Выделение тренда временного ряда сплайнами второго порядка дефекта два | Вестн. Том. гос. ун-та. 2000. № 271.

Выделение тренда временного ряда сплайнами второго порядка дефекта два

Рассматривается задача выделения тренда временного ряда, когда моменты измерений его значений образуют случайный поток событий и неизвестны. Для рассматриваемого случая получены рекуррентные алгоритмы оценки коэффициентов сплайна и исследованы их статистические свойства Получено выражение для средней интегральной погрешности выделения тренда.

The extraction of time series by quadratic splines gefect two.pdf Одна из задач анализа функционирования сложных ошибками измерений, внешними помехами и т.д. Для технических систем - выделение тренда телеметрируемых выделения тренда временного ряда производятся параметров, характеризующих состояние системы в неко- в некоторые моменты времени f,, /2,..., кото-торые дискретные моменты времени. Определяющими факторами при решении этой задачи являются: 1) выбор математической модели, описывающей тренд наблюдаемых значений случайного процесса; 2) задание схемы наблюдений, на основе анализа которых этот тренд выделяется. порядка fk (0 = ак + Ьк - + с„ Считается, что на каждом временном интервале отсчет времени ведётся от начала этого интервала. Эш полиномы должны быть «сшиты» на концах, т.е. конец (к -1) - го отрезка В работах по анализу временных рядов (например, [1,2]) рассматривается случай, когд а измерения значений случайного процесса производятся в моменгы времени, отстоящие на одинаковую величину друг от друга. В предлагаемой работе измерение значений наблюдаемого процесса производится в некоторые случайные моменгы времени, которые предполагаются неизвестными. Пусть имеется временной ряд y(t) = /(/) + и(/)> являющийся суммой некоторой детерминированной функции /(0, называемой трендом процесса y(t), и n(t) -случайной функцией, наличие которой обусловлено рые являются случайными величинами и образуют простейший поток событий с параметром X. Предполагается, что помехи измерений п, = n(tt), /' = 1, 2,... - независимые одинаково распределённые величины с нулевым математическим ожиданием и дисперсией а1. Относительно тренда предполагается, что он представляет собой сплайн второго порядка. В этом случае время наблюдения разбивается на интервалы одинаковой длины Т и на к-м интервале тренд представляется в виде полинома второго кривой должен быть началом к-то отрезка /t4 (Т) = = /к (0). В отличие от стучая, рассматриваемого в [3], в данной работе не требуется «сшивания» на границах интервалов разбиения первых производных. Предложенную модель тренда временного ряда будем называть сплайном второго порядка дефекта два. Для этой модели условие сшивания имеет вид Заменяя ak выражением (2), получим следующую рекуррентную систему соотношений, определяющую оценки коэффициентов сплайна на к-ои интервале: о к - К-1 +4-1 + Ск-\. л 4(Nk + \)QNk +4) . °к ---„ w-Г-ак-1 ~ 3N]+3Nk+2 ак = а{s,5'>)}, _ 1^^+^=3600^}+ +6400£>{? }- 9600 covjsf4, S } -14D„ -Iz)4 -|dc = 2880Z)[s,(*))+ +4800£>{S, Sl2k)} Разрешаем эту систему относительно Da, Db и Dc и подставляем в формулу для средней интегральной погрешности ш которая для стационарного режима принимает вид усредняя уравнение (1), имеем ак = ак_х +Ьк_х +ск_х. В стационарном случае все эти величины не должны зависеть от номера к. Тогда из последнего уравнения следует, что + ск = 0, а величина сГк может быть произвольной. Записывая (1) в виде ак --ак_х = Ьк_х +ск_х, возводя его в квадрат и усредняя, получим (ак -ак_х)2 = (Ьк_х + ск_х)2. Если обозначить (ак -ак_х)2 через V, то в силу стационарности сплайна эта величина не зависит от к. Заме- I1! 1 то при тим, что это тот же самый параметр (хк - хк_1)2, что и для линейных сплайнов первого порядка [3]. 1 Так как М XT (XT)2 (XT)1 IJVJL 9 ' 12 ь 20 cj _ . f 1 1Г107 ту 23 г- 53 - , ,1 D = A/^ - W-bt+-bkck +-c: +3ctj . или {N /^840 * «4 * * 31S J Отметим, что если считать исходный трена стационарным случайным процессом, то ij, bkck и с2к не являются независимыми величинами. Действительно, ЯТ» 1 окончательно имеем Ds - [o,16F+3ctj1. XT1 J Из полученной формулы имеем, что средняя интегральная погрешность выделения тренда отлична от kytoi прй отсутствии Помех измерений. Это обусловлено тем, что моменты измерений являются случайными величинами и вносят дополнительную погрешность в измеренные значения временного ряда.

Ключевые слова

Авторы

ФИООрганизацияДополнительноE-mail
Тривоженко Борис ЕфимовичТомский государственный университетдоцент, кандидат физико-математических наук, докторант факультета прикладной математики и кибернетики
Всего: 1

Ссылки

Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов. М.: Мир, 1976. 755 с.
Кендалл М.Д., Стьюарт А. Многомерный статистический анализ и временные ряды. М.: Наука, 1976. 736 с.
Триеоженко Б.Е. Выделение трендов временных рядов и потоков событий. Томск: Изд-во ТГУ, 1989. 285 с.
 Выделение тренда временного ряда сплайнами второго порядка дефекта два | Вестн. Том. гос. ун-та. 2000. № 271.

Выделение тренда временного ряда сплайнами второго порядка дефекта два | Вестн. Том. гос. ун-та. 2000. № 271.

Полнотекстовая версия