Fisher information matrix for multivariate method of conditional dynamiccorrelations DCC-MGARCH(1,1).pdf В настоящее время математическое описание и статистическая обработка данных, получаемых как результат деятельности стохастических систем, проводитсяна основе одномерных, зачастую хорошо изученных вероятностных законов.Вследствие значительного роста числа этих систем и усложнения их внутреннейструктуры одномерные распределения уже не могут быть применены адекватно, т.е. они неспособны найти решение с заданной точностью за ограниченное время.Как следствие, огромный интерес представляет задача описания поведения системв целом без редукции на одномерные подзадачи. Это не только облегчает понимание происходящих внутри систем процессов, но и позволяет избавиться от неустранимой погрешности, неизбежно возникающей при факторизации. Именноблагодаря многомерным алгоритмам исследователи надеются построить болееточный и адекватный прогноз вероятного поведения и будущего развития сложных систем.Построению многомерных эконометрических моделей и исследованию структуры и свойств многомерных эмпирических данных посвящена обширная литература. Выделим особо только некоторые из них - в первую очередь, упомянем работы [1 - 5], которые послужили отправной точкой последующих исследований, а также работы [6, 7], обобщающие двадцатилетний опыт применения методов.Однако вместе со всё более и более увеличивающимся количеством предлагаемыхмногомерных алгоритмов все чаще необходимо проводить проверку качестванайденных каким-либо способом оценок коэффициентов этих моделей и доказывать их несмещенность, эффективность и состоятельность. Кроме того, требуетсястроить доверительные интервалы для таких оценок или даже для функций от них. Последнее становится особенно актуальным в свете рассмотрения и учитывания исследователями в своих разработках всё более сложных параметров, например мер риска VaR, CVaR, ES, рыночной цены риска, коэффициентов асимметрии (для обнаружения левередж-эффекта), эксцесса и др.Несмотря на то, что теория информационных матриц развивается более восьмидесяти лет, начиная с фундаментальных работ Фишера 1922 г., их применениек исследованию свойств многомерных эконометрических алгоритмов существен68 О.Л. Крицкийно ограничено. Цикл современных работ на эту тему открывает работа [8]: в ней для моделирования поведения финансовых рынков США, Японии, Германии, Великобритании, Франции, Италии вычислена информационная матрица коэффициентов двумерного метода GARCH(1,1) с использованием постоянной матрицыкорреляций и построен так называемый тест информационной матрицы (IM-test)для проверки гипотезы о стационарности корреляционных матриц на финансовомрынке. Далее, в [9] для описания вероятных в будущем значений восьми высоколиквидных акций США проведены вычисления матрицы Фишера. Предполагалось, что исходная модель удовлетворяла многомерному методу MGARCH(1,1) с диагональной изменяющейся во времени ковариационной матрицей. Наконец, в [10] для DCC-MVGARCH(1,1) c эллиптическим вероятностным законом распределения стандартизированных остатков и с переменной матрицей корреляций вычислены математические ожидания информантов.В настоящей работе проводится построение информационной матрицы Фишера для одного из наиболее общих на текущий момент многомерных эконометрических методов - алгоритма DCC-MGARCH(1,1) [6,7,11]. Потребность в нахождении такой матрицы обусловлена, в первую очередь, необходимостью вычисления оценок неизвестных параметров для алгоритмов семейства многомерныхGARCH в режиме реального времени, например, с помощью скорингового процесса [17], а не классическим методом максимального правдоподобия. Во-вторых, эта матрица может быть использована для доказательства эффективности найденных оценок, так как выполнено следующее предельное соотношение: lim ( ˆ ) ~ (0, 1 ( ))nn Y N J−ҐИЎжЎДҐИ − ҐИ = ҐИ , где ( ) JҐИ ҐИ - информационная матрица, ˆҐИ - оценка для вектора параметров ҐИ , n - количество выборочных данных. Наконец, ее использование позволяетуменьшить число оцениваемых в DCC-MGARCH(1,1) коэффициентов: предположение о слабо меняющихся с ходом времени корреляционных матрицах позволяет упростить DCC-MGARCH(1,1) до CCC-MGARCH(1,1).Далее в работе выдвигается гипотеза (см. далее (6)) и строится критическаястатистика (см. далее (10)). В заключение, информационная матрица используетсяпри исследовании фондового рынка России, для чего формируются пять портфелей из четырех активов, каждый с фиксированными и равными долями внутрипортфеля. Акции выбраны произвольно, но с условием, что торги по ним проходили на ММВБ в течение фиксированного промежутка времени. Первый портфель составлен из обыкновенных акций компаний ЛукОйл, Сургутнефтегаз, Ростелеком, РАО ЕЭС, взяты цены закрытия за период с 02 января 2000 по 27 октября 2006 года (всего 1701 значение). Второй портфель сформирован из обыкновенных акций компаний ГМК Норильский Никель, Аэрофлот, АвтоВаз, Моэнерго, взяты цены закрытия за период с 31 октября 2001 по 23 марта 2007 года (всего1361 значение). Третий портфель состоял из обыкновенных акций компаний Балтика, Роснефть, Росбанк, Полюс Золото, взяты цены закрытия за период с 23 августа 2006 по 24 марта 2007 года (всего 144 значение). Четвертый портфель сформирован из обыкновенных акций компаний РАО ЕЭС, Аэрофлот, Сбербанк, Транснефть, взяты цены закрытия за период с февраля 2003 по март 2007 года(всего 1025 значений). Наконец, пятый портфель составлен из обыкновенных акций компаний РИТЭК, МТС, СибирьТелеком, Татнефть, взяты цены закрытия за период с февраля 2004 по март 2007 года (всего 730 значений). Все данные предоставлены компанией РБК, http://export.rbc.ru, и ФИНАМ, http://www.finam.ru.Информационная матрица Фишера для многомерного метода 691. Общие положенияПостроим информационную матрицу Фишера для метода DCC-MGARCH(1,1)со стандартизированными остатками, удовлетворяющими многомерному нормальному распределению. Пусть { ut} - многомерный ряд логарифмических доходностей ( ) 1 , 2 ,..., T ut = u t u t uK t , рассчитанных для некоторой совокупности цен активов ( ) 1 , 2 ,..., T yt = y t y t yK t : ( ) ( ) , 1 ln ln it it i t u y y− = − , t =1,...,T , i =1,...,K , где K - общее число ценных бумаг портфеля.Предполагая условную гетероскедастичность многомерного временного ряда{ ut} , t =1,...,T , допустим, что его условные математические ожидания равнынулю( ) E uit Ft−1 = 0 , i =1,...,K , а условные дисперсии в фиксированный момент времени t определяются как ( ) D ut Ft−1 = Ht , где ( ) Ht = −hijt − - симметричная положительно определенная ковариационнаяматрица KЎїK, состоящая из дисперсий 2hiit = Ґтit , i =1,...,K , и ковариацийhijt = Ґтijt , 1 ЎВ i < j ЎВ K ; ( ) F Fn nЎГ0 = - фильтрация, определенная Ґт-подалгебрамиFn , такими, что ҐИ = (Ґи1,...,ҐиN ) , если m ЎВ n . Кроме того, предположим, что ut являются условно-гауссово распределенными многомерными случайными величинами: 1/ 2ut = Ht Ґеt , где Ґтit - разложение Холесского для Ht , вектор-столбец Ґеt ~ N (0, IK ) , Dt -единичная матрица порядка K.Пусть дисперсии Ґтi2t , ҐГt , удовлетворяют авторегрессионной зависимости, описывающей одномерный GARCH(1,1)-процесс [12] при каждом фиксированном i: 2 2 2Ґтit = Ґшi - ҐбiҐтi,t−1 - Ґвiui,t−1 , (1)где 2Ґтi,0 = const , Ht = Dt ҐГt Dt , Ґшi ЎГ 0, Ґбi ЎГ 0, Ґвi ЎГ 0 - некоторые параметры, Ґбi -Ґвi < 1, Ґсijt .После нахождения волатильностей 2Ґтit внедиагональные элементы Ґтijt матрицы ковариаций Ht могут быть определены из равенств видаҐтijt = ҐсijtҐтitҐт jt , 1 ЎВ i < j ЎВ K , (2)где Ґсijt - коэффициенты положительно определенной матрицы корреляций ҐГt , участвующей в разложении Ht = Dt ҐГt Dt , Dt - диагональная матрица с элементами Ґтit на главной диагонали.70 О.Л. КрицкийПодлежащие детерминации неизвестные параметры в выражениях (1), (2) объединим в общий вектор ҐИ = (Ґи1,...,ҐиN ) размерности N = 3K -TK (K −1) / 2 : ( ) ҐИ = Ґш1,Ґб1,Ґв1,...,ҐшK ,ҐбK ,ҐвK ,Ґс12t ,Ґс13t ,...,Ґс1Kt ,Ґс23t ,...,ҐсK−1,Kt .В силу предположения о выполнении нормального закона распределения для логарифмических доходностей ut оценивание Ґиi , i = 1, N , проведем методоммаксимального правдоподобия с функциями условных плотностей нормальногозакона распределения (2 ) / 2 det 1/ 2 ( ) exp 1 12K T ft Ht ut Ht ut = Ґр − − ⎛⎜ − − ⎞⎟⎝ ⎠, вычисленныхв T векторах наблюдений u1, u2 ,..., uT , и составим логарифмическую функциюправдоподобия( )1 1lnT T t t t t l l l f = ЎХ ҐИ =ҐТ =ҐТ , (3)где ln 2 1 ln (det ) 1 12 2 2Tt t t t t l = − K Ґр − H − u H− u .Отбрасывая постоянный член ln 22⎛ − K Ґр⎞ ⎜ ⎟⎝ ⎠и учитывая, что Ht = Dt ҐГt Dt , в выражении (3) окончательно имеем1 ln 1 1 1 12 2Tlt Dt tDt ut Dt t Dt ut = − ҐГ − − ҐГ− − 2 1 1 111 ln 1 ln 12 2 2KTt jt t t t t t j u D− − D− u = − ҐГ − ҐТ Ґт − ҐГ , t =1,...,T . (4)В общем случае, когда ut удовлетворяет произвольному вероятностному закону, для получения устойчивых оценок вектора параметров ˆҐИ использованиеметода максимального правдоподобия с функцией lt , взятой в виде (4), корректно(см., например-----, [13,14]) вследствие выполнения асимптотического соотношенияnlim ( ˆ n ) ~ (0, 1 ( ))n Y N J−ҐИЎжЎДҐИ − ҐИ = ҐИ , (5)где JҐИ (ҐИ) - информационная матрица Фишера, состоящая из элементов( ) ( ) ( )iji j l l J E ⎛ ЎУ ҐИ ЎУ ҐИ ⎞ҐИ = ⎜⎜ ⋅ ⎟⎟ ⎝ ЎУҐи ЎУҐи ⎠, i, j = 1, N .Отметим, что даже при малом количестве значений многомерного временногоряда ut , 1 ЎВ t ЎВ T , число оцениваемых коэффициентов Ґиi , i,= 1, N , в DCCGARCH(1,1) будет велико. Кроме того, найденные методом максимальногоправдоподобия оценки корреляционных ˆ ҐГt , а значит, и ковариационныхˆ ˆ ˆ ˆ Ht = Dt ҐГt Dt , t =1,...,T , матриц не обязательно будут положительно определенными [1, 3]. Поэтому модифицируем DCC-MGARCH(1,1) и предположим, что для изменяющихся во времени элементов корреляционной матрицы Ґсijt справедливоследующее соотношение: Информационная матрица Фишера для многомерного метода 71Ґсijt = Ґсij - ҐдijҐеi,t−1Ґе j,t−1 , 1 ЎВ i < j ЎВ K , 1 ЎВ t ЎВ T , (6)где 1Ґеi,t = ui,tҐтi−t - стандартизированные остатки (шумы), 1 1/ 2t Dt Ht t Ґе = − Ґе , Ґсij -элементы некоторой фиксированной матрицы корреляции ҐГ = ҐГs в момент времени t = s.Согласно (6), матрицы ҐГt , 1 ЎВ t ЎВ T , слабо меняются с течением t и могут бытьзаменены на сумму постоянной корреляционной матрицы ҐГ с некоторым белымшумом. Как следствие, размерность вектора ҐИ существенно снижается и составляет N = K2 - 2K : ( ) ҐИ = Ґш1,Ґб1,Ґв1,...,ҐшK ,ҐбK ,ҐвK ,Ґс12 ,Ґс13 ,...,Ґс1K ,Ґс23 ,...,ҐсK−1,K ,Ґд12 ,Ґд13 ,...,ҐдK−1,K . (7)Получим условия, при которых возмущенная ковариационная матрицаHt = DtҐГtDt , где ҐГt - матрица с элементами Ґсij - ҐдijҐеi,t−1Ґе j,t−1 , будет положительно определенной. Сформулируем и докажем теорему 1.Теорема 1. Пусть ( ) ҐД = −Ґдij − , Ґдii = 0 , i, j = 1,..,K , - полуопределенная матрица коэффициентов с нулевой главной диагональю, ( ) Ґе = diag Ґе1,t−1,...,ҐеK,t−1 -диагональная матрица возмущений с элементами одного знака. Тогда Ht положительно определена.Доказательство. Очевидно, что Ht = DtҐГtDt = Dt (ҐГ - ҐеҐДҐе)Dt = DtҐГDt - DtҐеҐДҐеDt = Ht - At , где Ht - исходная невозмущенная положительно определенная матрица ковариаций, ( )T ( )TAt = DtҐеҐДҐеDt = ҐеDt ҐД DtҐе = ҐеDtҐДDtҐе - шум. Рассмотрим подробнее матрицу At.1) Пусть ( ) Ґе = diag Ґе1,t−1,...,ҐеK,t−1 составлена из положительных стандартизированных остатков. Тогда ҐеDt положительно определена, т.е. At как произведениеположительно определенных и полуопределенной матриц будет положительнополуопределенной.2) Пусть ( ) Ґе = diag Ґе1,t−1,...,ҐеK,t−1 составлена из отрицательных стандартизированных остатков. Тогда ҐеDt отрицательно определена, а (−ҐеDt ) будет положительно определенной. Следовательно, At = −(−ҐеDt )ҐД(−(−ҐеDt )) = (−ҐеDt )ҐД(−ҐеDt )тоже будет положительно определенной по доказанному выше первому случаю.Таким образом, в условиях теоремы At всегда положительно полуопределена.Докажем, что Ht = Ht - At положительно определена. Действительно, по определению, для любого вектора V Ўф RK , V ЎБ 0 , имеемT T ( ) T T V HtV = V Ht - At V = V HtV -V AtV .Так как T 0V HtV > , 0 T V AtV ЎГ , то 0 T V HtV > , что доказывает теорему 1.Замечание. Если матрица Ґе составлена из остатков разных знаков, то At будетнеопределенной матрицей и доказать положительную определенность Ht не удается.72 О.Л. КрицкийОтметим, что в выражении (6) при Ґдij = 0 , 1 ЎВ i < j ЎВ K , алгоритм DCCMGARCH(1,1) превращается в известный метод ССС-MGARCH(1,1) [2]. Неоспоримыми преимуществом последнего алгоритма является использование единственной, постоянной по времени корреляционной матрицы ҐГ при моделированиизначений Ht : Ht = Dt ҐГDt , что не только приводит к сокращению числа оцениваемых параметров в вектореҐИ , но и существенно облегчает процедуру расчетов. Действительно, в случае условной нормальности случайных величин ( ) 1 ~ 0, t t t u N H F−оценка максимального правдоподобия ˆҐГ для ҐГ всегда вычисляется как выборочное среднее стандартизированных остатков: 1 1 11ˆTTt t t t t T − D− u u D−ҐГ = ҐТ , (8)причем ˆҐГ почти наверное положительно определена. Далее, (8) позволяет упростить выражения (3), (4) и записать (3) в виде (при условии, что постоянные члены отброшены)1 11 1ln ln 2T T T t t t t t t t l D T D− u u D−= ⎛ ⎞= − − ⎜ ⎟⎝ ⎠ҐТ ҐТ .Поэтому число оцениваемых методом максимального правдоподобия коэффициентов сокращается до N = 3K : ҐИ = (Ґш1,Ґб1,Ґв1,...,ҐшK ,ҐбK ,ҐвK ) .Для проверки справедливости равенств Ґдij = 0 , 1 ЎВ i < j ЎВ K , выдвинем статистическую гипотезу H0 : Ґдij = 0 , 1 ЎВ i < j ЎВ K , о постоянстве матриц корреляцийв разложении Ht = Dt ҐГt Dt , имеющую Q = 0,5(K2 − K ) независимых ограничений. Пусть имеет место альтернативная гипотеза H1 : Ґдij ЎБ 0 , 1 ЎВ i < j ЎВ K .Построим критическую статистику ƒ, для чего используем аналог асимптотического соотношения (5): lim ( ( ) ( ˆ )) ~ (0, ( ) 1 ( ) T ( ))nn l l Y N l J − l ҐИ ҐИ ҐИ ЎжЎДҐИ − ҐИ = ЎФ ҐИ ⋅ ҐИ ⋅ЎФ ҐИ , (9)где ( ) ( ) ( ) ( )1 2, ,..., N l l l ҐИl ⎛ ЎУ ҐИ ЎУ ҐИ ЎУ ҐИ ⎞ЎФ ҐИ =⎜ ⎟ ⎝ ЎУ Ґи ЎУ Ґи ЎУ Ґи ⎠, ˆҐИ - оценка для вектора ҐИ из (7), найденная методом максимального правдоподобия. Соотношение (9) выполненовследствие справедливости леммы Слуцкого о предельном переходе под знакомнепрерывной функции l (ҐИ) . Далее, так как ЎФҐИl (ҐИ)⋅ JҐИ (ҐИ)⋅ЎФTҐИl (ҐИ) - суммаквадратов нормально распределенных случайных величин, то она имеет Ґц2-распределение с Q степенями свободы. Поэтому ƒ можно выбрать в следующем виде: ( ) 1 ˆ ˆ ˆ T S J S −ҐИ Ґг = ⋅ ҐИ ⋅, (10)где Sˆ = ЎФҐИl (ҐИˆ ) .Информационная матрица Фишера для многомерного метода 73Гипотеза H0 принимается с уровнем доверия (1− Ґб) , если 2 ( )Ґг < ҐцҐб/ 2 Q и отвергается в противном случае.Отметим, что информационная матрица JҐИ (ҐИ) полезна не только для вычисления критической статистики (10) и проверки нулевой гипотезы о постоянствематриц корреляций в методе DCC-MGARCH(1,1). Ее можно применять и при построении доверительных интервалов оценок предельных величин риска VaR (более подробно о вычислении VaR можно узнать, например, в [7,15], так как справедливы следующие неравенства (под знаком « ЎВ » понимается некоторое отношение полного порядка на множестве действительных векторов RK ): 1/ 2 1/ 2 ( ) 1/ 2 1/ 2 ( )2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ VAR Zr n IVAR VAR VAR Zr n IVAR − −Ґб − ҐИ ЎВ Ґб ЎВ Ґб - ҐИ , где ƒ - уровень значимости, ( ) grad ( ( )) 1 ( )grad t ( ( ))IVAR g J g −ҐИ = ҐИ Ґб ҐИ ҐИ ҐИ ҐИ Ґб ҐИ , gҐб (ҐИ) - квантильная функция для вероятностного закона F ( x,ҐИ) , задающегораспределение многомерной случайной величины ƒ с реализациями { ut} , 1 ЎВ t ЎВ T , Zr 2 - вектор-квантиль уровня r / 2 стандартного многомерного нормального распределения, (1− r ) - вероятность, с которой полученный доверительный параллелепипед накрывает теоретическое значение VARҐб .Другие возможные применения матрицы Фишера, а также ее основные свойства подробно рассмотрены в монографии [16].Построим информационную матрицу JҐИ (ҐИ) , для чего найдем вектор-градиент ЎФҐИl (ҐИ) и вычислим соответствующие математические ожидания.Дифференцируя дисперсии 2Ґтit , определенные согласно (1), по Ґшi ,Ґбi ,Ґвi , нетрудно доказать справедливость следующих рекуррентных соотношений: 2 2it 1 i,t 1ii i ЎУҐт ЎУҐт −= - Ґб ЎУ Ґш ЎУ Ґш ; 2 22 , 1, 1it i t i t i i i −−ЎУҐт ЎУҐт= Ґт - Ґб ЎУҐб ЎУҐб; 2 22 , 1, 1it i t i t i i i u −−ЎУҐт ЎУҐт= -ҐбЎУҐв ЎУҐв, (11)где2 2 2i,0 0; i,0 0; i,0 0i i i ЎУ Ґт ЎУ Ґт ЎУ Ґт = = ЎУ Ґш ЎУ Ґб ЎУ Ґв , t =1,...,T , i =1,...,K .Так как 1t 1 t 1t t s s −ЎУҐГ − ЎУҐГ −= −ҐГ ҐГ ЎУ Ґи ЎУ Ґи , то координаты вектора-градиента ЎФҐИl (ҐИ) с входящей в него функцией lt , записанной в виде (4), выражаются следующим образом: ( ) ( ) 22112Tit it it i t it i l d ЎУ ҐИ Ґе − ЎУ Ґт = ⋅ЎУҐш Ґт ЎУҐш ҐТ , 1 ЎВ i ЎВ K ; ( ) ( ) 22112Tit it it i t it i l d ЎУ ҐИ Ґе − ЎУ Ґт = ⋅ЎУҐб Ґт ЎУҐб ҐТ , 1 ЎВ i ЎВ K ; ( ) ( ) 22112Tit it it i t it i l d ЎУ ҐИ Ґе − ЎУ Ґт = ⋅ЎУҐв Ґт ЎУҐв ҐТ , 1 ЎВ i ЎВ K ; 74 О.Л. Крицкий( ) ( )1ijTit jt t ij t l d d ЎУ ҐИ = − Ґс ЎУ Ґс ҐТ , 1 ЎВ i < j ЎВ K ; ( ) ( ) , 1 , 11Tijit jt t i t j t ij t l d d − −ЎУ ҐИ = −Ґс Ґе Ґе ЎУ Ґд ҐТ , 1 ЎВ i < j ЎВ K , (12)где ( ) 1 11 , 2 ,..., T dt d t d t dKt t Dt ut = = ҐГ− − , dit - i-я компонента вектора dt , ij Ґсt - элементы обратной матрицы 1tҐГ− , 1t Dt ut , 0 0 Ґе = − Ґе = .Отметим, что из независимости дисперсий 21t Ґт , 22Ґт t ,..., 2ҐтKt в выражении (1) следует, что производныеsЎУ l ЎУ ------ƒиkЎУ l ЎУ Ґш ; s ЎУ l ЎУ Ґб и kЎУ l ЎУ Ґб ; s ЎУ l ЎУ Ґв и kЎУ l ЎУ Ґв ; ...; s ЎУ l ЎУ Ґш и kЎУ l ЎУ Ґв , s ЎБ k , в (12) также являются независимыми, а соответствующие им коэффициенты информационной матрицыJij (ҐИ) = E(ЎУ l / ЎУҐиi ⋅ЎУ l / ЎУҐи j ) = E (ЎУ l / ЎУҐиi ) ⋅ E (ЎУ l / ЎУҐи j ) = 0 , так как математические ожидания информантов равны нулю. В то же время, ЎУ l / ЎУҐсij и ЎУ l / ЎУ Ґдij зависимы друг относительно друга и не могут быть выраженычерез производные от остальных параметров модели. Все это позволяет сделатьвывод, что матрица JҐИ (ҐИ) является блочной и состоит из подматрицAs , s = 1,(K -1) , расположенных на ее главной диагонали. Подматрицы As определяются как математические ожидания произведений частных производных по всевозможным комбинациям параметров, входящим во множества{Ґш1,Ґб1,Ґв1},...,{ҐшK ,ҐбK ,ҐвK } , { } Ґс12 ,..., ҐсK−1,K ,Ґд12 ,...,ҐдK−1,K : ( / (s) / (s) )As = E ЎУ l ЎУҐиi ⋅ЎУ l ЎУҐи j , { } (s) , (s) , , Ґиi Ґи j Ўф Ґшs Ґбs Ґвs , i, j = 1,3 , s = 1,K ; ( ( 1) ( 1) )1 / / K K AK E l i l j - - = ЎУ ЎУҐи ⋅ЎУ ЎУҐи , i, j = 1,K (K −1) , (13)где ( 1) ( 1) { }, 12 ,..., 1, , 12 ,..., 1, K K i j K K K K - Ґи Ґи Ўф Ґс Ґс − Ґд Ґд − .Матрицы A1,..., AK были вычислены в работе [9]: ( )2 24 () ()1 112T K s qt qt ij s s t q qt i j a = ЎУ Ґт ЎУ Ґт Ґт ЎУҐи ЎУҐи ҐТ ҐТ , (14)где (s)aij - элементы As , i, j = 1,3 , s = 1,K .Определение функционального вида зависимостей для элементов подматрицыAK-1 сделано впервые. Приведем здесь только конечный результат, отмечая, что при вычислении AK-1 были использованы формулы (12), введены вспомогательные матрицы ( ) 1 1Ct cij t Dt = − − = ҐГ− − , ( ) 1/ 2Bt = −bij − = Ht ; под знаком K-мерногоинтеграла, определяющего математическое ожидание, была сделана замена переменного u = Bt y , где y - новая некоррелированная случайная величина, и вычислены возможные моменты четвертого порядка многомерного нормального распределения. Например, были получены следующие равенства: Информационная матрица Фишера для многомерного метода 75( ) 1 1 21 1 24 4, , , 13 6KKi is i s i s R s s s u f u du b b b = ЎБЎт = ҐТ - ҐТ , i = 1,K ; ( ) 1 2 21 22 2, , , K 1 1K K i j q is js qs R s s u u u f u du b b b = Ўт = ҐТ ҐТ , i, j = 1,K , где ( ) (2 ) / 2 det 1/ 2 ( ) exp 1 12K T f u Ht u Ht u = Ґр − − ⎛⎜ − − ⎞⎟⎝ ⎠, ( 1, 2 ,..., ) T u = u u uK .Заметим также, что AK-1 также является блочной с подматрицами размерности K(K - 1)/2 Ўї K(K - 1)/2: 1 212 3K T M M A M M ⎛ ⎞=⎜ ⎟⎝ ⎠, причем блок ( (1) )M1 = −mҐл,Ґз − построен из математических ожиданийE (ЎУ l / ЎУҐиҐл ⋅ЎУ l / ЎУҐиҐз ) по параметрам { } ҐиҐл ,ҐиҐз Ўф Ґс12 ,..., ҐсK−1,K , ( ( ) ) 2M2 = −mҐл,Ґз − - из E (ЎУ l / ЎУҐиҐл ⋅ЎУ l / ЎУҐиҐз ) по { } ҐиҐл Ўф Ґс12 ,..., ҐсK−1,K , { } ҐиҐз Ўф Ґд12 ,..., ҐдK−1,K , ( (3) )M3 = −mҐл,Ґз − - из E (ЎУ l / ЎУҐиҐл ⋅ЎУ l / ЎУҐиҐз ) по { } ҐиҐл ,ҐиҐз Ўф Ґд12 ,..., ҐдK−1,K . Тогда( ) ( ) 41 , , , , , 6 71 1/ T m s i j i j m s ij ms p t p mҐл Ґз E l l F F F = = ЎУ ЎУҐс ⋅ЎУ ЎУҐс =ҐТҐТ − Ґс − Ґс - Ґс Ґс , Ґл,Ґз = 1,K (K −1) / 2, (15)где1 1 2 2 1 3 2 3 1 3 2 3 1 4 2 4 1 3 2 41 2 3 3 4 3 42 2 2 21 i s j s ms s s 3 s s s s 3 s s s s s s s s s s s s s s s s s s s F cc c c b b b b b b b b ЎБ ЎБ ЎБ⎡ ⎤= ⎢ ⋅ - ⋅ - ⎥⎢⎣ ⎥⎦ҐТ ҐТ ҐТ ҐТ ; 1 1 1 1 1 2 1 2 1 31 2 2 342 3 i s j s ms s s s s 2 s s s s s s s s F ccc c b b b ЎБ⎡ ⎤= ⋅ ⎢ - ⋅ ⎥⎢⎣ ⎥⎦ҐТ ҐТ ҐТ ; 1 1 2 3 1 4 2 5 3 51 2 3 4 523 2 i s j s ms s s s s s s s s s s s s s F c c c c b b b ЎБ⎡ ⎤= ⋅ ⎢ ⎥⎢⎣ ⎥⎦ҐТ ҐТ ҐТҐТ ; 1 2 3 4 1 5 2 5 3 5 4 51 2 3 4 54 i s j s ms s s 3 s s s s s s s s 5s s s s s F c c c c b b b b F ЎБ ЎБ⎡ ⎤= ⎢ ⋅ - ⎥⎢⎣ ⎥⎦ҐТ ҐТ ҐТ ; ( ) 1 5 2 6 1 5 3 6 1 5 4 6 2 5 3 6 2 5 4 6 3 5 4 65 65 ss s s ss s s ss s s s s s s s s s s s s s s s s F b b b b b b b b b b b b ЎБ= ҐТ - - - - - ; 1 1 12 1 2 13 231 2 1 2 326 is js s s is js s s s s s s s s s F ccb cc b b ЎБ=ҐТҐТ - ҐТ ҐТ ; 1 1 12 1 2 13 231 2 1 2 327 ms s s s s ms s s s s s s s s s s s F c c b c c b b ЎБ=ҐТҐТ - ҐТ ҐТ .76 О.Л. КрицкийАналогично, (2) ( ) ( )mҐл,Ґз = E ЎУ l / ЎУҐсij ⋅ЎУ l / ЎУҐдms = E ЎУ l / ЎУҐсij ⋅ЎУ l / ЎУҐсms Ґеm,t−1Ґеs,t−1 , Ґл,Ґз = 1,K (K −1) / 2, (16)так как значения шумов Ґеm,t−1, Ґеs,t−1 , вычисленные в предыдущий момент времени, считаются известными. Окончательно, (3) ( ) ( )mҐл,Ґз = E ЎУ l / ЎУҐдij ⋅ЎУ l / ЎУҐдms = E ЎУ l / ЎУҐсij ⋅ЎУ l / ЎУҐсms Ґеi,t−1Ґе j,t−1 Ґеm,t−1Ґеs,t−1 , Ґл,Ґз = 1,K (K −1) / 2 . (17)2. Эконометрический анализ цен акцийИнформационные матрицы JҐИ (ҐИ) с блоками (13) - (17) используем для проверки статистической гипотезы H0 о постоянстве матриц корреляций рисковыхактивов на российском фондовом рынке. Гипотеза выдвинута с целью уменьшения числа оцениваемых параметров в методе DCC-MGARCH(1,1) и для упрощения его расчетной структуры. Рассмотрим пять портфелей по четыре актива в каждом. Первый портфель (П1) составим из обыкновенных акций компаний ЛукОйл, Сургутнефтегаз, Ростелеком, РАО ЕЭС, зафиксируем цены закрытия за период с 02 января 2000 по 27 октября 2006 года (всего 1701 значение). Второйпортфель (П2) сформируем из обыкновенных акций компаний ГМК НорильскийНикель, Аэрофлот, АвтоВаз, Моэнерго, учтем цены закрытия за период с 31 октября 2001 по 23 марта 2007 года (всего 1361 значение). Третий портфель (П3) составим из обыкновенных акций компаний Балтика, Роснефть, Росбанк, Полюс Золото, при этом учтем цены закрытия за период с 23 августа 2006 по 24 марта 2007года (всего 144 значение). Четвертый портфель (П4) составим из обыкновенныхакций компаний РАО ЕЭС, Аэрофлот, Сбербанк, Транснефть, возьмем цены закрытия за период с февраля 2003 по март 2007 года (всего 1025 значений). Наконец, пятый портфель (П5) составим из обыкновенных акций компаний РИТЭК, МТС, СибирьТелеком, Татнефть, зафиксируем цены закрытия за период с февраля 2004 по март 2007 года (всего 730 значений).Отметим, что количество акций K = 4 в (П1) - (П5) выбрано для простотыпредставления результатов, получаемых при вычислениях.Нормированные на собственную максимальную величину цены акций портфелей (П1) - (П5) приведены на рис. 1, a - e.Перед конструированием информационной матрицы JҐИ (ҐИ) была проверенастатистическая гипотеза об условной гетероскедастичности исходных цен активов, формирующих (П1) - (П5). Как известно [17], такое исследование осуществляется с помощью ARCH-теста (или теста Энгла), примененного для остатковвременных рядов с выдвинутой нулевой гипотезой H0 об их условной гомоскедастичности. Так как одномерный GARCH(p,q)-процесс является локальнымARCH(p-q)-процессом, то критическая статистика теста подчинялась Ґц2-распределению с (p-1) степенью свободы.Информационная матрица Фишера для многомерного метода 770 500 t, дни 0,2ЛукОйл110000,40,60,8 Сургутнефтегаз0,2010,40,60,8500 1000 t, дни РостелекомРАО ЕЭС 0 400 t, дни 0,2ГМК НорНикель18000,40,60,8 Аэрофлот0,2010,40,60,8 АвтоВазМосэнерго200 600 1000 200 400 600 800 1000 t, дни 0 t, дни Балтика0,80,7510,850,90,95 РосбанкПолюс Золото200,8 Роснефть0,7510,850,90,950,510,90,60,70,810,90,70,840 60 80 100 0 20 40 60 80 100 t, дни 00,210,40,60,80,2010,40,60,800,210,40,60,80,2010,40,60,8abcРис. 1. Нормированные котировки активов портфелей (П1) - (П5): а - (П1); b - (П2); c - (П3)78 О.Л. Крицкий0 400 t, дни 0,2010,40,60,8Аэрофлот0,2010,40,60,8 СбербанкТранснефть600РАО ЕЭС 200 0 200 400 600 t, дни 0 2000,214000,40,60,8МТС0,210,40,60,8СибирьТелеком300РИТЭК100 500 0 100 200 300 400 500Татнефтьt, дни t, дни d eРис. 1 (продолжение). Нормированные котировки активовпортфелей (П1) - (П5): d - (П4); e - (П5)Проведенные для (П1) - (П5) вычисления показали наличие гетероскедастичности (отсутствие гомоскедастичности) во всех временных рядах портфелей. В связи с большим объемом полученной информации представим результаты только для (П1) и сведем их в табл. 1 при уровне значимости ƒ = 0,05.Таким образом, исходное предположение об условной гетероскедастичностимногомерных временных рядов в портфелях выполнено, что позволяет находитьдисперсии 2Ґтit в соответствии с равенством (1). Так как 2 2Ґт1t ,...,ҐтKt независимыдруг от друга, то для их отыскания был использован классический одномерныйметод GARCH(1,1) [12,18] с лагом k = 20. Далее, в соответствии с (8) в каждыйфиксированный момент времени t, t = 1,,T, вычислялись оценки максимальногоправдоподобия ˆ ҐГt для условных корреляционных матриц ҐГt : 1 1 11ˆtTt s s s s s t− D− u u D−ҐГ = ҐТ , Информационная матрица Фишера для многомерного метода 79которые по построению будут симметричными и положительно определенными.Тогда Hˆ t = Dt ҐГˆ t Dt будут положительно определенными ковариационными матрицами и для них существуют как разложения Холесского ˆ T Ht = Bt Bt , так и обратные матрицы ˆ 1 1 Ct t Dt = ҐГ− − . Используя ,Bt Ct в (15) - (17), волатильности 2Ґтit и рекуррентные соотношения (11) в выражении (14), формируя блоки (13), получаем оценки информационных матриц JҐИ (ҐИˆ ) в каждый момент t, t=1,,T. Далее, находим градиенты ЎФҐИl (ҐИˆ ) с учетом соотношений (12) и обращаем JҐИ (ҐИˆ ) , еслиэто возможно, методом Гаусса с выбором главного элемента. Наконец, вычисляемкритическую статистику (10) и сравниваем ее с 2 ( )Ґц0.975 6 = 14,4494, принимая или отклоняя гипотезу H0 .Т а б л и ц а 1Результаты ------------ARCH-теста остатков временных рядов в (П1)Лаг, ЛукОйл Сургутнефтегазp H0Критическаястатистика ( ) 2 p 1 ҐцҐб - H0Критическаястатистика ( ) 2 p 1 ҐцҐб 10 отклонена 214,4705 19,6751 отклонена 263,4729 19,675115 отклонена 230,1417 26,2962 отклонена 266,2571 26,296220 отклонена 244,1521 32,6705 отклонена 271,4537 32,6705Лаг, Ростелеком РАО ЕЭС p H0Критическаястатистика ( ) 2 p 1 ҐцҐб - H0Критическаястатистика ( ) 2 p 1 ҐцҐб 10 отклонена 103,3072 19,6751 отклонена 189,1452 19,675115 отклонена 107,4401 26,2962 отклонена 253,1871 26,296220 отклонена 108,2795 32,6705 отклонена 259,3961 32,6705Проведенные расчеты статистик ƒ для акций портфелей (П1) - (П5) позволиливыявить на российском рынке торговые дни трех основных типов (классов). К первому типу (T1) относятся дни, для которых выполнена гипотеза о постоянствематрицы корреляций и применим упрощенный эконометрический метод СССMGARCH(1,1). Далее, ко второму типу (T2) относятся дни, для которых отклоняется H0 и соответственно обязательно используется более сложный алгоритмDCC-MGARCH(1,1). Наконец, к третьему типу (T3) относятся дни, в которых определитель ( ) ( ) ˆ det JҐИ ҐИ равен нулю, обратная матрица ( ) 1 ˆ J−ҐИ ҐИ не существует, а статистика ƒ не определена. Моменты времени, входящие в T3, наиболее интересны для анализа, так как для них имеет место линейная зависимость строк в блочной матрице AK-1 и, как следствие, обнаруживается функциональная связь междукорреляциями котировок различных акций в каком-либо портфеле. Значит, некоторые предприятия-эмитенты изначально более тесно связаны друг с другом (даже если они и не принадлежат одной отрасли экономики), а движение их котировок происходит из-за наступления одних и тех же фундаментальных событий, например, из-за движения капитала (притока или оттока) на финансовом рынке или благодаря поступлению новостей и т.п. Кроме того, можно говорить и об исполь80 О.Л. Крицкийзовании инсайдерской информации, так как наблюдаются согласованные покупкии продажи всех активов портфелей (иначе говоря, существуют торговые дни, которые относятся к классу T3 для всех П1 - П5 одновременно).Количество торговых дней каждого типа T1 - T3, найденное для портфелейП1 - П5, приведено в табл. 2.Т а б л и ц а 2Распределение торговых дней различных типов по портфелям акцийТорговые Тип портфелядни П1 П2 П3 П4 П5Т1 827 614 45 439 219Т2 813 611 67 500 454Т3 41 116 12 66 57Как следует из результатов вычислений, представленных в табл. 2, гипотеза о постоянстве матрицы ковариаций в разложении Ht = Dt ҐГt Dt отвергается. Следовательно, использование алгоритма ССС-MGARCH(1,1) на всем временном промежутке не обосновано, и для получения более точных результатов нужно применять более сложный метод DСС-MGARCH(1,1). При этом число оцениваемых параметров в DСС-MGARCH(1,1) можно существенно уменьшить, если принять допущение (6) о характере зависимости элементов матрицы ҐГt .При вычислении критической статистики (10) для портфелей (П1) - (П5) был обнаружен любопытный эффект: торговые дни T1 (T2), в которые выполнена (отклонена) гипотеза H0 , стремятся следовать друг за другом (рис. 2, для наглядности дни T3 исключены).0 20 t, дни 110 30 40 50 60Рис. 2. Последние 64 торговых дня типов Т1 - Т2 для портфеля П3.Единицей обозначены элементы Т1, нулем - Т2.По аналогии с хорошо изученным и описанным в литературе эффектом кластеризации волатильности [7], справедливым для одномерных временных рядов, назовем наблюдаемое поведение портфелей кластеризацией обобщенной волатильности или кластеризацией матриц ковариаций.Далее, замечено, что изменение типизации с T1 до T2 и с T2 до T1 происходитчерез моменты времени T3. При этом для дней T1 характерно умеренное изменение суточной волатильности в пределах от 0 до 2 % по каждому из активов, в то время как для дней T2 ее поведение более стохастично: суточная одномерная волатильность превосходит 2 %.Информационная матрица Фишера для многомерного метода 81Доказанная несостоятельность гипотезы о применении алгоритма СССMGARCH(1,1) на российском фондовом рынке способствовала дальнейшему эконометрическому анализу поведения портфелей (П1) - (П5) с использованиемDСС-MGARCH(1,1). Так как этот анализ выходит за рамки исследований даннойработы, позволим себе привести только некоторые конечные результаты: построен вероятный сценарий будущей стоимости портфелей (П1) - (П5) с использованием нормального, ƒ-устойчивого [15] и STS-распределений [15, 18], причем для последнего из этих распределений достигнута наибольшая точность вычислений.Например, для портфеля (П1) относительная погрешность между моделируемымии известными значениями четырех временных рядов не превосходила 4,1 %, для (П2) - 4,8 %, для (П3) - 6,7 %, для (П4) - 6,4 %.ЗаключениеНайдена аналитическая форма записи информационной матрицы Фишера для алгоритма DCC-MGARCH(1,1). Она применена при исследовании фондовогорынка России. Проведенные вычисления выявили на российском фондовом рынкеторговые дни трех основных типов T1 - T3, причем изменение типизации с T1 до T2 и с T2 до T1 происходит через моменты времени T3. Кроме того, обнаруженэффект кластеризации многомерной волатильности (матриц ковариаций).

Скачать электронную версию публикации