Оценка параметров модели изменения цен Самуэльсона по «японским свечкам» | Вестн. Том. гос. ун-та. 2000. № 271.

Оценка параметров модели изменения цен Самуэльсона по «японским свечкам»

Находятся и исследуются оценки параметра тренда и волатильности процесса изменения цены финансового актива в модели изменения цен Самуэльсона по ценам открытия и закрытия, а также по максимальной и минимальной цене за период торговой сессии.

Estimation of the parameters of the Samuelson model of variation of the price using the «Japanese candlesticks».pdf Введение Технические методы анализа фондового и финансового рынков получили в настоящее время очень широкое распространение. Наряду с методами, имеющими теоретическое обоснование (например, метод скользящего среднего, метод осцилляторов), имеется целый ряд методов, для которых техническое обоснование отсутствует. К таким методам относится и популярный метод «японских свечек». Несмотря на то, что этому методу посвящены монографии [1, 2], авторам не удалось найти в научной литературе каких-либо теоретических обоснований этого метода. В работе [3] авторами получены точные распределения вероятностей для некоторых величин, характеризующих эти «свечки». В данной работе на основании [3] строятся и исследуются оценки параметров модели изменения цен Саму-эльсона и подтверждаются результаты, содержащиеся в [3]. Описание модели Аз А,. Так как якобиан перехода ^ = 2, то плотность вероятностей величин Я и А имеет вид: «японских свечек», в которых значения А^ и А, были Пусть торговая сессия начинается в момент времени (h^, Ar0); h^, At(2);..., h^, ). Для сокращения t = О й заканчивается в момент времени t = Г. Цену дальнейших выкладок обозначим Я * 2Ати - АТ, финансового актива в момент времени t обозначим как S,. Величинами, определяющими «японскую свечку», являются следующие: S0 - цена открытия; S, - цена закрытия; S^ = max S, - максимальная цена за перио s/sr • (4) од сессии; S^ = min S, -минимальная цена за период os/sr сессии. Для теоретического исследования перейдем от А™, .таккак А0 =0. Выпишем область, в которой она определена. процесса S, к процессу А, =1п(S,/S0). Тогда «япон- Заметим, что А меняется в пределах -оо А, к Я > Ат. ЭТй два ус-что процесс А, является диффузионным случайным ловия можно объединить в одно и записать Я> £|At|. Таким образом, p(H,h) определена в области -оо л) = ~7== ехР V2 пит з»-з ехр •wTf-r) Зл-1 3 л -т, 1 " Ц 2 "й-5* (16) откуда видно, что полученнае оценка является смещенной. Чтобы оценка т параметра т была несмещенной, ее следует взять в виде ч 2 " Т = - Зл-1 Зл-1 1 (17) i=| "V'-i / цтл , (l + 2т s)T 2 г N ЦТ 5 т (13) xexpl /со ---to 1 + 2™ 2(1 + 2tj) 1 + 2тS; Обратное преобразование Фурье по переменной 6(s,h)= со дает (1 + 2ъу) 2 V2nm (А -цт/?)2 h2s" 2хп л хехр Найдем обратное преобразование Лапласа и получим плотность вероятностей величин Р и А: ift'X (Зл + 1)(Зл-1) г Зи + 1 2 Так как Л/{т} = -- ,,--г = ---х, то Зл-1 (Зл-1) D{i} = (18) Перейдем к оценке ц параметра ц, которая в новых переменных имеет вид ц = ЗА /т|. Для нее имеем мЩ- ЗМ {и}М= -ц, (19) откуда видно, что оценка также смещена. Скорректированная оценка ц параметра ц 2т2 Зл-1' „ ,л-1 А „ л-1 ц = 3--= 3 " Л я « , У 5я'"М г (а-цт,)2 1 (20) p{P,h)= гехр V2 2тл пт является уже несмещенной оценкой. Далее т| = (х->/бл+3л)г, (26) (27) Зл-З 2 Зл-З 1 -Ц +-7- Зл-5 п{3п-5)х (21) так что Наконец, так как _)f.i_2_ 2 Зл-З 1 Зи - 5 ^ + и(3л - 5) х Для этого перехода 1 (r^+3 т) (28) й* дуЗ/п Рассмотрим сначала сомножитель, зависящий только от т| в выражении для p(h, ti) . После умножения на дг| /дх /, = т Тбй - 2 (22) то COV ЦТ. ~2х (29) Зл-1 Отсюда видно, что оценки ц и х коррелированны с коэффициентом корреляции г(А,*)=-- 2ц corn ,(23) з^ 2 + зМ(зМ1 Зл-5 л(3л - 5) т который при п-¥ оо сходится к предельному значению corriц,х) =-==J==. (24) 1 а 2ц т Сходимость оценок почти наверное Заметим, что А, есть независимые одинаково распределенные случайные величины, так же как и Н,. Поэтому, по теореме Хинчина, при л-»оо почти наверное 1Ь, = HV-iИ? м{н?}= hV + Зх. п П ,.1 Логарифмируя и подставляя вместо Г| его выражение через х, получим 1п/2 =bT + iln(6w)+^^-^ln(xTV6n+3«r)- 2т Далее имеем ^zl ln(rr Jto + 3m) = ^zl 1п(з«т)+ г Зл-З. +-In ln(3m)+ \ Зп-З ку[бп\ Зп-З 1 + Зп ху[бп X 6п ~3л У + Поэтому ln/2=Iln(6W)+^lln(3,)-l^lln(2)- Представляя оценку х = Зл-1 мы видим, что при п оо имеет место сходимость почти наверное х-. Аналогично, представляя 1 " я 1 п^Н' и-1_П_Ы1_ п 1 Л 1 Л £= 3 п ^Л ,=1 оо имеет место сходимость повидим, что при л чти наверное р. -'■ Асимптотическая нормальность оценок Докажем, что построенные нами оценки являются асимптотическими нормальными. Имея в виду их несмещенность и выражения для дисперсий, перейдем к их величинам (25) х = 13л JV 2х2 х>/бл V 2 ' уЛз~-\Х[п, I Л ) так что . Зп-З, Зп-1, In х +-In х--In х 2 2 Зп-З х2 6п x-Jfai -х>/6и- 2-Зл 2 2 9л2 2 Слагаемые, содержащие х, сокращаются. Группа слагаемых, содержащая х, при л оо стремится к - х2/2 . Наконец, используя асимптотическое выражение для , можно показать, что пер- V. 2 вая группа слагаемых, зависящая только от л, при л -> оо стремится к -1пл/2я . Поэтому при Л оо 1п/2 --In Ля, /2 ->-р^е"*2'2. (30) 2 >/2я Рассмотрим теперь предельный переход в том сомножителе p(h,y\), который зависит лишь от А. Умноженный на dh/dy он имеет вид П /=1 \,ПМ ) _ {2)2 . Хл/бл+Злх /, =--х яхл ( 1 2т + ц |(д:л/бй + Зл)х - лцх W" ) V 3VW2 г\ (31) 129 1 „ ,. х4бп + 3т т Но lim _-_ и lim Unyjlnm -Jin 2m W" так что lim / ц'х' + - хуц-Уб (32) з -ir-Hli Объединяя все, получаем, что для плотности вероятностей р(х, у) величин (х,.у) в пределе л-»«> lim р(х,у) = -?~х я-w. 2я />{z{z>C2(/,a)} = |. (36) как стью (1-2а) С, (/, а) £ (3л -1)- ^ С2 (/, а), откуда т получается доверительный интервал для параметра т: (37) « Зл-1 ^ . Зл-1 Т-7-ч ^Т /бй + 3и)т-ицт]2 =-U2+-xypV6«+-p2xJ)i дены> например, из таблиц. Тогда с вероятностью ^ 2^3 3 (1-а) верно неравенство C,(/,a)< z< С2(/,а). Так т = Г| /(Зп -1) и z = - = (Зи -1) -, то с вероятно- При больших т| можно воспользоваться норма-(33) льной аппроксимацией; тогда доверительный интервал для параметра -с можно найти следующим обf \г х2 + jXypV6t + ^*T -ц2т + 1 3 хехр чго говорит об асимптотической нормальности величин разом: определить ga как решение уравнения х, у и об асимптотической нормальности оценок т и ц. Отметим еще, что для ковариационной матрицы R величин х и у при п -» да имеем 4= dx~ -. v^i 2 (38) ' -4 [2 2 2 1 I" + т. т-т 2 г . >/б -ц Т + 1 -ЦТ 3 3 Тогда с вероятностью ((1-а) ^ ga> откуда ,R = R = Я -ЦТ получаем доверительный интервал для т: (39) что полностью соответствует ковариации и дисперсиям оценок т и £. Доверительные интервалы для неизвестных параметров 2 2 П 3 т При нахождении доверительного интервала для параметра р можно воспользоваться нормальной Рассмотрим вопрос о доверительных границах для не- аппроксимацией. Так как при и »1 1 (40) известных параметров. Проще всего это сделать для параметра т. Величина г=тут имеет плотность вероятностей зж-1 , 1 + S, и имеет место сходимость оценок почти наверное, то доверительный интервал для параметра ц имеет вид 2 J т.е. г имеет % распределение с числом степеней свободы / = Зп -1. Пусть а есть доверительный уровень. Найдем шенно аналогичны полученным выше. С,(/,а) и С2(/, а) из условия

Ключевые слова

Авторы

ФИООрганизацияДополнительноE-mail
Валеев Рустам ТагировичТомский государственный университетаспирант факультета прикладной математики и кибернетикиrustam76@mail.ru
Терпугов Александр ФёдоровичТомский государственный университетпрофессор, доктор физико-математических наук, заслуженный деятель науки РФ, профессор кафедры прикладной информатики факультета информатикиterpugov@fpmk.tsu.tomsk.su
Всего: 2

Ссылки

S. Nison. Japanese candlestick charting techniques // New York: Institute of Finance, 1991. 315 p.
S. Nison. Beyond candlesticks // New York: John Wiley, 1994.280 p.
Валеев P.Т., Терпугов А.Ф. I/ Изв. вузов. Физика. 2000. № 4.
Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Том I. Факты и модели. М.: Фазис, 1998.489 с.
 Оценка параметров модели изменения цен Самуэльсона по «японским свечкам» | Вестн. Том. гос. ун-та. 2000. № 271.

Оценка параметров модели изменения цен Самуэльсона по «японским свечкам» | Вестн. Том. гос. ун-та. 2000. № 271.

Полнотекстовая версия