THE PROBLEM OF NONLINEAR PROGRAMMING .pdf В современной теории автоматического управление значительное внимание уделяется задачам синтеза динамических регуляторов по критериям H2, Hm [1]. Система с регулятором рассматривается как линейный оператор, действующий из линейного векторного пространства входных сигналов в линейное векторное пространство выходных сигналов S:U-Y. Соответственно вводят нормы сигналов и нормы систем. Наиболее изучены нормы H2, H„. Например, если известна матричная передаточная функция системы G(s), то нормы H2, Hm равны:IGII2 =( 2П *tr °T (-J^G »d col ,где tr(-) след матрицы, ст(-) - максимальное сингулярное число матрицы. Динамические регуляторы, обеспечивающие минимум данных норм, рассчитываются на основе решения двух уравнений Риккати [1]. При этом размер регулятора равен размеру объекта управления.В данной работе предлагается подход к решению задач параметрического синтеза многосвязных динамических систем, близкий к методу оптимизации по критерию H2. Задача параметрической оптимизации формулируется как задача нелинейного программирования. При этом можно учитывать ограничения на параметры объекта управления и регулятора, осуществлять синтез статической и динамической обратной связи по вектору измерений, выполнять одновременно параметрический синтез объекта управления и регулятора.1. Норма системыРассмотрим линейную стационарную систему, поведение которой в пространстве состояний описывается уравнениямиx = Ax, y = Cx , (1)где x - вектор состояния, y - вектор выхода. Будем считать, что система (1) является асимптотически устойчивой и полностью наблюдаемой [2].Систему (1) можно рассматривать как линейный оператор, действующий из линейного векторного пространства X начальных состояний в линейное векторное пространство Yфункций выхода S : X->Y. Введем нормы в пространствах X В пространстве начальных состояний - евклидову норму||x(0)|| = VxT (0)x(0) . В пространстве функций выхода - норму пространства L2(R+)|0ОINI = J ут (t)y(t)dt .Соответственно норма системы как норма линейного оператора определяется соотношениемx(0)*0 ||х(0)||Утверждение. Норма системы (1)И = JXmax (L) ,где L - единственное симметричное положительно определенное решение уравнения ЛяпуноваLA + AT L = -CT C,^max(L) - максимальное собственное число L.Доказательство данного утверждения является достаточно простым и близко к выводу хорошо известной формулы для нормы ||G|| 2. Из асимптотической устойчивости и наблюдаемости системы (1) следует, что уравнение (2) имеет единственное симметричное положительно определенное решение [2]. В силу асимптотической устойчивости справедливо равенствоЩ2 = J уT (t)y(t)dt = xT (0)Lx(0).0Для любого начального состояния выполняется неравенствоXT (0)Lx(0)

Скачать электронную версию публикации