Структура пространства дважды сходящихся рядов | Вестн. Том. гос. ун-та. 2007. № 301.

Структура пространства дважды сходящихся рядов

Рассмотрено пространство, элементами которого являются сходящиеся ряды, причем эти ряды сходятся еще и после некоторой заранее заданной перестановки π. Полученное пространство рядов наделяется нормой, относительно которой оно является банаховым. Доказывается сепарабельность и строится базис этого пространства для специально выбранной перестановки π.

Structure of the convergent series space .pdf Рассматривается пространство последовательностей, сыгравшее важную роль при изучении свойств перестановок рядов (см. [1]), а именно пространство SC,π(E), E - банахово пространство, π - перестановка,т.е. биекция π: N → N . Напомним, что это пространство определяется следующим образом:X j = (xj,k )∞ , xj,k ∈E . Так как пространство Е полно,1существует предел последовательности {X j }∞ по нор-j=1ме |*|C, который представляет собой сходящийся ряд X = (xk )1∞ [4. С. 177]. С другой стороны, переставив каждый ряд X перестановкой π, мы получим сходящиесяSC,n(E) ~ i-X - (xk)1 : Zjxk ,Zjxn(k) сходятся в Eo ряды Yj■ = [x J°. Так как )Х j - последовательностьC , X π}, где Коши и в норме | * |π, последовательность {Yj}∞ схо-j=1(i) , |*|| - норма в про- дится по норме | * |с к некоторому Y = (ук), причемряд Y тоже сходится. Если мы покажем равенство y к = странстве Е. Элементы пространства SCn(E) нам x;r(i), это будет означать, что X е 5Сл (Ј) и имеет местоудобно называть рядами, т.е. речь идет о пространстве Xсходимость X. - по обеим нормам * , * , что и дважды сходящихся рядов. > С лВ п. 1 мы показываем полноту пространства требуется. Для доказательства равенства yк= xж(к) заме(е л(Ј), | * |). В п. 2 для случая, когда перестановка π ςим что из сходимос ти по норм е |*|с последовател ьности \Х \ к элементу X следует п око ординатная схоменяет сумму, мы устанавливаем, что последователь- 1 >'ности с конечным числом ненулевых членов не обра- димость: для каждого к е N х - хк в пространстве Е зуют всюду плотного множества в пространстве при у _>, . Действительно, 5С (Ј). Таким образом, вопрос о сепарабельностиэтого пространства оказывается нетривиальным. Чтобы ответить на него, в п. 3 нам приходится рассматривать конкретную перестановку л3 , свойства которой послужили отправной точкой многих наших исследований [2, 3]. Следует отметить, что впервые эта перестановка была упомянута в монографии М.И. Кадеца и В.М. Кадеца [4. С. 12], посвященной различным вопросам о перестановках рядов. В случае π = π32 простран-единственности предела в банаховом пространстве Ество S (E) оказывается сепарабельным при условииC,π имеем yk = xπ(k), что и требовалось.сепарабельности пространства Е. Результат п. 3 удается 2. Ряды с конечным числом ненулевых членов вобобщить лишь на некоторый класс перестановок, т.к. пространстве SC,π (E) .построение счетного всюду плотного множества, пред-Зафиксируем перестановку π, меняющую сумму,ложенное нами, опирается на структуру перестановки ∞π, определяющей пространство S (E) . Наконец, п. 4 т.е. такую, что существует ряд, сходящийся ∑ xk в про-C,πk=1содержит построение базиса в пространстве SC,π (R) странстве Е, который сходится после перестановки π,но к другому элементу. Такие перестановки играют для случая π = π3,2 . В п. 5 мы формулируем вопросы,основную роль в вопросе изучения области сумм ряда связанные с пространством SC,π (E) , ответы на которые (см. [3]), поэтому мы уделяем им наибольшее вниманам на сегодняшний день неизвестны. ние. Пусть множество D ⊂ SC,π (E) состоит из рядов,имеющих только конечное число ненулевых членов.80ве Е ряд X xi = 0, X xл(4) = x, x ≠ 0 . Рассмотрим ε-ок-рестность этого ряда как элемента X пространства Sc л (E). Предположим, что нашелся ряд Y = [yк Г ∈D(y* = 0 при k = N + 1, N + 2, ...) такой, что \X - Y\ < ε .NОценим норму элемента у = ^ у в пространстве Е. С одной стороны,2Х- 2Х≤ X -Y +0+supn>NnN∑(xk -yk) + ∑(xk -yk)k=1 k=1≤3|Х-У| |х| - s . Полу-≥|x|-ε-|X-Y|>|x||-2ε. (2)Сравнивая неравенства (1) и (2), мы видим:|х| - 2ε < |Ы| < 3ε , т.е. ε > 0,2||х||. Поэтому при меньшихзначениях положительного числа ε в ε-окрестности ряда X нет рядов с конечным числом ненулевых членов, т.е. D*SCn(E).Замечание. Рассуждения этого пункта не изменятся, если Е = R. Таким образом, мы получили пространство числовых последовательностей с нормой |*|, которое не является замыканием множества последовательностей с конечным числом ненулевых членов.3. Счетное всюду плотное множество в пространстве S (E), если Е - сепарабельное пространство. Вкачестве перестановки π рассмотрим перестановку л3 , которая определяется так:π (3и-2) = 4и-3, π (3и-1) = 4и-1,(4)16 слагаемыха после перестановки π = π3 сходится к 1:^ 1 1 1 1 1 1 1 1 > а . = 0 + 1 + 0 + -+ 1 + -+ -+ +t1 ж() 22 442442111 111111+ -+ ... + - + ....884 884 16 16 812 слагаемыхМы будем использовать идею компенсации членов в ряде (4) в исходном порядке и после перестановки π = π3 2 для построения рядов, образующих счетноевсюду плотное множество в пространстве Sc (E).Вначале зафиксируем счетное всюду плотное множество Q а E . Наша цель: для произвольного рядаX е SCn (E) и любого ε > 0 подобрать в ε-окрестности ряда Х ряд ZeScSCi (E), где S - некоторое счетное множество рядов. Зададим ряд X = [xк Г и число ε. Таккак ряды X xi и X xж(к) сходятся, можно найти номер N е N такой, чтоппри всех п,т> 2N ^хкпри всех n,m > 3N Строим ряд Z = (zk )1∞ .Пустьк ∈ К = {1,2, ...2N} ∪{2N + 1,2N + 3,...,4N-1} .Используя плотность множества Q в пространстве E, найдем z = x k + rk ∈ Q такие, чтоs(7)∑ rk 2N имеем (±1)ns aln . Так как aln ≤ 2supi ∑am≤ 3supi ∑ani∈Nk =1i∈Nk=\, M =11. (13)jr(Из (11) и (13) следует, что базисная константа М существует и не превосходит 11, т.е. условие (b) выполнено.5. Некоторые открытые вопросы. Всегда ли сепара-бельно пространство SC,π (E) при сепарабельном Е?Заметим: если перестановка π не меняет сходимость, то SC,π (E) изоморфно SC,id (E) , где id - тождественнаяперестановка. Пространство SC,id (E) есть обычноепространство сходящихся рядов, в котором ряды с конечным числом ненулевых членов образуют всюду плотное множество, т.е. это пространство сепарабель-но. Нужно рассмотреть случаи: 1) перестановка меняет сходимость, но не меняет сумму; 2) перестановка меняет сумму и имеет более сложную конструкцию, чемπ . Другой вопрос, более общий: изоморфны ли про-p,qстранства SC,π (E) и SC,σ (E) при различных перестановках π и σ? Скорее всего, при доказательстве такого изоморфизма нужно накладывать дополнительные условия на π и σ. Что касается базиса, построенного в п. 4, нас интересует, что представляют собой последовательности (αj ) , при которых ряды (*) сходятся?Возможно, описание этих последовательностей даст новую информацию о свойствах пространства SC,π (E) .84Т а б л и ц а 2 Первые элементы базиса в пространстве SC,π (R) , переставленные перестановкой π = π3,2π(k) j132574911613158171910212312252714293116333511000000000000000000000000020010000000000000000000000030101/ /22-141/ /4-1/ /21/ /41/ /4-1/ /281/ /8-1/ /41/ /81-1/ /41/ /81/ /8- 1/ /41/ /81/ /8-1/ /41/ /161/ /1640000010000000000000000000050001001/ /21-100011- 11/ /41- 10000001/ /81/ /860000100001/ /21/ /2-10000001/ /41/ /41/ /21/ /41/ /41/ /20070000000010000000000000000080000001000001/ /21/ /2-100000000041/ /490000000100000001/ /21/ /2-1000000001000000000000100000000000000110000000001000000001/ /21/ /2-100000120000000000100000000001/ /21/ /2-10013000000000000001000000000001400000000000010000000000021/ /2150000000000000100000000000016000000000000000001000000001700000000000000010000000000180000000000000000100000000019000000000000000000001000002000000000000000000010000000

Ключевые слова

Авторы

ФИООрганизацияДополнительноE-mail
Лазарева Елена Геннадьевна Томский государственный университет кандидат физико-математических наук, доцент кафедры общей математики механико-математического факультета lazareva-e-g73@mail.ru
Всего: 1

Ссылки

Лазарева Е.Г. Умножение перестановки ряда на число в банаховом пространстве с базисом Шаудера // Вестник Томского государственного университета. № 299. С. 98-100.
Иванова Е.Г., Сибиряков Г.В. О делении перестановок πp,q пополам. Всесибирская конференция по математике и механике: Избр. докл. Томск, 1997. Т. 1. С. 122-128.
Лазарева Е.Г. Исследование области сумм векторного ряда посредством умножения перестановки ряда на вещественные числа // Математические труды. 2001. Т. 4, № 1. С. 36-67.
Кадец В.М., Кадец М.И. Перестановки рядов в пространствах Банаха. Тарту: Изд-во Тартус. ун-та, 1988.
Lindenstrauss J, Tzafriri L. Classical Banach Spaces I. Springer-Verlag. Berlin Heidelberg, 1977.
 Структура пространства дважды сходящихся рядов             | Вестн. Том. гос. ун-та. 2007. № 301.

Структура пространства дважды сходящихся рядов | Вестн. Том. гос. ун-та. 2007. № 301.

Полнотекстовая версия