Математическая модель управления запасами при случайном сезонном спросе и ненадежных поставщиках | Вестн. Том. гос. ун-та. 2000. № 271.

Математическая модель управления запасами при случайном сезонном спросе и ненадежных поставщиках

На примере торговой деятельности посреднической фирмы строится модель управления запасами и осуществляется поиск оптимальной стратегии поведения, гарантирующей фирме получение наибольшей прибыли при заданном уровне обслуживания, учитывая все особенности ее потребителей, поставщиков и рынка, на котором она работает. Рассматриваемая система управления запасами является стохастической системой с периодическим контролем уровня запасов, случайным нестационарным спросом и поставками, распределение которых зависит от величины поданного заказа • соответствующий источник пополнения запаса. В работе представлены результаты численного исследования предложенной авторами модели. Показано, что найденная на базе построенной модели оптимальная стратегия управления запасами является более эффективной по сравнению с существующей на фирме.

A mathematical inventory model with random seasonal demand and unreliable suppliers.pdf Введение Проблема управления запасами является одной из наиболее важных в организационном управлении. Но, как правило, не существует типовых решений - условия на каждом предприятии или фирме уникальны и включают множество ограничений и различных особенностей. С этим связаны и проблемы, возникающие при разработке математической модели и определении оптимальной стратегии управления запасами. В данной работе на примере фирмы, которая занимается завозами каменного угля в районы Томской области, строится модель управления запасами угля и осуществляется поиск оптимальной стратегии поведения, гарантирующей фирме получение наибольшей прибыли, учитывая все особенности ее потребителей, поставщиков и рынка, на котором она работает. В разд. 1 исследуется структура формирования запасов рассматриваемой фирмы, что позволяет установить характер данной системы управления запасами. В разд. 2 приводится общая схема построения оптимизационной модели для нахождения оптимальной стратегии управления запасами с точки зрения получения минимума общих ожидаемых затрат за весь период планирования запасов и достижения желаемого уровня обслуживания потребителей. При этом учитывается существующий ряд ограничений на объемы оформляемых заказов, которые связаны с возможностями и надежностью поставщиков, спецификой транспортировки груза, пропускной способностью речного порта и объемом площадки, арендуемой у речного порта, для хранения угля. В разд. 3 проводится анализ решения, полученного посредством модели, описанной в разд. 2. Исследуя построенные оптимальные стратегии управления запасами для различных уровней запаса на начало периода планирования, удается выявить ряд закономерностей относительно полученного в результате текущего уровня запасов на складе и сопряженного с ним уровня обслуживания потребителей. 1. Структура формирования запасов на фирме Фирма должна разработать календарную программу формирования запасов угля на предстоящий период планирования. В качестве критерия оптимальности управления, т.е. выбора размера заказа, используются полные ожидаемые издержки в течение всего периода планирования. Перечислим особенности структуры управления запасами на фирме. 1. Фирма осуществляет периодический контроль за уровнем запасов и ежемесячно пополняет свои запасы, оформляя заявку на поставку угля, размер которой зависит от уровня запасов на начало текущего месяца, предполагаемой величины суммарного спроса до конца периода планирования и ожидаемой величины поставки. 2. Величина реального спроса становится известной только после оформления заказа на поставку угля. Этот спрос по возможности удовлетворяется за счет созданных запасов, при дефиците неудовлетворенный спрос откладывается и удовлетворяется за счет последующих поставок. 3. Фирма имеет несколько постоянных источников пополнения запасов. При планировании заказов по предприятиям-поставщикам необходимо учитывать реальные возможности и надежность каждого поставщика. Руководствуясь накопленным опытом, желательно делать заказ больше, чем предположительно требуется угля на самом деле, так как велика вероятность того, что кто-нибудь из поставщиков сорвет сделку. К тому же всегда может появиться «неожиданный клиент», который не сделал запасов угля на зиму. 4. Поставки по каждому заказу, независимо от предприятия-поставщика, осуществляются в течение месяца по предварительной договоренности о сроках поставки с каждым поставщиком. 5. Стоимость одной тонны угля не зависит от предприятия-поставщика и включает в себя транспортные расходы, связанные с перевозкой груза по железной дороге. Стоимость одного вагона угля рассчитывается из предположения его полной загрузки, т.е. фирме невыгодно оформлять заказ на неполный вагон, так как это автоматически увеличивает стоимость единицы угля. 6. Делая заказ на поставку угля, фирма должна учитывать пропускную способность железной дороги, объем площадки в речном порту, которая арендуется фирмой для хранения угля, и суточную способность речного порта к принятию груза, так как в случае несвоевременной разгрузки вагонов фирма платит железной дороге довольно большой штраф за простой вагонов. Цепь фирмы - разработать стратегию управления запасами, при которой минимизируется общая сумма ожидаемых затрат, связанных с поступлением угля в речной порт, омертвлением капитала в запасах и штрафом за отложенный спрос, а спрос удовлетворяется в соответствии с принятым уровнем обслуживания потребителей. 2. Построение математической модели оптимального управления запасами 2.1. Построение целевой функции Для преобразования качественного описания модели в математическую модель введем обозначения: '/ - уровень запаса на начало отрезка t, который может принимать отрицательные значения при наличии отложенного спроса; у, - нестационарная неотрицательная дискретная случайная величина, характеризующая спрос на уголь на отрезке ,(*) . к=О В [1] предполагается, что случайные величины у, независимы и стационарны. Поскольку в рассматриваемом случае спрос является нестационарным, с ярко выраженными сезонными колебаниями и, вообще говоря, зависимым, будем строить стратегию управления на основе прогнозных значений спроса у,. Известно, что любая поставка, независимо от предприятия-поставщика, имеет двухуровневую структуру и осуществляется по принципу: «все (с вероятностью р) или ничего (с вероятностью 1-р)», тогда структура условного распределения случайной величины Х,(») для V к = \,п имеет следующий вид: Vf-Гг VA=I^T />(*(*)!Х,(*))= = Р{ХД*> = хСО IХД*)} = | f (О где вероятность />(*) характеризует надежность А-го поставщика. 142 (1) тогда L,(/, | X,) = | X,) £,(/;, х,). х,еХ,(х,) В принятых обозначениях целевая функция име ет вид ■ а. т min 2А(/, | X,), где i^el,. (2) 2.2. Построение допустимой области А Рассмотрим ограничения на вектор заказов X, = = [х,(*)]*=1, поданных в период t, и объем запасов i,. Для построения допустимой области заказов введем ряд обозначений. Пусть W - объем склада; V - емкость железнодорожного вагона; Р/- пропускная способность порта в период Г, СО - желаемый уровень обслуживания (отношение удовлетворенного спроса к предъявленному). Зададим возможности поставщиков вектором R = [/■(.) /-(г)../•(»)]*, где /•(*) характеризует величину заказа, которую реально способен удовлетворить £-й поставщик за один период Согласно перечисленным выше характерным особенностям системы управления запасами рассматриваемой фирмы, область допустимых решений можно представить как Х,={х = [х(.) Х(2)...Х(„)]7: Х = oJ и задача (2) сводится к нахождению на каждом шаге планирования запасов неотрицательного целочисленного вектора и имеет следующий вид: min £L((i, |Х, =ч,У),где X, eXt, i, el,. Пространства Q, и I, представлены формулами (3), (4). (3) 1 Q, ={ q>0: q = [q6) q(2>...q(n>]T, где Vk = 1, n q(*) - целые, q(*) £ ^^; причем если max •{О, iT} + 5, T A I Ук-i, k=t > min W-i,+y, + X, то т . . I yk~h k=! ]£q(*) = min где 1 |0,t = l,T-l' (4) .еслиу, -/, кратно V \v, = pf в противном случае ' * ' Назовем поведением набор функций {Х,,Х2,...,ХТ},Х, =Xj:X, еX,V/ = 1Д, определяющих для вектора заказов, который необходимо сформировать на f-м шаге, если имеющийся уровень запасов равен i Каждому поведению будет соответствовать определенное математическое ожидание суммарных издержек для процесса планирования заказов. Оптимальная линия поведения {х„х2,...,хт}*, V/=ITT, X, =[Х*(*)]41:Х,€Х должна удовлетворять условию минимума полных ожидаемых издержек за весь период планирования: #А Л Л * Т {х„х2,...,хт} =argmmXL,(',|x,). (5) /-1 где I, известен к началу процесса планирования запасов, a i, определяется рекуррентным соотношением: 'f+i ='« = 2.3. Определение оптимальной стратегии Введем последовательность функций {Ф ,(/)}„, т, где Ф, (0 характеризует полные ожидаемые издержки за период, оставшийся до конца процесса планирования заказов, включая текущий период t, при условии, что осталось Т-Ч шагов, начальный уровень запасов в текущем периоде t равен i, а при планировании используется оптимальная стратегия. На основании принципа оптимума Беллмана [2], рекуррентное соотношение динамического программирования для нахождения оптимальной стратегии, которая минимизирует построенную целевую функцию, будет следующим: ф,(0= min (Lt(/|X,) + + z p Я )Ф,+.('\|>Л*)-*,)}, где / = ГТ,Х, е X,j е I,,Фт+1 (/') = ОV/ е Iт+,. Используя преобразование (1), получаем: ФДО = min £ />(*,| X,)U(u) + q'eQ, л;еХ,

Ключевые слова

Авторы

ФИООрганизацияДополнительноE-mail
Домбровский Владимир ВалентиновичТомский государственный университетпрофессор, доктор технических наук, заведующий кафедры математических методов в экономике экономического факультетаdjmdrovs@ef.tsu.ru
Чаусова Елена ВладимировнаТомский государственный университетаспирант кафедры прикладной математики факультета прикладной математики и кибернетики
Всего: 2

Ссылки

Первозванский А.А. Математические модели в управлении производством. М.: Наука, 1975.
Беллман Р. Динамическое программирование. М.: ИЛ, 1960.
Глинский В.В., Ионин В.Г. Статистический анализ. М.: Филинь, 1998.
 Математическая модель управления запасами при случайном сезонном спросе и ненадежных поставщиках | Вестн. Том. гос. ун-та. 2000. № 271.

Математическая модель управления запасами при случайном сезонном спросе и ненадежных поставщиках | Вестн. Том. гос. ун-та. 2000. № 271.

Полнотекстовая версия