, чтобы система уравнений 2 к=0 JZ0 ji о 2 *=Оjiо имела ограниченное ненулевое неотрицательное решение. Здесь (ДО = lim -д/-»о kl,tl,k2J2 > ^ kj у At Запишем интенсивности переходов: + о + ® Ц25Х.2(А(+1 = X, K.I.U + Все остальные интенсивности переходов равны 0. ^ а ц, 1 ф Обозначим - = р, - = у, - = -. Тогда можем Hi П. Hi а записать требуемую систему (1): Я о(') = ",(/') 1t2(/) = 7l2(/-l) (/-1)- 1 + р + у Будем искать решение системы (2) в виде nt(i) = C„z'. Подставляя (3) в (?), рокрещзч гравые р децы? ^ас^ц полученной системы на z', получим систему трех уравнений относительно неизвестных Ск. Эта система имеет решение, если ранг расширенной матрицы равен рангу исходной Запишем матрицу системы и найдем определитель: 1 1 + ар О z-z ар 1 + ар (p + yz)2 ар 1 + ар Р + У* op (P+Y)0+P+Y) ар (P+Y)(1 + P+Y) 1 + ар Уравнение P(z) = 0 имеет три корня. Для выполнения условия следствия необходимо, чтобы существовал корень z :| z |< 1. Исследуем поведение P(z): Р >0, 1) Vp, а, у: Р(0) = ■ (l + ap)(p + Y)(l + P + Y) 2)Р(1) = 0. Таким образом, для того чтобы в системе существовал стационарный режим, необходимо, чтобы выполнялось условие >0: р.(2)| =^е_-2+-£-+ 1 1 + я2(/) 1 + р + у 1 + ар У р + у' Р р+у ар + я,(/-2)-1 + ар 1 + Р + У (2) (3) -1 1 1 + р + у Р + У* -1 Р + У 0 P + yz 1 + р+у 1 Z-Z +- 1 + ар (1 + ар)(1 + р+у) (4) >0. 2- 1+Р+У 1 (P + Y)(1 + P + y) 1 + ар 1 ар_ 1 + ар Обозначая p+Y = G, из (4) будем иметь условие для существования стационарного режима: p0, натурального числа /0 и набора неотрицательных чисел хк (/'), к = 0,2, 0, таких, что выполняются условия: 0 £ **2 ('2 ) * **1 (»| ). > 'о . J2 0 (5) 2) Z **2 ('2 ) < +*. »1 < 'о • JZ о Для применения этого следствия построим вложенную цепь Маркова по моментам, непосредственно следующим за моментом г„, т.е. за моментом изменения состояния k(t). Запишем вероятности переходов из состояния в состояние за один шаг: ^ял/ма =P{№n) = i2,k(t„) = ' 'Р:.оао'=К = P^dBCxy,р,-=г-тз- (6)о Все остальные вероятности переходов равны нулю. Запишем первую систему неравенств из (5) с учетом (6): х0 (/) - е 2:8х, (/)+(1 - 5)х, (/ -1), х, (/) - е £ (Vo (0 + Р2*2 («'+О + Р|*а 0 + 2), (7) )=о Будем искать решение системы в виде: xk(i) = Bk+Ai, (8) где положительные Вк и А не зависят от i. да Заметим, что ^ijaJ=Xai, (9) о где а\ - средняя длительность интервала оповещения о конфликте. Перепишем систему (7) с учетом (8) и (9): fi1-Mo-0-Po)52-e>(p2+2p1K B2-B0-e>XatA. (10) Умножим первое и второе неравенства системы (10) на 1/(2 + р,+р2), а третье - на (Р,+Р2)/ /(2+Р, +Р2) и просуммируем. Слагаемые с Вк сокращаются, и мы получаем неравенство Г-(1-5)+Рг+2Р1+Я.а1(Р1+рг)Ь (Ш 2 + Pi +Р2 J -(1-5) + рг+2р|+Х.а1(р,+р2) Если

Ключевые слова

Авторы

ФИООрганизацияДополнительноE-mail
Назаров Анатолий АндреевичТомский государственный университетпрофессор, доктор технических наук, зав. кафедрой теории вероятностей и математической статистики факультета прикладной математики и кибернетики
Шохор Сергей ЛьвовичТомский государственный университетаспирант кафедры теории вероятностей и математической статистики факультета прикладной математики и кибернетикиshokhor@mai12000.ru
Всего: 2

Ссылки

Флинт Д. Локальные сети ЭВМ. М.: Финансы и статистика, 1986.
Бертсекас Д., Галагер Р. Сети передачи данных. М.: Мир, 1989.
Назаров А.А., Юревич Н.М. Исследование явления бистабильности в сети с протоколом АЛОХА для конечного числа станций //Автоматика и телемеханика. 1996. № 9. С. 91-100.
Фалин Г.И. О неустойчивости сета АЛОХА //Проблемы передачи информации. 1990. № 1. С. 79-82.
Назаров А.А., Шохор С.Л. Сравнение асимптотической и допредельной моделей сети связи с динамическим протоколом случайного множественного доступа //Математическое моделирование и теория вероятностей. Томск: Изд-во «Пеленг». 1998. С. 233-242.
Климов Стохастические системы массового обслуживания.
 Стационарный режим в сети, управляемой динамическим протоколом доступа с оповещением о конфликте | Вестн. Том. гос. ун-та. 2000. № 271.

Стационарный режим в сети, управляемой динамическим протоколом доступа с оповещением о конфликте | Вестн. Том. гос. ун-та. 2000. № 271.

Полнотекстовая версия