Асимптотические свойства МНК-оценок параметров гиперболического тренда интенсивности пуассоновского потока | Вестн. Том. гос. ун-та. 2000. № 271.

Асимптотические свойства МНК-оценок параметров гиперболического тренда интенсивности пуассоновского потока

Получены уравнения для МНК-оценок параметров гиперболического тренда пуассоновского потока. Исследованы их статистические свойства. Показано, что эти оценки являются несмещенными. Получены выражения для подтверждения эффективности МНК-оценок параметров и эффективности МНК-оценки гиперболического тренда.

Asymptotic properties of least squares estimations of hyperbolic trend's parameters of poisson's strem's intensity.pdf Пуассоновский поток событий является простейшим дня изучения, поскольку его свойства полностью описываются единственной функцией - его интенсивностью Л(1) [1]. В нестационарном потоке сохраняются основные свойства, делающие его изучение лёгким, - независимость событий и ординарность, г Обозначим jX(u)du через А(/). Тогда вероятность о того, что на интервале наступит / событий, будет Л = £[л(,2)-л(ф>'>-л4 (О а вероятность того, что на бесконечно малом интервале + Л] наступит одно событие, равна X(t)dt. Будем предполагать, что интенсивность пуассоновского потока описывается функцией А(0- 1 (2) a + bt Такой вид зависимости интенсивности от t соответствует линейному тренду средней длительности интервалов между двумя последующими событиями в нестационарном пуассоновском потоке. По наблюдениям моментов наступления событий t, +2e-» +B«-e->f Ь 3 Ъъ NV. 1 ъь FaaFhb ~ Fal 2 » F F - F raabb ab NK О». _ (22) F F - F2 гаагЬЬ ab Приступим теперь к нахождению основной характеристики выделения тренда - интегральной погрешности. Интегральную погрешность D для N -планов будем определять по формуле Эта формула для интегральной погрешности позволяет сравнивать между собой различные методы оценок параметров а и b гиперболического тренда пуас ооновского потока. Минимальную интегральную погрешность выделения тренда дают оценки по методу максимального правдоподобия (МП-оценки). Запишем (25) для МП-оценок: D = А/{- f , (23) \a + bt/N a+bt/N, Представляя оценки Л и В в виде й-а + Аа, B = b + Ab, где а и b - истинные значения параметров, можем записать 1 _1_= й + Bt/N а + Ы/ N + (Aa + Abt/N)~ 1 f Aa + Abt/N t > a + bt/N I a + bt/N Ограничиваясь в полученном соотношении линейными слагаемыми относительно Да и Ab, имеем 1 1 {a + bt/N a+bt/N, Да2 +2AaAbt/N + Ab2t2 IN2 (a + bt/N)4 1 1 М\ ^Q + Bt/N a + bt/NJ J = D{a} + 2 cov(a,B)t / N + D{B}t2 / N2 (a + bt/N)* При Noo величину tN в пределе интеграла можно заменить её математическим ожиданием M{tN} = N^(e"-\). Поэтому b -Т4 bt/N) J 1 Рьь- (27) ЪЬ1 где F^, Fab, Fu определяются вьфажениями (21). Для МНК-оценок формула интегральной погрешности 1-е М»Ч>мис=-Г е - 1 1 - Зе'2Ь + 2е~3* (1-е-*)3 ' * --■» Jab + Jb 3b2 Ja° зь3 J° ' (28) где функции fa, fab, fb определяются формулами (11). Выражения для интегральной погрешности позволяют записать наряду с эффективностями МНК-оценок параметров а и b 1 ъъ (29) (30) eff= °Мп D eff = fa\.Fa,Fbb ~ Fab ] eff* = fb\.FaaFbb 'Fab 1 эффективность МНК-оценок гиперболического тренда 1 (b2(\-e-,b)Fbb-(\-3e-2h + F F -F2 аа bb ab Мнж + 2 e-u)F+ +0-е-ьуРш)/(Ь2(\~е-и)/а + 1-е-3* 3 Ь 1 Na2 D„n = мп еъ-\ FmFu-F^ l-3e-u+2e-M (1-е-*)3 - Н--гг;зь ■и ЗЬ + Z>(l-3«r"+2 е-^ + О-е"*)3/*). (31) Из приведённых на рис. 1 графиков зависимости effa, eff4, eff от b следует, что эффективность МНК-оценки параметра а достаточно высока. При -0,9 < 6 < 1,5 эффективность не менее 0,9. Эффективность параметра b несколько ниже, чем эффективность параметра а. Так, значения 0,9 она достигает при 0,6 < b < 1,7, а при увеличении или уменьшении b эффективность МНК-оценки параметра Ь, как и параметра а, убывает. Эффективность МНК-оценки тренда достигает своего наибольшего значения 0,91 при Ъ- 1,4, а с уменьшением или увеличением Ъ она убывает.

Ключевые слова

Авторы

ФИООрганизацияДополнительноE-mail
Тривоженко Борис ЕфимовичТомский государственный университетдоцент, кандидат физико-математических наук, докторант факультета прикладной математики и кибернетики
Всего: 1

Ссылки

Кокс Д., Льюис П. Статистический анализ последовательностей событий. М.: Мир, 1969. 312 с.
Тривоженко Б.Е. Асимптотические свойства моментов наступления событий нестационарного пуассоновского потока // Математическое моделирование. Кибернетика. Информатика. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1999. С. 140-150.
Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной. М.: Наука, 1979.319 с.
 Асимптотические свойства МНК-оценок параметров гиперболического тренда интенсивности пуассоновского потока | Вестн. Том. гос. ун-та. 2000. № 271.

Асимптотические свойства МНК-оценок параметров гиперболического тренда интенсивности пуассоновского потока | Вестн. Том. гос. ун-та. 2000. № 271.

Полнотекстовая версия