Control of the Lyapunov spectrum of discrete systems with chaotic dynamics.pdf Одна из важнейших проблем современной теории нелинейных систем состоит в стабилизации хаотических режимов или преобразовании хаотического движения в регулярное движение (предельный цикл или движение к особой точке). Поиск решения данной проблемы идет по различным направлениям. Одно из направлений связано с применением программного управления, основанного на внешних резонансных возмущениях [1] либо внутренних параметрических возмущениях [2]. Вторая группа, так называемые методы комбинированного управления [3], сочетает в себе программное управление и управление с обратной связью. Широкое развитие получили и методы на основе обратной связи, которые были исторически первыми, но остаются актуальными в настоящее время. К ним относится метод линеаризации Пуанкаре (OGY-метод [4]) и обратная связь с запаздыванием (метод Пирагаса [5]) для стабилизации периодической орбиты). Все эти методы имеют свои достоинства и недостатки, связанные с точностью модели системы, необходимостью подбора параметров обратной связи, неполным учетом специфичных свойств хаотических процессов. Для управления системами с хаотической динамикой в условиях действия параметрических и внешних возмущений в настоящее время используется достаточно большой спектр методов теории автоматического управления. К ним можно отнести: ПИД-регуляторы [6, 7]; регуляторы, обеспечивающие робастную устойчивость [8]; адаптивные регуляторы [9]. Широкое распространение получил синергетический подход на основе аналитического конструирования агрегированных регуляторов [10]. В работе рассматривается задача подавления хаоса путем формирования в замкнутой нелинейной дискретной системе требуемого спектра характеристических показателей Ляпунова, соответствующего стабилизации особых точек или предельного цикла. Ляпуновский спектр формируется введением обратной связи по фазовому вектору. Параметры обратной связи вычисляются с использованием методики синтеза модального управления [11]. 14 Шашихин В.Н. Управление ляпуновским спектром дискретных систем с хаотической динамикой 1. Постановка задачи В определенных ситуациях для моделирования системы достаточно указать ее состояние в заданные дискретные моменты времени. В этом случае в качестве эволюционного оператора можно использовать функцию, определяющую состояние системы в дискретные моменты времени через ее состояние в предыдущий момент. При этом математической моделью динамической системы служит разностное уравнение с заданным начальным условием х(к +1) = F(х(к)} + Bu(k), х(к0 ) = х0, (1) где к е Z - дискретное время; Z - множество целых чисел; х(k) е R” - фазовый вектор в момент времени к; u(k)eRm - вектор управляющих воздействий в момент времени к; F(х(к)) = = (/ (х(к)), / (х(к)),... / (х(к)))T - вектор-функция F(х(к)): Z ® Rп ^Rn. Для траекторий динамической системы (1) может выполняться одна из двух возможностей: - либо при некотором к ф 0 ф(к, х0 ) = х0, в этом случае существует наименьшее натуральное к Ф 0 такое, что ф(к + к0,х0 ) = ф(к, х0 ) для всех к е Z, сама точка хо называется периодической точкой периода ко, а ее траектория состоит из ко различных точек (при ко = 1 точка хо называется неподвижной точкой); - либо ф(к, х0 ~)ф х0 для всех к Ф 0, в этом случае траектория хо состоит из счетного множества различных точек. Пусть уравнение (1) описывает отклонения фазовых координат нелинейного дискретного объекта от некоторого опорного состояния х*. Используя формулу Тейлора в предположении дифференцируемости компонент функции F(х(к)) = [/ (х(к))]”=1 в окрестности опорного состояния х*, преобразуем уравнение (1) к линейному виду: х (к + 1) = J(х* )(х (к))+Ви(к), х (к0 ) = х0, (2) где J (х *) матрица Якоби векторной функции F(х(к)) : /і( х(к))/ дхі(к) ... /і( х(к))/ дхп (к) (3) х( к )=х J (х*) д/п (х(к))/ дхі(к) ... д/п (х(к)) / дхп (к) Для произвольного решения дискретной системы характеристический показатель Ляпунова определяется формулой Х( х) = lim к [к 1іЩ х(к )|. Спектр Ляпунова нелинейной дискретной системы (1) o(F) = {l, (F), i = 1, и) состоит из n различных упорядоченных по убыванию характеристических показателей Ляпунова h(F)^h(F) ^... ^Хп(F) . Задача управления спектром Ляпунова состоит в определении обратной связи по фазовому вектору нелинейной дискретной системы (4) (5) (6) u (к) = -IL х(к), IL е Rmxп такой, чтобы замкнутая нелинейная система х (к +1) = F(х (к)) - ВІ х(к), х (к0 ) = х0 имела спектр a(F - ВІІ) = {хі (F - BL ), i = ТХп), 15 Управление динамическими системами / Control of dynamical systems равный требуемому спектру °(G) = {хі (G), i = \\Пі} . (7) Для нелинейной системы (5) линеаризованная система (2) при управлении (4) будет иметь вид: x (k + 1) = (J(x*) -BL*)x(k) = Azx(k), x(k0) = x0, (8) где Az = (J(x*) - BL) - матрица замкнутой системы. 2. Формирование спектра замкнутой системы Требуемый (желаемый) спектр (7) определяется решаемой задачей - стабилизации особой точки или стабилизации предельного цикла. Стабилизация особой точки. Особая точка дискретной нелинейной системы (1) удовлетворяет соотношению x0 = F (x0). Особые точки, в которых у матрицы Якоби (3) нет собственных значений рг- (J(x0) таких, что р;- (J(x0) = 1, называются гиперболическими, и для них, как и в случае непрерыв ных систем, справедлива теорема Гробмана-Хартмана [12] о том, что линеаризованная система (8) дает исчерпывающую информацию относительно поведения нелинейной системы (5) и устойчивость особых точек дискретных нелинейных систем определяется собственными значениями матрицы Якоби, которые должны удовлетворять условию Р, ( J ( x0) < 1, i = 1, п (9) Вычисление коэффициента обратной связи с использованием модального управления позволяет обеспечить равенство собственных значений матрицы замкнутой системы (8) наперед заданному набору вещественных (комплексных) чисел, удовлетворяющих условию (9). В работе используется синтез модального управления на основе приведения исходной системы к каноническому базису Фробениуса [13]. Рассмотрим дискретную линейную систему x(k + 1) = Ax(k) - bu(k), x(k0) = x0 , A e Rnxn, b e Rnx 1, (10) для которой необходимо определить параметры линейного закона управления с обратной связью u(k) = -lT x(k), (11) обеспечивающего заданные значения корней характеристического уравнения замкнутой системы x(k + 1) = Ax(k) - blT x(k) = (A - blT )x(k), x(k0) = x0,(A - blT) = A e Rnxn, (12) т.е. равенство спектра матрицы A требуемому (желаемому) спектру p( Az) = {A!, X-2,... K-1, ^n>- Система (10) соответствует линеаризованной системе (8) исходной нелинейной системы. По требуемому спектру вычисляются коэффициенты характеристического уравнения, имеющего желаемые корни. Коэффициент обратной связи (11) вычисляется по формуле f={QT)-\\a-a). (13) Вычисленные параметры регулятора определяют обратную связь для системы, заданной соотношениями (12). Здесь а - вектор коэффициентов характеристического уравнения матрицы Якоби, а а* - вектор коэффициентов требуемого характеристического уравнения, корни которого равны требуемым собственным значениям матрицы Якоби. Коэффициент обратной связи (13) используется для управления спектром характеристических показателей Ляпунова нелинейной дискретной системы (5). 16 Шашихин В.Н. Управление ляпуновским спектром дискретных систем с хаотической динамикой 3. Исследование нелинейной системы Рассмотрим задачу управления спектром Ляпунова для стабилизации особой точки и предельного цикла дискретного осциллятора Ресслера [14] X (k +1) = x (k) - s[ x2 (k) + x (k)], X (k +1) = X (k) + e[Xj (k) + ax2 (k)], (14) x3 (k +1) = x3 (k) + sb + s[ x1 (k) - r]x3 (k) . 0,0351 0,0351); * x2 = (5,69 " 0 -1 -1 J = 1 a 0 z 0 x - c при значениях параметров: a = 0,1042; b = 0,2000; r = 9,0000; s = 0,1000. Дискретный осциллятор Ресслера имеет две особые точки: x =(0,007С а матрица Якоби равна Собственные числа матрицы Якоби в особых точках: I = 5,4280, |2 = -5,4280/, IX = 0,1930. >( J ( x2) ): I = 0,0970 + 0,9952/, р (J(x*)) = < |2 = 0,0970 - 0,9952i, р3 = -5,6870, Модули собственных чисел матрицы Якоби в особых точках равны 1Х| = 0,9999 < 1, |р2|= 0,9999 < 1, |ц3|= 5,6870 > 1, = 5,4280 > 1, |ц2|= 5,4280 > 1, |ц3| = 0,193 < 1. Так как для каждой особой точки есть собственные числа матрицы Якоби, модуль которых больше единицы, то особые точки являются неустойчивыми. Спектр характеристических показателей Ляпунова системы (14) имеет вид: a(F) = {*1 (F) = 0,07094, , (F) = 0,01841, , (F) = -5,44527} , и содержит положительный, близкий к нулю и отрицательный характеристические показатели Ляпунова. Таким образом, система (14) является хаотической. На рис. 1 представлен аттрактор дискретного осциллятора Ресслера без управляющего воздействия. Рис. 1. Странный аттрактор дискретного осциллятора Ресслера Fig. 1 The strange attractor of the discrete Ressler oscillator Модель дискретного осциллятора Ресслера с управлением может быть представлена в виде системы (1). Стабилизация особой точки. Стабилизируем дискретный осциллятор Ресслера так, чтобы его аттрактором была устойчивая особая точка. Для этого нужно выбрать старший характеристический показатель Ляпунова в области отрицательных значений. Выберем желаемое значение старшего ха-17 Управление динамическими системами / Control of dynamical systems рактеристического показателя Ляпунова х* < 0. Задавая значение старшего показателя Ляпунова Ху = -0,1, вычисляется коэффициент обратной связи с использованием формулы (13): 1 =(8,4509 2,1135 -14,5413) На рис. 2 представлен фазовый портрет замкнутой синтезированным управлением системы с начальной точкой х0 =[0 0 0]Т. В данном случае аттрактором системы с обратной связью (11) является устойчивая особая точка. Рис. 2. Стабилизация особой точки дискретного осциллятора Ресслера Fig. 2. Stabilization of a singular point of a discrete Ressler oscillator Спектр характеристических показателей Ляпунова (6) системы (14) с управлением u(t) = -J*x (t) состоит из отрицательных характеристических показателей Ляпунова a(F - Ы*) = { Хі =-0,11004, Х2 =-0,11022, Хз =-19,82511 } , что свидетельствует об отсутствии хаоса в системе. Стабилизация предельного цикла. Выберем желаемое значение старшего характеристического показателя Ляпунова хі* (G) = 0 для того, чтобы аттрактором стабилизированной системы был предельный цикл. Коэффициент обратной связи l*, вычисленный по формуле (13), равен: I* =(0,0516 -0,5543 -0,8128). Рис. 3. Предельный цикл дискретного осциллятора Ресслера с обратной связью Fig. 3. Limit cycle of a discrete Ressler oscillator with feedback Спектр характеристических показателей Ляпунова замкнутой системы содержит нулевой (близкий к нулевому) и два отрицательных показателя: o(F-Bl*) = { Х1 =-0,00061, Х2 =-0,13061, Хз =-6,12021 }, что свидетельствует о подавлении хаоса в системе с обратной связью и переходе к периодическому движению. На рис. 3 представлен аттрактор стабилизированной системы, являющийся предельным циклом. 18 Шашихин В.Н. Управление ляпуновским спектром дискретных систем с хаотической динамикой Заключение Предложена методика синтеза стабилизирующего управления для нелинейной дискретной системы, которая обеспечивает подавление хаоса в системе и формирование регулярного режима в виде особой точки или предельного цикла. Задача подавления хаоса решается за счет формирования заданного спектра характеристических показателей Ляпунова путем введения обратной связи по фазовым координатам нелинейной системы. Коэффициент обратной связи определяется с использованием метода модального управления на основе канонической формы Фробениуса. Рассмотренный пример стабилизации дискретного осциллятора Ресслера подтверждает работоспособность предложенного метода управления нелинейной системой с хаотической динамикой.

Скачать электронную версию публикации