О взаимосвязи математического знания и объективной реальности | Вестн. Том. гос. ун-та. 2012. № 356.

О взаимосвязи математического знания и объективной реальности

Статья посвящена исследованию взаимосвязи между объективной реальностью и практико-ориентированными структурами математического мышления. На основе понятия практики обосновываются онтологические критерии математического познания. Априорность математических объектов рассмотрена в русле диалектической традиции. Обосновывается применение категориального анализа для изучения онтологических оснований математики. Рассмотрена связь ключевых математических понятий с системой онтологических и модальных категорий. Показано, что в основе противостояния двух основных противоборствующих методологических концепций - реализма и конструктивизма - лежат диалектические отношения категориальных пар «единичное - общее», «субъект - объект», «сущность - явление».

On interrelation of mathematical knowledge and objective reality.pdf Математика и философия тесно взаимосвязаны ииграют существенную роль во взаимном развитии. Од-ной из центральных проблем философии науки всегдаоставалась проблема онтологических оснований мате-матики, обозначенная еще пифагорейцами и Платоном.От ответа на вопросы «что такое математический объ-ект?» и «как он существует?» зависит не только разви-тие самой математики и частных наук, но и расшире-ние возможностей рационального познания в целом.Именно эти вопросы формируют проблемное поле он-тологии математики - особой философской дисципли-ны, нацеленной на выявление всеобщих закономерно-стей бытия математического объекта и математическойреальности в целом. Темы развития представлений оматематическом объекте, прояснения его онтологиче-ского статуса, установления возможности синтеза раз-личных методологических принципов его познанияявляются основными для данного направления.Обзор ведущих философских течений, каждое изкоторых отстаивает собственную точку зрения на ма-тематическую реальность и способы ее описания, пока-зывает, что основными идейными противниками напротяжении всей истории мысли, начиная с антично-сти, являются представители реализма и конструкти-визма. К первым принято относить Платона (именнопоэтому реализм иногда называют платонизмом, что,на наш взгляд, не совсем точно), Г. Лейбница, Г. Фреге,Б. Рассела и др. Общая позиция, провозглашаемая современ Академии, такова: «Общее как предмет матема-тики существует объективно, и здесь речь идет не отом, чтобы его конструировать, а о том, чтобы его от-крыть» [1. С. 66]. Ясность и содержательность данноймысли обеспечивает ей востребованность и в наши дни -неспроста «платонизм является неявной философиейработающих математиков» [2. С. 9]. В самом деле, вматематике далеко не всегда удается доказать сущест-вование объекта, опираясь на конкретный алгоритмпостроения. Это касается, в частности, доказательствряда важных математических теорем (например, тео-ремы Кантора, теоремы о пределе монотонной ограни-ченной последовательности и т.д.), а также сферы при-менения иррациональных и комплексных чисел. При-мечательно, что в случаях с неконструктивистскимобоснованием существования математического объектаречь идет об указании не на какой-либо «явленный»единичный предмет (конкретное число, геометриче-скую фигуру и т.д.), а на предмет, явленный в своемнебытии чем-то другим, т.е. такой, само существованиекоторого вытекает из закона исключенного третьего.Так, доказательство «от противного» теоремы о преде-ле монотонной ограниченной последовательности не«скрывает» его сущности (хотя и не «привязывает» ее кконкретному числу), а явление представлено не кон-кретной величиной, а в виде абстрактного алгебраиче-ского символа.Центральными фигурами конструктивного направ-ления в философии математики выступают Кант и пред-ставители позднего интуиционизма (Л. Брауэр, Г. Вейль,А. Гейтинг и др.). Корни конструктивизма также следуетискать в античности. По этому поводу И.Т. Касавин от-мечает: «В античной математике конфронтировали ме-жду собой в понимании математического знания, с од-ной стороны, школа Евдокса, а с другой стороны, Пла-тоновская Академия… Кант занял позицию Евдокса,согласно которой в качестве доказательств существо-вания математического объекта дается указание напринципы его конструирования или возможность егоанализа как определенной конструкции» [1. С. 66].Действительно, наиболее распространенный способдоказательства существования математического объек-та заключается в его непосредственном построении.Данный способ широко применяется в алгебре, евкли-довой геометрии, математическом анализе и являетсяосновополагающим в интуиционистской философииматематики. Он вполне соответствует конструктивист-ской позиции Канта и поздних интуиционистов, кото-рая может быть выражена следующим образом: «Ма-тематическое познание производно от некоторого ин-туитивного использования разума путем конструиро-вания понятий… Это интуитивное использование ра-зума служит тому, чтобы общее рассматривалось вособенном» [Там же. С. 67].Другими словами, реалисты подвергают критикеконструктивистов и интуиционистов за то, что те, на-ходя «общее в особенном», редуцируют тем самымобщее, которое в действительности есть, до единично-го, которое предъявлено субъекту в его сознании. Так,например, из исследований Канта, описавшего субъекткак действующее сознание, продуцирующее предметысвоего знания, можно сделать довольно радикальныйвывод о том, что всякий математический предмет су-ществует постольку, поскольку он сконструирован всознании субъекта. Интуиционисты напрямую указы-вают на то, что «математические предметы… сущест-вуют только в той степени, в какой они могут быть оп-ределены мышлением, и имеют только свойства, по-скольку последние могут быть познаны мышлением»[3. С. 318]. Данная позиция, носящая ярко выраженныйсубъективистский характер, имеет множество сторон-ников среди как философов, так и математиков, однакозачастую не выдерживает проверку самой математиче-ской практикой (достаточно привести пример принци-пиальной неконструктивной доказуемости ряда важ-нейших математических теорем [4]). Однако болееглубокий, философский взгляд на эту проблему пока-зывает, что разрешение противоречия между законамиразума и объективного мира, лежащими в основе мате-матической рациональности, с необходимостью пред-полагает переход от абстрактно-логического противо-поставления субъекта и объекта к исследованию реаль-ного процесса их «совпадения». Так, В.Ф. Асмус пи-шет: «Без обращения к гносеологическому критериюпрактики исходное для "интуиционизма" Брауэра иВейля понятие интуиции становится шатким. На неммогут быть основаны только субъективные построения,а не система объективного научного знания» [5.С. 285]. Ниже мы попытаемся обосновать, что именнопрактика выступает важнейшим моментом «онтологи-зации» основ рационального, в том числе математиче-ского мышления. С другой стороны, рассуждения, при-веденные выше, показывают, что спор рассмотренныхконкурирующих исследовательских традиций можетбыть рассмотрен в контексте диалектического проти-воречия, представленного соотношением таких катего-рий, как сущность и явление, общее и единичное и т.п.Таким образом, логика дальнейшего изложения требу-ет выделить два основных направления последующихрассуждений. Во-первых, это установление роли прак-тики и опыта в формировании и развитии математиче-ского знания. Во-вторых, это логико-категориальнаяприрода математического мышления. Остановимсяподробней на данных ключевых моментах.Практика как основание познания, имеющее одно-временно и значение единичности, непосредственно-сти, и значение всеобщности, впервые в истории фило-софии конституируется в диалектическом материализ-ме. Ни до, ни после этого фактически не проблемати-зируются «внеразумные» критерии умопостигаемостиобъективно общего. Так, например, в Новое времяcogito Декарта становится основанием существования,но не находит собственного обоснования. Мысля о ма-тематическом объекте и обнаруживая тем самым фактсвоего существования «вместе с этим объектом», мы несможем «отделить» себя от этого объекта и, следова-тельно, закрепить за ним статус объективно общего. Небыла преодолена эта сложность и в немецкой класси-ческой философии. По этому поводу Н.С. Автономоваотмечает: «Разум у Канта, Фихте, Шеллинга, да и от-части у Гегеля познает лишь сам себя… существуют иоказываются действенными лишь внутриразумныекритерии разумного… все эти критерии выступают какчастные, если не выдвинут единый, всеобщий крите-рий… который был бы взят вне пределов самого разу-ма» [6. С. 102].Неоднородность и разноплановость философскогодискурса ХХ в., насыщенного идеями феноменологии,экзистенциализма, релятивизма и т.п., также не позво-лила продвинуться далеко в этом отношении.М. Хайдеггер, критикуя абстракцию «рациональногоживотного», пытался отыскать некие внеопытные ос-мысленные основания существования, но получиллишь ускользающий от описания Dasein, для которогобытие остается вопросом. В философии Э. Гуссерлябытийной сферой, в которой совершается акт наделе-ния смыслом, является перманентно интенционирую-щее сознание (переживание). В этом случае даже иде-альное бытие «избавленного от эмпирической субъек-тивности» математического объекта оказывается «бы-тием-объектом для некоторого чистого сознания»[7. С. 13]. Тогда возникает вопрос: как избежать оче-видно бесплодной «дурной бесконечности» в фиксацииэтого «самого начала»? Гадамер приходит к выводу о«предопределенности мышления понятиями» [8. С. 43],но, в известной мере абсолютизируя единство мышле-ния и языка, не дает четкого ответа на вопрос о приро-де предопределенности самих понятий. Выражаясьязыком математики, длина такого «вектора мысли»предельно сокращается в философии неопозитивистов,фактически сводящих практику к опыту, а опыт, в своюочередь, - к верифицируемым протокольным предло-жениям. Другими словами, мы наблюдаем различныепроекты обоснования «отрекающегося» мышления вего самодвижении от мира к человеку и его экзистен-ции, сознанию, языку и т.п.Таким образом, попытки преодоления реифициро-ванных абстракций, отчужденных от человека по-знающего, а потому якобы не способных к адекватномуотражению действительности, приводят либо к возве-дению новых категориальных конструктов (Dasein,LebensWelt и т.д.), либо к абсолютизации роли предло-жений искусственного языка в описании неискусствен-ного мира. В этом отношении диалектико-материали-стическая концепция, «не забывающая» от человекаснова вернуться к миру, выглядит значительно болеепродуктивной (по крайней мере, с позиций онтологии).Вместе с тем ее серьезным недостатком является под-чиненность общей парадигмальной установке к иссле-дованию движения мышления как отражения движенияматерии, не совсем корректно отождествляемой с объ-ективной реальностью. Однако, как уже говорилосьвыше, это должно направлять ученого на открытие но-вых горизонтов исследований, а не на закрытие старых.Что касается второго важного аспекта диалектиче-ского подхода к решению задач онтологии математики,то он связан с анализом самого языка философии. Приэтом речь идет не о частных вопросах категориальногоанализа (как это бывает в случае изолированного рас-смотрения отдельной категории), а о выяснении границвсеобщности философских понятий, отражающих наи-более общие и устойчивые связи математической ре-альности и познания.Г. Фреге в свое время отметил: «Исторический спо-соб рассмотрения, прислушивающийся к становлениювещи… во многом оправдан; но он также имеет и своиграницы. Если все вещи не были бы прочными и веч-ными… то мир перестал бы быть познаваемым и всеперепуталось… То, что называют историей понятия,является, пожалуй, историей или нашего познания по-нятия, или значения слов» [9. С. 11]. Безусловно, иду-щая от Канта трансценденталистская установка, со-гласно которой категории выступают одинаковыми длявсех мыслящих индивидов априорными основаниямилюбого научного дискурса, в некоторых отношенияхможет быть поставлена под сомнение. Однако практи-ка показывает, что «любой философский "новояз", еслион носит общезначимый и обоснованный характер,всегда в конечном счете обнаруживает свой производ-ный характер от тех или иных базовых философскихкатегориальных структур относительно инвариантныхво всех философских традициях…» [10. С. 246-247].Важное значение в разработке данной проблемысыграли работы В.П. Бранского, посвященные анализувсеобщего содержания категорий пространства, време-ни, причинности и т.д., рассматриваемых им в качествеосновных атрибутов материи. Согласно Бранскому,всеобщее содержание категории есть органическоеединство «относительно-всеобщего» и «абсолютно-всеобщего» содержания (см.: [11. С. 128]). При этом«относительно-всеобщее» содержание характеризуетсвойства атрибута материи, в своем единстве опреде-ляющие ту или иную онтологическую категорию. Так,например, пространственная определенность объектапредставлена единством «положения, места и про-странственного отношения», временная определен-ность есть единство «мгновения, длительности и вре-менного отношения», качественная содержит «сово-купность элементов и структуру», количественная«включает в себя такие моменты, как величина и чис-ло» и т.д. [Там же. С. 129-132]. Опираясь на богатыйисторический материал (прежде всего историю физи-ки), В.П. Бранский показывает, как с развитием прак-тики может изменяться данная составляющая содер-жания всеобщих философских понятий. В то же времяна основании обобщения практического развития оте-чественный философ приходит к заключению о суще-ствовании абсолютно-всеобщего содержания онтоло-гических категорий: «Как бы ни была ограниченнанаша практика (например, в IV в. до н.э., в эпоху Ари-стотеля), но она всегда схватывает в окружающем насмире и такие черты, которые имеют абсолютно-всеобщее значение. Незнание электромагнитной ин-дукции и радиоактивности не помешало Аристотелюприйти к понятию причинности, которое в своем об-щем виде имеет абсолютно-всеобщее значение. Не-трудно видеть, что всякий атрибут материи как тако-вой имеет абсолютно-всеобщее значение, иначе он небыл бы атрибутом» [Там же. С. 129]. К аналогичнымвыводам, но не с отсылкой к физическим явлениям, а включе праксеологической трактовки исходных пред-ставлений математики приходит В.Я. Перминов:«Причинность, время, необходимость, возможность -сущностные характеристики акта деятельности, отра-жающие стороны мира, являющиеся условием дея-тельности… Категории внеисторичны вследствие ин-вариантности структуры деятельности и единства дея-тельностной ориентации субъекта» [12. С. 29].Другой относительно самостоятельной и оченьсерьезной проблемой на протяжении всей истории фи-лософии является стремление к изложению целостнойсистемы категорий. Начиная со зрелой античной клас-сики, человеческую мысль не оставляет «неистребимаяжажда строить целостные философские системы кате-горий» [10. С. 247]. В отечественной философии этойтеме в разное время свои работы посвящалиА.П. Шептулин, К.Х. Момджян, В.П. Кохановский,Л.Г. Джахая, В.Н. Сагатовский, А.Ф. Кудряшев,П.М. Колычев, Г.Д. Левин, А.Н. Книгин и многие дру-гие. Не останавливаясь подробно на описании конкрет-ных подходов, отметим, что любой из них так или ина-че предполагает некую «отправную точку», постановкупроблемы, которую Л.Г. Джахая довольно точно опре-делил как проблему «начала» изложения системы фи-лософских категорий и сформулировал следующимобразом: «В нашем случае "начало" - это логическипервая, "беспредпосылочная" категория… из которойзатем можно более или менее последовательно, связновывести всю цепочку остальных философских катего-рий. Анализ показывает, что во взаимосвязанной сис-теме философских категорий ни одна категория не яв-ляется беспредпосылочной, если только искусственноне объявить ее таковой» [13. С. 126].Тем не менее большинство исследователей сходит-ся во мнении, что такой «безусловной» категорией сле-дует объявить категорию бытия (мира, сущего и т.п.).Однако нельзя отрицать, что «в мысленном движениипонятий может быть такой логический переход, когдамы уже установили факт реального существования ми-ра, но еще не можем дать его определения или развер-нутой характеристики» [Там же. С. 110]. По всей види-мости, здесь мы имеем дело с наиболее примитивнымуровнем функционирования категорий как форм мыш-ления, описанным А.Н. Книгиным: «Это имеет местотогда, когда в языке индивида отсутствуют слова, обо-значающие категории. Например, ребенок не знаетслова "причина", что не мешает ему спрашивать "по-чему?" и говорить "потому что". Это значит, что кате-гория причины объективно налична как структурныйэлемент сознания, но субъективно ребенок ее не фик-сирует» [14. С. 25]. В нашем случае индивид, сознаниекоторого включает концепт мира как бытия, как «того,что есть», фиксирует в качестве отправной точки «су-ществования вообще» неопределенное нечто. Далеепутем восхождения от абстрактного к конкретному мыполучаем то, что Г.Д. Левин, развивая идею А. Черча,назвал «объектом»: «Я предлагаю все, что может бытьназвано, именовать объектами… Самым общим терми-ном, применимым к любому нечто, пусть остается«объект» [15. С. 63-64]. Таким образом, мы уже в са-мом начале построения искомой системы можем при-своить «объекту» (параллельно с категориальной парой«бытие - небытие») статус «беспредпосылочной» кате-гории, имея ввиду критерий логического вывода, а непервичности уровня познания.Подобный выбор «точки отсчета» весьма характе-рен именно для онтологии математики. В работах, по-священных данной проблематике, чаще других упоми-нается не «математическая реальность», «математиче-ское бытие» и т.п., а именно «математический объект».И дело здесь не столько во влиянии «платонической»традиции (позиции которой в последнее время заметнопошатнулись) или в исследовательской интуиции,прошедшей через столетия истории философии мате-матики, сколько в постановке вопроса о существованииматематического объекта. На наш взгляд, всякое рас-суждение о статусе математического объекта следует впервую очередь начинать не с выяснения того, в каче-стве чего он существует, а с обоснования того, суще-ствует ли он вообще. Уже далее с помощью серии ре-левантных (с точки зрения практики) логических пере-ходов, в основе которых лежит конкретизация катего-риальных смыслов, мы можем осуществить так назы-ваемую «развертку», проблематизируя переход от на-личного бытия объекта к его «атрибутивной» модели.Так, осмысление существования математическогообъекта невозможно без обращения к категориям сущ-ности и явления, поскольку, как справедливо отметилГ.Д. Левин, «сущность - сторона объекта, которая оп-ределяет все другие его стороны, называемые явления-ми» [15. С. 215]. В ходе математического доказательст-ва существования субъект часто стремится получитьнекоторый результат (явление), опираясь на имплицит-но содержащуюся в объекте определенность (сущ-ность). Например, получая число «три» в качестве зна-чения предела последовательности, мы имеем дело сявлением. Сущность же предела как математическогообъекта в этом случае будет связана с другой величи-ной - номером, начиная с которого все члены последо-вательности попадают, согласно определению, в такназываемую «эпсилон-окрестность» тройки. Возможнаи обратная ситуация: имея «на руках» какой-либо объ-ект, например единичный отрезок, субъект пытаетсяустановить его природу. Так, теорема Кантора показы-вает, что сущностью несчетного множества являетсяпринципиальная «ненумеруемость» сосуществующих вединстве элементов, в то время как явлением, т.е. неко-ей целостностью, воплощающей единство многого,может выступать, например, упомянутый отрезок, чи-словая прямая и т.д.Примечательно, что при этом не просто явленностьи сущность объекта открываются нам с помощью соот-ветствующих категорий - сама реальность посредствомпрактики оказывается доступной познающему субъек-ту. В отличие от привычных форм практики, таких как«труд», «революция» или «эксперимент», философияматематики оперирует понятием счета. В примере спределом математической последовательности именно«счет до попадания в окрестность» делает онтологиче-ски возможным само определение предела, несмотряна то что для получения конкретной величины «три»применяются совсем другие, чисто логические опера-ции более высокого уровня. Случай с континуумомнемного сложней, но также онтологически возможентолько благодаря апелляции к счету, а точнее - к де-монстрации невозможности счета и закону исключен-ного третьего (теорема Кантора доказывается «косвен-но», через противоречие).Смысл счета, в свою очередь, невозможно полно-стью раскрыть без категорий отношения, свойства,бесконечности, дискретности и т.п., «отвечающих» заоднородность элементов математического множества,вид функциональной зависимости между ними, крите-рии существования и многое другое. Продолжая в томже духе, можно последовательно формировать все но-вые и новые «ячейки» категориальной сети, которуюГегель в свое время назвал «алмазной». Тем не менееуже на примере небольшого фрагмента такой «развер-нутой» цепи можно показать, как тесно взаимосвязан-ные категории сущности, явления, отношения, свойст-ва, качества, количества, меры, единичного, множест-венного, дискретного, бесконечного и т.п. обогащают иконституируют многомерный смысл бытия математи-ческого объекта.Заметим, что помимо рассмотренных категорий вформировании математического дискурса заметнуюроль играют аподиктические, проблематические и ас-серторические модальности. Первые фиксируют модуснеобходимости всех доказанных математических ут-верждений, вторые участвуют в формировании мате-матических высказываний о мире возможного, т.е. на-прямую связаны с предметом теории вероятностей иматематической статистики. Ассерторические модаль-ности «действительного» призваны закрепить онтоло-гический статус математического объекта «как онесть», что, в свою очередь, связано с довольно специ-фическими проблемами аксиоматизации и выведениядоказательств. Следует отметить, что проблема мо-дальностей в математике (в особенности ее онтологи-ческий аспект) остается одной из наименее изученныхсовременной философией математики. Некоторые ин-тересные результаты можно обнаружить в работах спе-циалистов, проводящих исследования в смежных об-ластях - модальной логике, логике существования ит.п. В их задачу входит изучение механизма отраженияобъективной реальности формализованными языкамии, в частности, разработка особых семантическихструктур для модальной логики (так называемая про-блема семантики «возможных миров»). Так, например,в работах С. Крипке, посвященных вопросам иденти-фикации объектов «возможного мира», можно встре-тить рассуждения об особом онтологическом статусеобъектов математики. Американский философ и логикпоказывает, что именно эти и никакие другие (в томчисле материальные) объекты даны в рамках «возмож-ного мира» [16]. Среди отечественных ученых даннуютематику в ряде своих работ затрагивают В.В. Целищев[17], А.Ф. Кудряшев [18] и др. В силу исключительнойсложности данные вопросы даны нами лишь в порядкеих постановки и должны явиться стимулом для даль-нейших исследований в этом направлении.Мы твердо убеждены в том, что противостояниелюбых противоборствующих методологических фило-софско-математических концепций не может быть про-анализировано без обращения к системам парных он-тологических и модальных категорий («единичное -общее», «субъект - объект», «сущность - явление»,«конечное - бесконечное», «возможное - невозмож-ное» и т.п.). В отличие от естествознания, противоре-чия в математике обнаруживаются как диалектическиепротиворечия между понятиями, их далеко не всегдаможно свести к отношениям между объектами вещнойреальности. Это свидетельствует о необходимости«возвращения» в философию математики диалектиче-ского метода, незаслуженно лишенного внимания наволне резкой критики марксизма-ленинизма. При этомважно заметить, что речь в общем случае идет не одиалектическом материализме, а о диалектике в целомкак о мощной проверенной методологии рационально-го познания.К наиболее поздним работам, посвященным реали-зации диалектического подхода в философско-матема-тических исследованиях, в основном относятся иссле-дования, проводимые отечественными и зарубежнымиучеными второй половины прошлого столетия. Так,А.Г. Барабашев, рассматривая отечественную тради-цию фундаменталистской философии математики, сре-ди основных направлений выделяет те, которые реали-зуются в рамках «диалектической интерпретации тео-ретико-множественных парадоксов, исследований осоотношении формальной и диалектической логики,диалектики взаимосвязи математики и объективнойреальности» [19. С. 80]. И.Н. Бурова с успехом реали-зует диалектический подход в анализе конечного, бес-конечного и парадоксов теории множеств [20, 21].С установками диалектического материализма во мно-гом совпадают идеи основателя математического нату-рализма Ф. Китчера [22]. Известный французский фи-лософ науки Н. Мулуд, пристальное внимание уделив-ший вопросам структуралистской методологии, вскры-вает диалектические противоречия «опытного» и«формального» аспектов математического метода [23].Среди самых современных разработок, относящихся кпервому десятилетию XXI в., наиболее продуктивнойнам представляется концепция «праксеологическогоаприоризма» В.Я. Перминова. Разводя понятия «опыт»и «практика», философ на примере арифметики и евк-лидовой геометрии убедительно (в отличие от тради-ционного априоризма) показывает доопытность мате-матического мышления в его реальной связи с первич-ными структурами действительности, определяющимивозможность самой практики. Он отмечает: «Особен-ность математики состоит в том, что, являясь развитойи постоянно развивающейся наукой, она в своих осно-ваниях покоится на абсолютных представлениях, отра-жающих универсальные требования к объектам реаль-ности с точки зрения человеческой деятельности» [12.С. 44]. На наш взгляд, данный подход не только пре-тендует на разрешение многолетних противоречий ме-жду платонизмом и натурализмом, фундаментализмоми нефундаментализмом и т.п., но и обосновывает при-менение диалектического метода в поиске реальныхпутей развития математического знания, избегая обра-щения к крайностям той или иной версии «метафизи-ческого» монизма.Подводя итоги, отметим, что современная филосо-фия математики все больше ориентируется на созданиеновых когнитивных практик, не отрицающих классиче-ские парадигмы, но выходящих за их рамки. При этомодной из немногих развивающихся традиций, позво-ляющих охватить единство смыслопорождающих сферобъективной реальности и практико-ориентированныхструктур сознания, остается диалектика. Некоторыерезультаты, отраженные в настоящей работе, показы-вают, что диалектика выступает не только историческипроверенным методом постижения бытия математиче-ского объекта в его развитии, но и основой анализасистемы внеисторических инвариантных основанийматематики, имеющих категориальную репрезентацию.Перспективным направлением исследования диалекти-ческой взаимосвязи математического знания и объек-тивной реальности выступает деятельностный подход,в его неметафизическом варианте снимающий проти-воречия между крайностями априоризма и платонизма,с одной стороны, и логицизма, интуиционизма и фор-мализма - с другой.

Ключевые слова

categories, practice, ontology of mathematics, mathematical object, dialectics, категории, практика, онтология математики, математический объект

Авторы

ФИООрганизацияДополнительноE-mail
Букин Дмитрий НиколаевичВолгоградский государственный университеткандидат философских наук, докторант кафедры философии факультета философии, истории, международных отношений и социальных технологийhetfieldukin@mail.ru
Всего: 1

Ссылки

Мулуд Н. Современный структурализм. М. : Прогресс, 1973. 375 с.
Kitcher Ph. The nature of mathematical knowledge. New York ; Oxford : Oxford University Press, 1984. 287 p.
Бурова И.Н. Развитие проблемы бесконечности в истории науки. М. : Наука, 1987. 134 с.
Барабашев А.Г. Будущее математики: методологические аспекты прогнозирования. М. : Изд-во Моск. ун-та, 1991. 160 с.
Бурова И.Н. Парадоксы теории множеств и диалектика. М. : Наука, 1976. 176 с.
Целищев В.В. Семантика для пропозициональных установок и «твердые десигнаторы» // Логика и онтология. М. : Наука, 1978. С. 94-128.
Кудряшев А.Ф. Модальные онтологии в математике // Стили в математике. М. : РХГИ, 1999. С. 130-138.
Левин Г.Д. Философские категории в современном дискурсе. М. : Логос, 2007. 224 с.
Kripke S. Naming and Necessity. Cambridge : Harvard University Press, 1980. 172 p.
Книгин А.Н. Учение о категориях. Томск : Изд-во ТГУ, 2002. 193 с.
Джахая Л.Г. К вопросу о методах изложения (способах развертывания) системы философских категорий // Философия и общество. 2003. № 2 (31). С. 107-128.
Миронов В.В., Иванов А.В. Онтология и теория познания. М. : Гардарики, 2005. 447 с.
Бранский В.П. Философское значение «проблемы наглядности» в современной физике. Л. : Изд-во Ленингр. ун-та, 1962. 191 с.
Перминов В.Я. Априорность и реальность исходных представлений математики // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 7. Философия. 2010. № 4. С. 24-44.
Фреге Г. Основоположения арифметики / пер. В.А. Суровцева. Томск : Водолей, 2000. 64 с.
Гадамер Х.-Г. Истина и метод: основы философской герменевтики / пер. М.А. Журинская, С.Н. Земляной, А.А. Рыбаков, И.Н. Бурова; под ред. Б.Н. Бессонова. М. : Прогресс, 1988. 704 с.
Асмус В.Ф. Проблема интуиции в философии и математике (Очерк истории: XVII - начало XX в.). М. : Мысль, 1965. 312 с.
Автономова Н.С. Рассудок, разум, рациональность. М. : Наука, 1988. 287 с.
Гуссерль Э. Начало геометрии. Введение Жака Деррида / пер. и послесл. М. Маяцкого. М. : Ad Marginem, 1996. 267 с.
Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? / под ред. А.Н. Колмогорова. М. : МЦНМО, 2004. 568 с.
Целищев В.В. Онтология математики: объекты и структуры. Новосибирск : Нонпарель, 2003. 240 с.
Ружа И. Основания математики / пер. М.М. Беловой, В.И. Костенко. Киев : Вища школа, 1981. 350 с.
Касавин И.Т. Конструктивизм как идея и направление // Конструктивизм в теории познания. М. : ИФРАН, 2008. С. 63-72.
 О взаимосвязи математического знания и объективной реальности | Вестн. Том. гос. ун-та. 2012. № 356.

О взаимосвязи математического знания и объективной реальности | Вестн. Том. гос. ун-та. 2012. № 356.

Полнотекстовая версия