Research of a parallel implementationof the splitting method for the heat conductivity problem on clustered computersystems.pdf Задачи механики сплошных сред относятся к классу трудоёмких, для их реше-ния целесообразно применять распределённые вычислительные системы (ВС) спрограммируемой структурой [1, 2] и параллельные вычислительные методы.Использование параллельных методов решения задач в теории позволяет по-лучить обратную линейную зависимость времени их решения от количества ис-пользуемых элементарных машин (ЭМ). Однако к такому идеальному ускорениюудаётся приблизиться лишь при применении крупноблочного распараллеливания,и при условии, что время, затрачиваемое ВС на обмен данными между ЭМ, пре-небрежительно мало по сравнению со временем, которое ВС тратит на счёт [1].Практически же временные затраты на межмашинные обмены данными приводятк нелинейной зависимости общего времени выполнения параллельной программыот количества ЭМ.1. Постановка задачиЦелью работы является определение оптимальных параметров, при которыхдостигается минимум времени выполнения параллельной программы на про-странственно-распределённой мультикластерной вычислительной системе. Нели-нейная зависимость времени выполнения программы от числа параллельных вет-вей приводит к тому, что не всегда для решения задачи целесообразно задейство-вать все ресурсы ВС.Решение широкого класса задач механики сплошных сред приводит к числен-ному решению уравнений, подобных уравнению теплопроводности. Поэтому ис-следовав это уравнение и получив качественные оценки, мы одновременно полу-чим рекомендации для параллельной реализации методов решения широкого рядазадач.В качестве объекта исследования был выбран параллельный алгоритм реали-зации схемы расщепления [3] для уравнения теплопроводности t Ut =Uxx+Uyy ,определённого в квадратной области ƒ={x,y[0,1]} с заданными начальнымиU(0,x,y) = 0 (при любых x,yƒ) и граничными U(t,x,y) =1 (при любомt > 0 ) условиями.Для построения численной модели в области ƒ задаётся сетка, равномернаяпо пространственным ( x = ih , y= jh, где i, j = 0...N и h= 1N) и по временной(t=nƒ ) осям. Значение сеточной функции n ( , , )Uij =Unƒih jh . Для численного ре-шения выбранной системы воспользуемся методом расщепления. Выбор методаобусловлен наличием естественного параллелизма, т.е. возможности выделенияучастков, в пределах которых возможны независимые вычисления.Метод расщепления для модельной задачи в операторной записи имеет вид121211 21,2.2n nij ij nx ijn nij ij ny ijU UUU UU+++ ++− ⎫= ƒ ⎪⎪⎬− ⎪= ƒƒƒ ⎭⎪(1)Здесь ƒx, ƒy - суть разностные операторы второй производной по пространст-венным переменным x и y соответственно. Начальные условия - Ui0j = 0 , гра-ничные условия - 0n n n0 n 1Uj=UNj=Ui =UiN= для i, j.2. Построение параллельного алгоритмаВыделим в алгоритме участки, где возможны независимые вычисления. Обо-значим значение сеточной функции на целом шаге как nUij =Uij , и 1n 2Wij Uij + = -значение на дробном шаге, первое уравнение системы (1) представим в следую-щем виде:1, 1,222ij Uij Wi j Wij i jhW− + − +W−ƒ= . (2)Положим в (2) a= ƒ 2h2 , c=1+ ƒh2 . Для каждого j= 1,,N−1 система урав-нений примет вид2 1 0 1 11, 1,1, 2, 1, 1,,,.j j j j ji j ij i j ij ijN j N j Nj N j N jaW cW aU U YaW cW aW U YcW aW aU U Y+ −− − − −− + = + ⎫⎪− + − = ⎬⎪− = + ⎭

Скачать электронную версию публикации