Европейский опцион с рисковыми ценными бумагами двух типов в случае дискретного времени | Вестн. Том. гос. ун-та. 2000. № 271.

Европейский опцион с рисковыми ценными бумагами двух типов в случае дискретного времени

В работе осуществлен расчет стоимости опциона, портфеля и капитала для дискретного (В, 8)-рынка ценных бумаг в случае рисковых активов двух типов. Проведено исследование свойств портфеля в общем случае и конкретизация результатов для стандартного Европейского опциона.

Discrete-time European option with two types risky security.pdf 1.Постановка задачи Рассмотрим финансовый (В,Б)-рынок [1-3], в котором обращаются ценные бумаги двух типов: безрисковые (облигации) и рисковые (акции). Предположим, что на рынке обращаются два типа акций. Пусть (Во, Вь..., В„) и (Sl,S\,...,S\), (Sl,S*,...,Sl) - эволюции иен соответственно облигаций и акций двух различных типов в промежутке времени [0, N], Предполагается, что В„ = Р> s L = ,n = 0,...,N, где р>\ д " о, ->„+!> „2 Вп Sn S« - некоторая постоянная, а величины и могут соответственно принимать только два значения: и d2,u2. Пусть и, > 1 - сдвиг цены акции вверх от текущей цены, a d, < 1 - сдвиг вниз, f=l, 2. В рамках использовавшихся обозначений цена акции в момент п+1 может быть S'n+] =S'„u,, либо = S'„dr Будем предполагать, что u, >р> dt. Это необходимо для предотвращения арбитража. Мы имеем единственную траекторию возрастания цены облигации (BQ,B0р,...,BapN) и 2" возможных эволюций цены каждого типа акций СS'0,S'0..........М, 2. Важно отметить, что мы не задаем, как в [2, 3], никакой вероятностной меры на множестве траекторий {(S^, т.е. приро да процесса изменения цен может быть любой. 134 Обладая капиталом Х„ в момент времени я, мы можем распределить его между бумагами указанных типов Пусть Р„ и y[,yl - соответственно количество облигаций и-акций разных таге», суммарная стоимость которых равна х„=/?Ивя+уХ+гЖ. (1) Определение. Тройку (P„,yJ,,yf,) называют портфелем ценных бумаг или просто портфелем. В следующий момент времени цена этого портфеля становится равной л я+1 я+1 я+1 * (2) Можно перераспределить этот капитал, образовав новый портфель (P„+i,yLuY»+i)- Соблюдая условие самофи- 2 Sl нансирования Jf„+1=p „+1В„+) в следующий момент времени получаем капитал Х11+2 = = P„t|Sn,i+YLi^2+r?,+15„I+2. Формирования капитала повторяется аналогичным образом. Цель игры на финансовом рынке - достижение неравенства X N S £ / (S\,S\ > -X . Sl, 5,2.....Sl ), где N - срок действия опциона; /(•) - функция выплат. Продавец опциона, взимая за него определенную плату в начальный момент времени, обязуется в момент предъявления выплатить сумму, не меньшую f(S\,S\.....S^,52,S2,...,££). Чтобы обеспечил, эту выплату, он должен играть, меняя содержание портфеля в зависимости от эволюции цен Определение. Справедливой ценой опциона называется минимальный начальный капитал Х0 = CN, который позволяет продавцу добиться тождества XN а / (S{,, S\,..., ,S„ ,5,2.....Si X если он следует оптимальной стратегии игры. Задача состоит в том, чтобы сделать расчет справедливой цены Европейского опциона с рисковыми ценными бумагами двух типов, оптимального портфеля ценных бумаг и капитала для этой модели, исследовать свойства этого портфеля и конкретизировать результаты для стандартного Европейского опциона. 2. Расчет портфеля, капитала и справедливой цены опциона В качестве функции выплат будем рассматривать аддитивную функцию вида /(.)=/($;,s2)=/4s;)+/2(sj). (з) Лемма. Для того, чтобы обеспечить равенство X„=f(Sj„Sl), (4) необходимо в предшествующий момент иметь капитал = р"' (/>/' )+dr ~ , (SM-K2y_ bm-p) N-j =0, 0 -P)dx -P т.к. u,p + dtq = ut чаем (46). Пусть функция /' (•) вогнутая, /' (0) =0. Тогда, согласно (32), также вогнутая, (0)=0 и, следовательно, с учетом (32) аналогично (43) можно получить d,fUS\ux)uJlx(S\d,). (52) Дальнейшее доказательство (47) повторяет доказательство (46). Из (51) следует (44). Теорема 2 доказана 4. Стандартный Европейский опцион Теорема 3. Пусть на (В, 5)-рынке для модели с двумя рисковыми активами рассматривается опцион купли Европейского типа с функцией выплаты P~d | ux-di + d, = p, т.е. полу (SW-K.y (59) (60) (61) и, p = p-. P Обозначим ~ Mi d. Из(60)следует: l-p = \-p - = - (\-p). P P Используя (55), (60), (61) в (59), получим C„ = X0 =S]0BUo ,N; p )- K{p-"B(j0,N-,p)+ (S*u?-K3r т.е. (54) доказана, a (56) следует непосредственно из (58). Теорема 3 доказана.

Ключевые слова

Авторы

ФИООрганизацияДополнительноE-mail
Демин Николай СерапионовичТомский государственный университетпрофессор, доктор физико-математических наук, профессор кафедры прикладной математики факультета прикладной математики и кибернетикиsev@vmm.tsu.ru
Шиширин Михаил ЮрьевичТомский государственный университетаспирант кафедры прикладной математики факультета прикладной математики и кибернетикиshmih@mail.ra
Всего: 2

Ссылки

Нагаев А. В К вопросу о вычислении справедливой цены опциона// Экономико-математические методы. 1998. Т. 34. № 1.С. 166-171.
Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Т. 1,2. М.: Фазис, 1998.
Ширяев А.Н., Кабанов Ю.М., Крамков Д.О., Мельников А.В. К теории расчетов опционов Европейского и Американского типов // Теория вероятностей и ее применения. 1994. Т. 39. Вып. 1. С. 23-79.
 Европейский опцион с рисковыми ценными бумагами двух типов в случае дискретного времени | Вестн. Том. гос. ун-та. 2000. № 271.

Европейский опцион с рисковыми ценными бумагами двух типов в случае дискретного времени | Вестн. Том. гос. ун-та. 2000. № 271.

Полнотекстовая версия