Оптимальная нелинейная фильтрация дисперсии некоррелированного гауссовского процесса | Вестн. Том. гос. ун-та. 2000. № 271.

Оптимальная нелинейная фильтрация дисперсии некоррелированного гауссовского процесса

Находится алгоритм ошимальной нелинейной фильтрации марковского процесса, управляющего дисперсией некоррелированного гауссовского шума. В качестве приближенного решения рассматривается нормальное приближение для апостериорной плотности вероятностей и находятся уравнения для апостериорных среднего и дисперсии управляющего процесса

Optimal non-linear filtration of the variance of a non-correlated Gaussian process.pdf Постановка задачи Шумы являются главной проблемой, с которой сталкиваются разработчики систем связи, работающих в KB и УКВ диапазонах. Эти диапазоны очень загружены, и кроме естественных там действуют и техногенные помехи - станционные, помехи от транспорта, промышленных предприятий и т.д. Помеховая ситуация изменяется во времени, так как одни источники появляются, другие исчезают, третьи меняют свою мощность случайным образом. Знание мощности помехи в данный отрезок времени необходимо для адаптации систем передачи информации к этим помехам -например, путем изменения скорости передачи информации, перехода на другой канал и т.д. Поэтому умение оценивать текущую мощность помехи в канале связи является важным с практической точки зрения. Рассмотрим ситуацию в дискретном времени. Математическая модель ситуации выглядит следующим образом: через равные промежутки времени производятся измерения значения х,, / = 1, N шума, действующего в канале связи. Будем предполагать, что величины х, : 1) являются нормальными случайными величинами с математическим ожиданием М{х,} = 0 и дисперсией D{x,} = а2 + f(y(t)); 2) они независимы при фиксированной реализации y{t). Прокомментируем эти предположения. Предположение о независимости значений х, при фиксированной реализации процесса y(t) говорит о том, что мы имеем дело с широкополосным шумом. Если бы дисперсия шума D{xj) была константой, т.е. D{xt} = о2, то такой процесс в радиотехнике носил бы имя белого гауссовского шума. Наличие слагаемого f(y{t)) делает дисперсию этого шума переменной, да и сам процесс x(t) перестает быть гауссов-ским, если y(t) - случайный процесс. Что касается вида дисперсии £>{х,} = сг2 + /(>>(/)), то первое слагаемое можно трактовать как дисперсию ошибок измерений процесса x(t) измерительным устройством или как мощность естественной компоненты шума (космические и атмосферные шумы,...), которая почти не изменяется во времени. Второе слагаемое f(y(t)) - это мощность шумов естественного происхождения. Предполагается, что /(y(t)) - известная функция, в аргументе которой стоит некоторый процесс y(t), в дальнейшем называемый управляющим процессом. Чтобы применить теорию оптимальной фильтрации, необходимо считать, что у(() является марковским процессом. Описание этого процесса будет уточнено ниже. Задачей фильтрации является нахождение апостериорного распределения вероятностей для управляющих) процесса y(t) по измерениям шума х,. Случай диффузионного управляющего процесса Рассмотрим случай, когда y(t) является диффузионным марковским процессом с коэффициентом сноса a(y,t) и коэффициентом диффузии b(y,t). Измерения производятся через интервалы времени Д/. Рведем фбозначения у' = y{t), _ у = y[t + At). # Пусть р{у\у') - условная гштюсггь вероятностей значения процесса y(t) в момент времени f + Д/ при условии, что в момент t значение процесса было равно у'; р(х\у) - условная плотность вероятностей значений измеряемого процесса x(f) при условии, что в этот же момент времени процесс y(t) принял значение, равное у. Через w(y,t) обозначим апостериорную плотность вероятностей значений процесса y(t) в момент времени t, которая зависит от измеренных значений процесса x(t), сделанных до момента/, включая и сам этот момент времени. С учетом предположений о процессе x(t) запишем: { 2(ст2 +/(>•))} (1) w(y,t + Д t) = (2 1 РШ = - ^2я(с2 + /00)еХР1 2(о2 +/00) Рассмотрим двумерный марковский процесс {х(0, >■(')}• Как показано в [1], на интервале между измерениями w(y,t) удовлетворяет уравнению \p(y\y')My\t)dy' -оо_ 7 Т^си/м/.оФ'Ф Пусть Д у = у - у'. Тогда, как показано в [2]: Р(У I У') = 5(Д У)+Д t[-a(y - А * 05'(А У) + +0,Sb(y-Ay,t)8'(Ay)]+o(At), а числитель примет вид: J Piy I у'Му\t)dy' =w(y, t) + At + о(Д г). (3) С учетом (3) знаменатель (2) запишется в виде: TT/WMyV)*'*- -J w(y,t) + At Id2 0, получим от ду (8) 2 ду т.е. на интервале между измерениями апостериорная плотность w(y,t) удовлетворяет уравнению (8) с начальным и граничными условиями "toOU-wM+O), (9) (10) ду где Тк - предшествующий моменту t момент измерения. В моменты измерений Тк w(y,t) пересчиты-вается по формуле Байеса: p(x\y)wiy,Tt-0) (И) w(y,T„+ 0) = Id2 д Г ТТ fa* ')}-- {а(У, (Му, 0} 2 ду ду At j у + (14) +о(Д/)- Найдем входящие сюда интегралы. Имеем •МО \yw{y,t)dy = m{t), (15) -«О +40 -N \у - {а(у, tMy, t)}dy = уа(у, t)w(y, f)| « - +40 +40 - Jа(у, t)w(y, t)dy = - Ja(y, t)w(y, t)dy. (16) -00 -=m(7i -О) Подставляя (41), (42) и (46) в (44), получим: др(х\у) D(Tt -0) ду у-т(Т„- 0) 2 ду* (37) (42) дает возможность вычислить т(Тк +0), которое будет начальным условием для уравнения (22). Найдем теперь связь между D(Tk+ 0) и D(Tk -0). По определению jy2p(x\y)w(y,Tk-0)cfy +o((y~m(Tk -О))2), (38) = ^-:--т\Тк +0).(44) m2(7;-0M*|m(7;-0)) P(x\m(Tk - 0)) + ^ D(Tk 2 ду у=ЩТк-0) \wt- 0) & / I \ л др(х\у) гд2р(х\у) 2р(х\у) + 4у 'V ду ду ут(Тк- 0) P(x\m(Tk-0)) + \DiXk-0)dlp^y) 2 ду y=m(Tk-0) др(х\у) y=m(Tk-0) "12 p(x\m(Tk-0)) + ^D(Tk-0) д*р(*\у) ду2 >=«(Г,- 0) (47) ш(7;-о)+ что дает возможность нахождения D(Tk + 0), яв- Для нахождения окончательных выражений вычисляющегося начальным условием для уравнения (34). ^ производные, входящие в уравнения (42) и (47): хгГ(у) Ш др(х\у) = Р(х I У) (48 2 (ol+fiy))1 2(ст„ + f (у)) ду Введем функцию Р,(х,у) = /'(У) (49) 2 (ol+f(y))2 2(ol+f(y))' Тогда (48) примет вид др(х\у) (50) ду Аналогично для второй производной будем иметь #р{х\у) ду2 Р2(х,у) + = р(х\у) (51) *У'00 = р(.х\у)Р,{х,у). дР2(х,у) ду Р2(х,у) = Р?(х,у) + дР?(х,у) ду (52) Тогда (51) запишется в виде дгр(х\у) (53) = Р(х\у)Р2(х,у). ду2 С учетом введенных обозначений уравнения (42) и (47) запишутся в следующем в виде: т(Тк +0) = m(Tk -0) + . D(Tk- ОЖхМЪ-0)) (54) \ + ^D(Tk-0)P2(x,m(Tk-0)) \ I 0) ^ т2(Тк -°Жх>т(Т* , ОД + -0)РЛхМТк -0))+m(Tk -0)2Р2(х,т(Тк -0))] 1 + j D(Tt - 0)Р2 (х, т(Тк - 0)) D(Tk -0)P,(x,m(Tk -0)) m(Tk -0)+- 1 + ^ D(Tk - 0)Р2 (х, m(Tk - 0)) Заключение решениями уравнений (22), (34) с начальными усло виями (54) и (55). На интервале между измерениями в случае гаус- Решение этих уравнений уже гораздо проще, чем совой аппроксимации m(t) и D(t) определяются решение исходных уравнений в частных производных.

Ключевые слова

Авторы

ФИООрганизацияДополнительноE-mail
Богданов Александр ЛеонидовичТомский государственный университетстарший преподаватель кафедры математических методов в экономике экономического факультетаwert@niipmm.tsu.ru
Терпугов Александр ФёдоровичТомский государственный университетпрофессор, доктор физико-математических наук, заслуженный деятель науки РФ, профессор кафедры прикладной информатики факультета информатикиterpugov@fpmk.tsu.tomsk.su
Всего: 2

Ссылки

Хазен Э.М. Теория оптимальных статистических решений и задачи оптимального управления М.: Сов. радио, 1968.256 с.
Поттосина С.А., Терпугов А.Ф. // Изв. вузов. Физика. 1993. № 12. С. 54.
Радюк Л.Е., Терпугов А.Ф. Теория вероятностей и случайных процессов. Томск: Изд-во ТГУ, 1988.174 с.
Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1969. 400 с.
Федосов Е.Н. //Известия вузов. Физика. 1995. № 3. С. 17.
 Оптимальная нелинейная фильтрация дисперсии некоррелированного гауссовского процесса | Вестн. Том. гос. ун-та. 2000. № 271.

Оптимальная нелинейная фильтрация дисперсии некоррелированного гауссовского процесса | Вестн. Том. гос. ун-та. 2000. № 271.

Полнотекстовая версия