Оценивание опционов европейского типа с учетом коррелированности приращений цен | Вестн. Том. гос. ун-та. 2000. № 271.

Оценивание опционов европейского типа с учетом коррелированности приращений цен

Показывается, что формула Блэка-Шоулса для справедливой цены опционов европейского типа верна для более общей модели изменения пены; нежели моделв Самуэльсона.

Pricing of the options of European type with account of the correlation of the price increase.pdf Нахождение справедливой цены производных ценных бумаг является одной из основных проблем финансовой математики. Начало этим исследованиям положила знаменитая статья Ф. Блэка и М. Шоулса [1], посвященная нахождению справедливой цены опционов европейского типа. Эта формула выведена для так называемой модели Самуэльсона [2]. Ниже показывается, что эта формула верна для более общей модели изменения цены, включающей в себя, как частный случай, модель Самуэльсона Описание модели изменения цены Пусть S, - цена финансового актива в момент времени t. Перейдем от процесса S, к процессу A,=ln(S,/S0). (1) Тогда в модели Самуэльсона считается, что процесс А, описывается стохастическим дифференци- _2 ' альным уравнением dh, = | ц - - \dt + adw,, где ц - коэффициент тренда, а - коэффициент волантиль-ности, aw,- стандартный винеровский процесс. Более общей моделью процесса h, является модель dh, = a(h,,t)dt + о dw„ (2) учтываюшая, что коэффициент сноса a(h,,t) также может зависеть от А,, и приводящая к коррелированности ст2 значений процесса А,. При a(h,, t)=ц -- она переходит в модель Самуэльсона. Вывод уравнения для цены актива через самофинансируемый портфель Пусть имеется безрисковый актив с процентной ставкой г, так что если через В, обозначить цену этого актива в момент времени t, то имеет место соотношение dB, = rB,dt. (3) Сформируем портфель, (Р,,уД состоящий в момент времени t из Р, безрисковых активов и у, рисковых ценных бумаг. Стоимость рисковых ценных бумаг в момент времени t равна П,= РД+уЛ^- (4) Пусть V(h,, г) - стоимость производной ценной бумаги (опциона, фьючерса) в момент времени t. Потребуем, чтобы стоимость нашего портфеля полностью повторяла стоимость производной ценной бумаги, т.е. чтобы для любых моментов времени / выполнялось соотношение Я,=К(А„/>, dn,=dV{h„t). (5) Кроме того, будем рассматривать лишь самофинансируемые портфели, когда верно соотношение (6) dp ,B,+di,Saeh' =0. Используя формулу Ито, получим ' dt dh, 2 8h? dt + a-dwr (7) dh, dV dV t, ч ct2 d*V - +-a\h.,t)+--rdt dh, 2 dh2 Для портфеля, используя формулу Ито, получим

Ключевые слова

Авторы

ФИООрганизацияДополнительноE-mail
Калашникова Татьяна ВладимировнаТомский университет систем управления и радиоэлектроникикандидат технических наук, и.о. доцента кафедры высшей математики
Терпугов Александр ФёдоровичТомский государственный университетпрофессор, доктор физико-математических наук, заслуженный деятель науки РФ, профессор кафедры прикладной информатики факультета информатикиterpugov@fpmk.tsu.tomsk.su
Всего: 2

Ссылки

F. Black,, М. Scholes. The pricing of options and corporate liabilities//Journal of political economy. 1973. Vol. 81. № 3. P. 637-659.
Ширяев Л. H. Основы стохастической финансовой математики. Том I. Факты и модели. М.: Фазис, 1998. 489 с.
 Оценивание опционов европейского типа с учетом коррелированности приращений цен | Вестн. Том. гос. ун-та. 2000. № 271.

Оценивание опционов европейского типа с учетом коррелированности приращений цен | Вестн. Том. гос. ун-та. 2000. № 271.

Полнотекстовая версия