The control of retail price of perishable goods .pdf Оптимизация продажи скоропортящейся продукции (молока, творога и т.д.) представляет определенный практически интерес, так как продукцию, не реализованную в течение торговой сессии, в лучшем случае надо пускать в переработку, а в худшем - просто выбрасывать. Поэтому при реализации такой продукции возникает ряд вопросов, таких как:а)какой объем продукции надо завозить в торговую точку;б)по какой цене ее продавать;в)как управлять ценой продажи продукции, чтобы к концу торговой сессииона была полностью реализована.Все эти задачи надо решать при вполне естественном критерии оптимальности - максимизации прибыли, получаемой от реализации продукции.1. Математическая модельПусть в торговую точку завозится партия продукции объемом Q0, которая должна быть продана в течение торговой сессии длительности Т. Пусть d - объем затрат на выпуск единицы продукции, так что производителю эта партия стоила Q0 d рублей.Пусть c(t) - цена, по которой продукция продается в момент времени t. В данной работе рассматривается вопрос управления ценой продажи c(t) в зависимости от времени t и объема Q(t) продукции, не реализованной к этому моменту времени. Цель этого управления - добиться того, что продукция будет реализована к концу торговой сессии и при этом будет получена максимальная прибыль.Будем считать, что поток покупателей является пуассоновским потоком интенсивности Х(с), зависящей от розничной цены с. Вид этой зависимости будет уточнен ниже.Будем считать, что покупатели приобретают товар независимо друг от друга, и объем покупки £ - случайная величина с M{£} = av и M{^2} = a2.Пусть Q(t) - количество продукции, которая осталась не реализованной в момент времени t. Рассмотрим решение задачи в так называемом диффузионном приближении, когда Q(t) аппроксимируется диффузионным случайным процессом. Как показано в [1], такую аппроксимацию следует брать в виде(1)где w(t) - стандартный винеровский процесс. Именно эту аппроксимацию мы и исследуем ниже.В одном очень частном случае эта задача уже исследовалась в [1], где закон управления ценой c(t) продажи товара брался из соотношенияalX(c(t)) = TM. (2)В настоящей работе будет исследован более общий случай, когда управление розничной ценой определяется соотношениемalX(c(t)) = к (3)с некоторым дополнительным коэффициентом к. Очевидно, что к>0 и при к=1 рассматриваемый нами случай переходит в (2). Поэтому к=1 может быть использовано для контроля.Объединяя (1) и (3) можно сказать, что диффузионная аппроксимация процесса Q(t) имеет видdQ(t) = -к ^ dt + ^ к ШсЩ). (4) Найдем сначала некоторые характеристики процесса Q(t).2. Математическое ожидание процесса Q(t)Обозначим M{Q(t)} = Q(t). Для краткости записи, аргумент t у Q(t) и Q(t) мы часто будем опускать.Усредняя уравнение (4) с учетом того, что для винеровского случайного процесса M{dw(t)} = 0 , получимdQ(t) = -к, (5)которое является дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными и которое надо решить при начальном условии Q(0) = Q0. Разделяя переменныеdQ dt-М- = -кQT -1и интегрируя, получимln Q = ln C + k ln(T -1) , где С - постоянная интегрирования. ОтсюдаQ(t) = C (T -1 )K. Так как Q(0) = Q0 = CTK , то C = g0/Tк и поэтомуQ(t) = Qo [i - 1r J .(6)При к=1 это совпадает с результатом, полученным в [1]. Графики функции f (x) = (1 - x)K при различных к приведены на рис. 1.3. Дисперсия процесса Q(t)Пусть процесс Q(t) описывается уравнениемdQ(t) = a(Q, t )dt + b(Q, t )dw(t), и нас интересует процесс y(t) = f (Q, t). Тогда, как известно [2], этот новый процесс также является диффузионным и удовлетворяет уравнениюdf (Q, t) =dtdQ 2 dQЭта формула носит название формулы Ито [2].dfdt + b(Q,t)-dw(t). dQВозьмем f (Q, t) = Q . Тогдаdf2и формула Ито даетd (Q2) =^ Q ai ß -2Qk^=- + - к- ^T -1 üy T -1dt + 2Q - к^=- dw(t)üy T -1(7)Усредняя, получим уравнение для Q2 (t) = M {Q (t)}:dt+ 2k■ = - к-T -1 a, T -1(8)Нас будет интересовать дисперсия процесса Q(t), то есть процесс Dq (t) = Q2 Учитывая (5), получимd-^l = 2Q^ = -2kQ2^- ,dtdtT -1Qили^ + 2к-^ = 0 . (9)dtT -1Вычитая (9) из (8), получим уравнение для дисперсииdDQ+= El к-°- = El к Q fi - If1dt t -t a t -1 a t \ tкоторое надо решить при начальном условии Dq (0) = 0. Решая однородное уравнение-p + Ik-Z- = 0 , dt T -1получим выражениеddq __2k_DQdtT -1общее решение которого имеет видDQ (t) = C ■ (T -1)2K . (11)Поэтому, используя метод вариации произвольных постоянных, общее решение неоднородного уравнения будем искать в видеDq (t) = C(t) (T - t.C'(t)(T - t)2K = ^ к % f 1 -1 j = ^ к (T - t)K-1,Подставляя это в (10), имеемгaj T l T J d{ TоткудаC\t) = ^ к Q (T -1 )-K-1.Интегрируя, получаемC (t) = c0 + 02 Q (T -t)-K,где Со - произвольная константа. ПоэтомуDQ (t) = Co (T -t)2k + ^Q (T - t)K .Константу С0 находим из условия Dq (0) = 0. Тогдаи поэтомуDq (t) = -2 Qo I 1 ^1 -u - T(12)t L tПри к = 1 это переходит в выражениеa t ^ tDq (t) = ß0-|1 ~l,совпадающее с соответствующим выражением в [1]. Графики функцииf (x) = (1 - x)K [1 - (1 - x)K ] при различных к приведены на рис. 2.Заметим еще, чтоQ2 = DQ (t) + Q2 (t) = ^Qo (l -^1 -11 -t2k(13)4. Функция корреляции процесса Q(t)Пусть R(t1,t2) = M{Q(t1 )Q(t2)} есть функция корреляции процесса Q(t), и Rq(tx,t2) = R(tx,t2)-M{Q(tx)}M{Q(t2)} - функция корреляции его флуктуаций. Пусть ti > t2. ТогдаT -12dQ(t2) = -к Щ dt2 + Ь к).a t -12(14)Умножив на Q(t1), имеемт-12\а T- hУсредняя по реализациям, получаем дифференциальное уравнение для R(tx,t2):dR{tx, t2) = к Rft, t2)- к ~5t,T -1,Его общее решение имеет вид R(tx,t2) = C(tj)(T-12)K . Полагая t2 = t1, получаемR(t,, t,) = C(t, )(T -1, )K, C (fi) =(TT - ti )Kоткуда и следует вид R{t1, t2):t2) = Ä(A, ?!)(T -12 )K (T - ti)KТак както2kOlR(ti, ti) = Rq (ti, ti)T(t -12 )K , ßo2(T -11 )K ' t2k(T - ti )2k ,(T -12 )K (T - ti )K == Rq (tx , /! _^2 jK + M{ßft )}M{ß(/2 )} .Отсюда получаем явный вид функции корреляции флуктуаций(T - ti )K(T - ti )KRo (t 1,12 ) = R Cl, ti) (I" '2 }K = Dg (/!) (T " t2 }к , t2 > /t ,(15)или в явном виде при t2 > tiR (h, t2) = ^ ß0i-Ii-T1 - ^(16)Для нормированной функции корреляцииRQ (t1> t2)Г (ti, t2 )■pQ (ti ) Dq (t2 )(17)При к = 1 эта формула переходит в соответствующую формулу из [1].5. Математическое ожидание выручки и его оптимизацияРассмотрим случай, когда зависимость Х(с) может быть аппроксимирована прямой линией:Х(е) = Х0 - Хх(18)Здесь с0 имеет смысл некоторой «стандартной» цены, так что X(c0) = c0. Такаяаппроксимация возможна, если отклонения цены с от с0 незначительны. В этом случае уравнение (3) приобретает видaxX(c) = ax I Х0 +Xx -Xx -T -1откудаc = co I 1 + Т1-л * , J . (19)Так как в единицу времени в среднем совершается А,(с) покупок, средний размер которых равен а\ по цене с, то среднее значение выручки в единицу времениса{Х{с) = co fl + ^-JX-^-Ik^. (20) ^ Xj ajXj T -tJ T -1Усредняя по объему партии товара Q(t), имеющегося в наличии в момент времени t, имеемM{ca1X(c)} = c0f1 + X°V ß c к2 ß2 =c0| 1 +^ |k^-°Г ,f 2 . (21)Xi ) T -t a1X1 (T -t)Xx ) T -t alXl (T -1)Подставляя сюда явные выражения для Q и Dq , получим, что средняя выручка в единицу времениM{calX(c)} = c0 f1 + Vf1 - ^7co *2 ßa I oi f1 - L«iXi (T - г)2 [ a,1 -И -1T+ |1 -T;)2K (22)Отсюда средняя выручка за весь период торговой сессииS = {ca{X(c)}dt. (23)0Вычислим входящие сюда интегралы по времени. Имеемгде сделана замена переменных z = 1 - T. Заметим, что этот интеграл имеет смысл при к > 0.Перейдем к вычислению интегралов, входящих в (23), с учетом (22) со знаком «минус». Первый такой интеграл имеет вид01 T J (T -1)2 T 0T(K-l)f fl -1=1 f z2и конечен лишь при к > 1. Второй интеграл имеет видdt1 Г .2к-2dz _ 1T) (T -1)2 T 0 Т(2к-1) и конечен при к > 0,5.(25)Итак, для данной аппроксимации Х(с) имеет смысл рассматривать лишь случай к > 1. Для негоS = c fl + Q - C°üzQo К2 f- 1 ) €°Q° K2coQo11 ~2'-V Qo -к- 12k- 1) 2к-1° I X, r° cfXJ U- 12к-lJ aX{T 2к-Г Задача выбора оптимального значения к пронимает вида{Х{Т^ ■ min,, \к3Q0а к2 .илиф(к) =+-°-== min . (26)(к- 1)(2к-1) а2 2к-1 кПриравнивая нулю производную от этого выражения по к, получим3К2(К-1)(2К-1) f(4К-3) + (2к(2к-1)-2к2) = 0 . (27)(К-1)2 «2После некоторых упрощений имеем выражение(28)aiQo к(2к2 - 6к + 3) аг ~ 2(к-1)3 ' которое надо решить в области к > 1.Рассмотрим уравнение 2к2 - 6к + 3 = 0 . Его корни6 ±>/36 - 24 3 ±У3к-к-V 21,24 22 . „ „Г 3-л/3 Y 3 + л/злтак что2к - 6к + 3 = 2и поэтому это выражение меньше нуля в области

Скачать электронную версию публикации