Critical phenomena on self-similar lattices.pdf Не так давно перед учеными встала задача разработки методов неразрушаю-щего контроля усталости металлов. Выяснилось, что система трещин в металле может успешно моделироваться самоподобными решётками [1]. На таких решётках может быть построена модель Изинга, которая позволяет смоделировать интересующие нас свойства ферромагнетиков, кроме того, позволяет вычислить температуру, называемую температурой Кюри, при нагревании до которой происходит фазовый переход и потеря веществом способности к спонтанному намагничиванию. Исходя из значения температуры для рассматриваемого металла, можно сделать вывод о его усталости. Обзор «The American Physical Society» позволил найти две статьи [5, 7], в которых было описано как применить метод высокотемпературного разложения магнитной восприимчивости к конкретному ковру Серпинского бесконечного порядка ветвления. За основу для написания программы была взята статья D.A. Fabio «High-temperature series expansion for Ising-like systems on fractals» [7], используя идеи которой были созданы конкретные алгоритмы для решения задачи. Невозможность применения формул, предложенных в статье [7], сделала необходимым корректировку данных формул и разработку новых, которые приведены в тексте этой статьи. 1. Модель Изинга В качестве энергии состояния или конфигурации с двумерной модели Изинга назовём функционал £(ст) = -J £стx^ - HX . (1) (x,y) х В первом слагаемом суммирование ведётся по всем парам соседних узлов (х, y), во втором - по всем узлам решётки х. При этом J, H - некоторые параметры. 2013 № 3(24) Управление, вычислительная техника и информатика Если J и H в выражении (1) положительны, то модель Изинга описывает идеализированную физическую систему - двумерный ферромагнетик. Решётка модели соответствует кристаллической решётке магнетика, спины изображают магнитные моменты атомов кристалла. Параметрам J и H можно придать физический смысл: H - это напряженность внешнего магнитного поля, перпендикулярного плоскости решётки, а J характеризует взаимодействие магнитных моментов. В основном состоянии все спины направлены в одну сторону, что приводит к возникновению ненулевого магнитного момента всего кристалла. Рассмотрим случай J > 0. Величина ( \ (2) Zn =Е ^T =Е exp K £а,CTj + h£a^ а а V (x,y) x 7 где K = J / T , h = H / T, T - абсолютная температура, называется статистической суммой или статсуммой. Суммирование ведётся по всем возможным состояниям системы. Точно были решены лишь одномерная модель Изинга с учётом влияния внешнего магнитного поля [2] и двумерная модель Изинга вне присутствия внешнего магнитного поля [3]. Также было доказано [4], что для модели, выполненной на самоподобной решётке, можно построить точное решение, если эта решётка имеет конечный порядок ветвления, то есть распадается на две части путём совершения конечного числа разрезов по рёбрам. В этом случае фазового перехода не будет, так как ферромагнитные свойства не проявляются и, как следствие, критическая температура - нулевая. Соответственно ни трехмерная модель Изинга, ни модель на самоподобной решётке бесконечного порядка ветвления решена не была. Попытка построить приближенное решение для самоподобной решётки, оперируя непосредственно со статистической суммой и используя разложения, полученные в решении двумерной модели, не удалась из-за низкой точности результатов. Отсюда был сделан вывод, что исследовать надо не саму статсумму, а некую производную от неё функцию. Наиболее точным для любых видов самоподобных решёток является метод высокотемпературного разложения. Данный метод позволяет непосредственно получить частичную сумму ряда, в которую разлагается магнитная восприимчивость х ферромагнетика. 2. Высокотемпературное разложение для магнитной восприимчивости Известно, что магнитная восприимчивость задаётся следующим выражением: (3) где ZN (v,т) = (chPJ)2N (chpH)N ХП (1 + vaа; )П(1 + ^). (4) k Здесь v = th(PJ), т = th(pH), p = — kT a} Переходя к термодинамическому пределу и используя разложение в ряд Тейлора при т = 0, получаем lim-^lnZN (v,т) = lnZ(v) +1 t2x(v) + ... , (5) NN 2 где x(v) - магнитная восприимчивость при нулевом внешнем магнитном поле. Используя тот же способ выделения путей на решётке, что и ранее, и учитывая тот факт, что £ст = 0, £ст2 = 2, (6) ст=±1 ст=±1 получаем X (v) = 1 + ^drvr, (7) r>1 где dr =Х 2r(g )Wr (g). (8) g

Скачать электронную версию публикации