Авторегрессионная модель изменения цены финансовых активов со скачками в случайные моменты времени | Вестн. Том. гос. ун-та. 2000. № 271.

Авторегрессионная модель изменения цены финансовых активов со скачками в случайные моменты времени

Рассматривается авторегрессионная модель изменения цены финансовых активов с изменением цен в моменты сделок, образующих пуассоновский поток событий постоянной интенсивности. Находятся основные характеристики процесса изменения иены (среднее значение, дисперсия, функция корреляции) и показывается его асимптотическая нормальность.

Autoregression model of the variation of a financial asset price with jumps at random time moments.pdf Модели изменения цен финансовых активов в настоящий момент привлекают к себе очень большое внимание, так как они необходимы для прогнешфования цены актива, расчета стоимости вторичных ценных бумаг и тл Пусть S, есть цена актива в момент времени t. Тогда при построении модели изменения цены S, обычно переходят к процессу А, по формуле A,=ln(S,|S0), (1) где SQ- начальная цена актива (в момент времени t = 0). Дальнейшее развитие модели сводится к описанию процесса А,. Одной из наиболее часто используемых моделей процесса А, является авторегрессионная модель. В этом случае считается, что время меняется дискретно с интервалом At, так что tK = nAt. В случае авторегрессионной модели первого порядка значения К ~ 40 процесса А, удовлетворяют уравнению К = M + p(Vi + (2) где ц - среднее значение (тренд) процесса А„; р -коэффициент авторегрессии; а - волатильность; е„ считаются независимыми стандартными нормальными случайными величинами Ar(0,l). Однако в приложении к финансовому рынку такая модель не совсем адекватно отражает реальность. Дело в том, что цена актива изменяется и устанавливается в момент сделки, а моменты совершения сделок являются случайными. Представляется естественным считать, что изменения процесса А, происходят лишь в те случайные моменты времени, когда совершаются сделки. Именно эта модель и рассматривается в данной работе. Описание модели Будем считать, что момент совершения сделок ,t2.....tN являются случайными и образуют пуассоновский поток событий постоянной интенсивности к. 2 Пусть Ая = h(tn), т.е. значение процесса А, после со- Ц + ^ _ ^ вершения сделки в момент времени t„. Для А„ снова ' , возьмем модель (1): Л„ = ц + р(Ля_, -р)+ае„, но те- ны Яг имеем выражение D{Hr} = kT перь моменты tn будут случайными. ■> \ \2 У , так что для дисперсии величиг a2 N Ц + (1-РП Рассмотрим момент времени Г. Тогда на интерва- Функция корреляции процесса Нт ле [О, Г] было заключено N сделок в моменты времени п -г т/_ _и 1 1 Пусть Г и Г -два момента времени. Найдем явное tx,и.....tN. Число сделок N является случайной вели- , „л 12 N J выражение для функции корреляции R[T,T) процесса чиной, распределенной по закону Пуассона: ' P(N) = _ (кТ)" е_хг Нт, где R(T, Т') = cov(//r, Hf). Будем считать, что rv? U хг Т1 > Т и Я.(г'-г) »1. Тогда Нт Нт, = УУ>,Д Обозначим Нт = 2,ля , где число слагаемых N слу- V ' т г f^f^ " * г N N' ' ' чайно. Тогда в момент времени Т ST = S0 ехр(нт) и и л/|ягЯг,|Л'',Лг/| = \i2NN' i 0 XXiP1"'*1 • una туггагпрнно mrurniuprviiv уапя«ггрпи/-1хпг пппирггя 1 р »=!*=! для нахождения статистических характеристик процесса ST надо иметь статистическое описание процесса Нт. Суммируя по диагоналям, получим n n' Математическое ожидание и дисперсия ZZp1""*1 = ^(l+p+...+pv "") + n-1 n-1 Вычислим математическое ожидание и дисперсию + X0V-j)p* + - s)pN' ~N*S. процесса Нт, считая кТ » 1, т.е. считая, что на интер- 1=1 J=1 гр г. „ , Но при больших N асимптотически вале 1 было много сделок. Для этого запишем А„ в N l виде hn = ц + ст^ р. Тогда ясно, что M\hn} = ц и 1 - р J-0 .2 UN-s)pN -N" ~ NZp"'-»" = NP . . cpyfoAb г^гр'Г*1 [Д]. Так ЮМС .Vr.=.thn. TO. . . и»-;?. ГГгЛ^ГГ.-Л"^:.. 1-P N N, при фиксированном N имеем M\Ht\N\ = \xN и, ус- и асимптотически при »=i *=i редняя еще и по TV с учетом того, что для распределе- ы'-n+i n'-n+i ния Пуассона M{N) = kT, получим М{НТ} = \ikT. =уу1-р _+ N_£_ + N£_1 = дг1±£ * л, 1-р 1-р 1-р 1-р' Для Я2можно записать Я2 = 11>Л.Так как Подставляя А/(ягЯ7./|^ЛГ'}= ц2^'-N + n)+ ст2 2 М{КА} = V-2 + соу(^Л) = Ц2 + "[Г^Р1"• + И усредняя по N и N' ~ N' "ОЛУ4™ то при фиксированном N m\h2t\n}= ц2^2 M\HTHTl}=^((kTf +кт)+^к2т(т'-ф 1-р vv Ml rw™, +КТ1Гп?'те- ^Т')=м\нтнт1}-^к2гг' = х^^Р • Суммируя по диагоналям, получим f 2 ^ Учитывая симметричность фун- Г (1-р)2/ v_, и кции корреляции по обоим аргументам, окончатель- ^ЕР'-^Р'.ЛГ-^.^Р*- / Л Г, СТ2 1 , Л '=1 1-Р но запишем Л(Г,Г) = XI ц2 +-г mini Г, Г) и , р V (1-Р) ) ~> sp =---, и поэтому асимптотически при j=i (1 - р) для коэффициента корреляции значений Н^ и Нт iff*+ = ™ ™ сотг= мптотически " х - А/ х - А' - A/{ff2|iv}= ц2ЛГ2 + ° N. Уфедняя еще и по TV с Асимптотическая нормальность (1- р) процесса Нт учетом того «по для распределения Пуассона Докажем, = exd /ц5>. - , 2\ZEm»a)*P • ^ „=1 2^1 - р )„*it=i ~ _НТ-М{НТ}_ Нт-уХТ / _2 2 О XT Iй +'0-Р У Для нее кумулянтная функция имеет вид СТ2С02

Ключевые слова

Авторы

ФИООрганизацияДополнительноE-mail
Сухушина Елена ВладимировнаТомский государственный университетаспирантка кафедры теории вероятностей и математической статистики факультета прикладной математики и кибернетикиterpugov@fpmk.tsu.tomsk.su
Терпугов Александр ФёдоровичТомский государственный университетпрофессор, доктор физико-математических наук, заслуженный деятель науки РФ, профессор кафедры прикладной информатики факультета информатикиterpugov@fpmk.tsu.tomsk.su
Всего: 2

Ссылки

Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Том 1. Факты и модели М.: Фазис, 1998. 489 с
Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1988. 447 с.
 Авторегрессионная модель изменения цены финансовых активов со скачками в случайные моменты времени | Вестн. Том. гос. ун-та. 2000. № 271.

Авторегрессионная модель изменения цены финансовых активов со скачками в случайные моменты времени | Вестн. Том. гос. ун-та. 2000. № 271.

Полнотекстовая версия