Cellular Automata simulation of wave propagation in inhomogeneous medium .pdf LGCA-модели [1, 2] описывают природные явления множеством частиц, которые движутся в дискретном пространстве. Пространство разбито на множество одинаковых клеток, организованных в регулярную структуру. Каждой клетке ставится в соответствие конечный автомат, состояние которого определяется находящимися в нем частицами. Таблица переходов задается набором правил взаимодействия частиц. Набор правил выбирается таким образом, чтобы при каждом столкновении суммарные масса и импульс всех частиц пространства оставались неизменными. Каждый такт работы автомата разбит на два этапа: столкновение и сдвиг. Все клетки LGCA вычисляют новое состояние синхронно и параллельно, в результате чего происходит изменение глобального состояния LG-автомата. Итеративная смена глобальных состояний LG-автомата описывает динамику моделируемого явления.В работе исследуется возможность клеточно-автоматного моделирования распространения звуковой волны в неоднородных средах. В качестве моделей используются LG-модели на двумерной решетке с четырьмя соседями: HPP [1] и HPPrp [2]. В отличие от HPP-модели, клетки HPPrp-модели, кроме движущихся частиц, могут содержать частицы покоя (rest particles (rp)), которые позволяют моделировать распространение волны с разной скоростью. В данной работе экспериментально исследована зависимость скорости распространения звуковой волны от параметров HPPrp-модели (количества частиц покоя, вероятностей их присутствия в начальном распределении частиц, вероятности создания (разрушения) частиц покоя и плотности движущихся частиц). Приведен способ определения HPPrp-модели и ее параметров по физической скорости звуковой волны в твердом веществе. Промоделировано распространение звуковой волны в среде алюминий - эбонит и эбонит - алюминий. Граница раздела среды не требует дополнительных правил переходов.1. LGA-клеточные моделиВ HPP-модели состояние каждой клетки (HPP-клетки) определяется вектором скорости движущихся частиц v = (v4, v3, v2, vl). Значение (нуль (единица)) 1-гокомпонента, 1 = 1, 2, 3, 4, вектора скорости означает отсутствие (наличие) движущейся частицы по направлению к 1-му соседу. Скорость движущихся частиц одинакова и равна по модулю 1. На рис. 1, а показана HPP-клетка с вектором v = (0,1,1,0).2А2Ä31->- v = (0, 1, 1, 0)31О 84О 2v = (0, 1, 1, 0) m = (0, 1, 0)Y4аУ4бРис. 1. Примеры клеток: HPP-клетка (a) и HPPrp-клетки (б)Частицы в HPP-клетках сталкиваются по следующему правилу.Правило (лобовое столкновение). Две частицы, прилетевшие в клетку с противоположными направлениями скоростей, покидают ее, изменяя направления движения на 90° (рис. 2).-krаб Рис. 2. Правила столкновения частиц в HPP-клеткеВ HPPrp-модели каждая клетка (HPPrp-клетка) может содержать движущиеся частицы и частицы покоя. Состояние HPPrp-клетки определяется вектором масс m и вектором скорости v (рис. 1, б). Частицы покоя имеют одинаковую скорость, равную нулю, и разную массу, равную 2, 4, 8и т.д. Длина вектора масс m = (mr, mrml) не зависит от структуры пространства и равна количествучастиц покоя. Значение компонента mk, k = 1, 2,...,r, в векторе m определяет наличие (отсутствие) частицы покоя c массой 2k в клетке. Далее HPPrp-модель с одной частицей покоя будем обозначать через HPP1rp, модель с двумя частицами покоя будем обозначать через HPP2rp и т.д. Правила столкновения условно можно разбить на три группы.Группа 1 (лобовое столкновение). Независимо от наличия или отсутствия частиц покоя, движущиеся частицы сталкиваются по правилам HPP-клетки (рис.2).Группа 2 (создание частицы покоя). Если в клетке для двух (четырех) движущихся частиц справедливы правила столкновения и частица покоя с массой 2 (4) разрушена, тогда в клетке создается частица покоя с массой 2 (4) и исчезают движущиеся частицы (рис. 3, a).Группа 3 (разрушение частицы покоя). Если в клетке существует частица покоя с массой 2 (4) и отсутствуют 2 (4) движущихся частиц, для которых справедливо одно из правил столкновения, то частица покоя разрушается и появляются 2 (4) движущихся частицы (рис. 3, б).О 8 О 4О 2О 8 О 4О 2О 8 О 4О 2О 8 О 4О 2абРис. 3. Правила создания (а) и разрушения (б) частиц покояЧастицы покоя создаются (разрушаются) с определенной вероятностью Рк,k = 1,2,...,r, причем, при создании (разрушении) частиц покоя должны выполняться следующие условия:rp kpk(1)k=12. Свойства HPPrp-моделейВ терминах клеточно-автоматного моделирования процесс распространения звуковой волны в среде представляется клеточным массивом W (рис. 4). Несколько столбцов массива, начиная с 1-го столбца, образуют источник для моделирования внешнего возмущения. Клетки источника - HPP-клетки. Клетки остальной части массива - HPPrp-клетки. Каждой клетке массива W ставится в соответствие конечный автомат. Таблица переходов автомата имеет 24+r, r = 0,1,..,4, наборов состояний. Правила переходов образуют правила сдвига и столкновения, для них должно соблюдаться условие (1).N-1WРис. 4. Клеточный массив для моделирования волнового процессаКлетки-источники с некоторой вероятностью в течение одного такта генерируют движущиеся частицы. Исходные состояния HPPrp-клеток генерируются в соответствии с набором вероятностей присутствия частиц покоя в начальном распределении частиц. Ниже набор вероятностей будем обозначать через Prp =(pr,pr_jpx), гдеpk , k = 1,2,..., r, - вероятность присутствия k-й частицыпокоя. Краевые условия следующие. Левая граница массива (столбец W0) - стенка с одним правилом столкновения: частица, столкнувшаяся со стенкой, отражается от нее обратно. Правая граница массива (столбец WN_i) открыта, и WN-\ = WN-2 после каждой итерации. Краевые условия для верхней и нижней границ массива -периодические. Ниже массив из HPPrp-клеток, будем называть HPPrp-средой. Клетку среды с координатой (i, j) будем задавать плотностью движущихсячастиц dj и плотностью всех частиц dij. Пусть Vj = (v4 (ij), v3 (if), v2 (ij), vl (ij)) и m j = (mr (ij), mr-1 (ij),..., ml (ij)) - вектор скорости и вектор масс клетки с координатой (i, j) соответственно. Тогда dy = X4=i vt ((/), 5гу = Z4=ivk (//) + Zk=i2kmk (У). Волновой процесс в HPPrp-среде будем характеризовать осредненной плотностью движущихся частиц (р°), осредненной плотностью среды (р1) и осредненной скоростью распространения звуковой волны (vs). Далее (р1) и (vs) будем называть модельной плотностью и модельной скоростью соответственно. Очевидно, что величина плотности (р1) определяется набором вероятностей присутствия частиц покоя P ={pr,pr_1,...,рх). В месте действия внешнего возмущения(р) = (р1) + (р2), где (р1) - плотность начального распределения частиц в среде, (р2) - плотность возмущения. Для заданного радиуса осреднения r, осредненные значения модельной плотности дляу'-го, j = 0, 1,..., N-(r+1), столбца массива Wl=-r Lii=0 "ij -r, 1вычисляются следующей суммой {p,) = -. В табл. 1 приведены зна-J (2r + 1)Mчения плотности (р1) для всех сред при условии, что вероятности присутствия всех частиц покоя в начальном распределении равны 0,5. Очевидно, что для Hpp-среды (р1) = (р°).Таблица 1Модель Hpp Hpplrp Hpp2rp Hpp3rp Hpp4rp(p1) 2 3 5 9 170200l,4 l,8 2,2 2,6Плотность движущихся частиц Рис. 6. Зависимость модельной скорости от плотности движущихся частиц3. Изменение начального распределения частиц покояПри фиксированной плотности движущихся частиц скорость звуковой волны может быть увеличена (уменьшена) за счет уменьшения (увеличения) вероятности присутствия частиц покоя в начальном распределении. Для заданной HPPrp-сре-ды, звук распространяется с наибольшей модельной скоростью в той HPPrp-среде, у которой частицы покоя с максимальной массой имеют минимальную вероятность в начальном распределении частиц (рис.7).0,21,4 1,8 2,2 2,6 Плотность движущихся частиц3,84. Изменение правил столкновенияМодельная скорость волны может быть увеличена (уменьшена) за счет уменьшения (увеличения) вероятности создания частицы покоя из двух (четырех) движущихся частиц. Очевидно, что наибольшую модельную скорость звуковая волна достигает в HPPrp среде с таким набором правил столкновения, в которых вероятность создания частиц покоя уменьшается с увеличением их массы. Так при уменьшении вероятности создания частицы покоя c массой 8 в HPP3rp среде с 0,5 до 0,25, скорость звуковой волны в эксперименте достигла (рис. 8) величины модельной скорости vM звуковой волны, полученной по формуле (2), приведенной в работе [2],2d (d -1)2V = -m4d(d -1) + 2 mkPkdk(1 - dk)k=1где d - средняя плотность движущихся частиц в клетке, т.е., d = (р°>, mk - масса k-й частицы покоя, pk - вероятность наличия k-й частицы покоя в начальном распределении частиц, dk = dmk /(dщ + (1 - d)mk - плотность k-й частицы покоя в клетке среды HPPrp.ло о ft8оя лчРис. 8. Зависимость скорости звуковой волны в HPP3rp среде от плотности при различных вероятностях создания частицы покоя c массой 85. Соответствие физических и модельных скоростей звуковой волныДля клеточно-автоматного моделирования звуковой волны в неоднородных средах, состоящих из нескольких веществ, каждому веществу необходимо поставить в соответствие HPPrp-среду по физической скорости Уф распространения звуковой волны в заданном веществе и наоборот. Для этого нужно определить масштабный коэффициент пересчета скоростей (физической скорости в модельную скорость и наоборот). Пусть звуковая волна распространяется в твердых веществах со скоростью 2000 - 6320 м/с. Максимальную физическую скорость звуковая волна (м/с) достигает в алюминии, максимальную модельную скорость (клетка/итерация) звук достигает в HPP-среде. Следовательно, алюминию можно поставить в соответствие HPP-модель. В общем случае в качестве базовой модели можно взять HPPrp-модель при условии, что отношение физических скоростей звука в веществах не превосходит отношения скоростей в моделях, соответствующих этим веществам. Ниже в качестве базовой модели будем использовать HPP-модель, тогдаНапример, звуковая волна в никеле распространяется со скоростью 5400 м/с; согласно масштабному коэффициенту, модельная скорость звука составляет величину, равную 0,634. Такую скорость звуковая волна может достигать во всех HPPrp-моделях с частицами покоя, но при разной плотности движущихся частиц и заданной вероятности присутствия частиц покоя в начальном распределении (рис.6). Выбор модели зависит от задачи. Чаще всего выбирается та модель, которая при полученной скорости имеет плотность, близкую к равновесному состоянию среды. Если такую модель выбрать нельзя, то следует изменить вероятность присутствия частиц покоя и (или) вероятность создания (разрушения) частиц покоя. Так, для нашего примера, никелю соответствует HPPlrp-среда с вероятностью 0,25 присутствия частицы покоя с массой 2 .6. Результаты КА-моделирования процесса распространения звуковой волны в неоднородных средахВ экспериментах в качестве неоднородных сред рассматриваются два твердых вещества: алюминий (легкая среда) и эбонит (тяжелая среда). Эбониту (уф = 2500 м/с), согласно коэффициенту пересчета ц^), соответствует среда с модельной скоростью, равной 0,3. Модельную скорость ум = 0,3 звук достигает в HPP2rp-среде, которая характеризуется следующими параметрами: плотность (р°) = 2, вероятности присутствия частиц покоя равны р = 0,5, р2 = 0,44, правила столкновения равновероятны. Алюминий, как было определено выше, соответствует HPP-среде. Процесс распространения звуковой волны в неоднородной среде представляется клеточным массивом (размер массива 800 х 200 клеток), состоящим из источника и двух массивов, один массив образован HPP-клетками, второй массив - HPP2rp-клетками. Граница раздела среды не требует никаких дополнительных граничных условий и правил столкновения.Пример 1. (Моделирование волнового процесса в среде алюминий - эбонит.) В эксперименте граница раздела среды проходит по 250-му столбцу клеточного массива. На 300-й итерации звуковая волна наталкивается на границу раздела сред (рис. 9) и происходит преломление и отражение волны.80100 2000050100150200250300350400Длина массиваРис. 9. Распространение волны в среде алюминий - эбонитЭксперимент показал, что звуковая волна распространяется в тяжелой среде (эбоните) со скоростью, равной модельной скорости звуковой волны в среде, соответствующей эбониту (рис. 10). Скорость отраженной волны равна скорости падающей волны.Пример 2. (Моделирование волнового процесса в среде эбонит - алюминий.) В эксперименте граница раздела сред проходит по 180-му столбцу. На 500-й итерации волна доходит до границы раздела эбонита и алюминия (рис. 11). Далее волна плавно переходит в легкую среду. Моделирование показало, что скорость звуковой волны после границы раздела сред, т.е. в алюминии (рис. 12), практически совпадает с модельной скоростью звуковой волны в HPP-среде, которая в нашем случае соответствует алюминию.ЗаключениеВ работе экспериментально исследована зависимость скорости распространения звуковой волны от параметров HPPrp-моделей (плотности движущихся частиц, количества частиц покоя, вероятностей присутствия частиц покоя в начальном распределении частиц и вероятностей создания частиц покоя). Результаты подтверждаются расчетными данными из работы [2]. Приведен способ определения HPPrp-модели и ее параметров по физической скорости звуковой волны в некотором веществе. Промоделирован волновой процесс в неоднородной среде, представляющей два разных вещества (эбонит, алюминий), где переходный слой не требует дополнительных правил переходов. Моделирование показало, что наличие границы раздела в неоднородной среде не изменило скорость звуковой волны в среде за границей раздела (эбоните и алюминии) по сравнению с полученной модельной скоростью звука в однородной среде, соответствующей эбониту и алюминию.

Скачать электронную версию публикации