Necessary optimality conditions in optimal control problems by discrete-continuous systems.pdf В работах [1, 2] изучены задачи оптимального управления, соответственно, описываемые интегральными и разностными уравнениями типа Вольтерра, доказаны необходимые условия оптимальности, найдены условия управляемости и др. Предлагаемая работа посвящена изучению одной ступенчатой задаче оптимального управления, описываемой разностными и интегро-дифференциальными уравнениями типа Вольтерра. 1. Постановка задачи Рассмотрим задачу о минимуме функционала S (и, у) = Ф(х (t1 )) + ф( j (Г)) (1) при ограничениях х(t +1) = I f (t,х,х(т),и(т)), t е T ={t0,t0 +1,to + 2,...,^ -1} х (to ) = у (t) = J g (t, т, у (т), v (т)) т, t е Г2 = [t1, T] у (t1 ) = G (x (t1)). Здесь t0, t1, T, x0 заданы, причем разность t1 -10 - натуральное число; ф(х) и ф(у)- заданные, дважды непрерывно дифференцируемые скалярные функции; f (t, т, х, и) - заданная «-мерная вектор-функция, непрерывная по совокупности переменных, вместе с частными производными по (х,и) до второго порядка включительно; g (t, т, у, v) - заданная га-мерная вектор-функция, непрерывная по совокупности переменных, вместе с частными производными по (у, v) до второго порядка включительно; G (х) -заданная дважды непрерывно дифференцируемая га-мерная вектор-функция; и (t) - r-мерный вектор управляющих воздействий со значениями из заданного непустого, ограниченного и открытого множества U; v(t) - r-мерный кусочно-непрерывный на Г2 вектор управляющих воздействий со значениями из заданного непустого, ограниченного и открытого множества (V) , т.е. t I т=с х t 0 ' (2) u (t)eU с Rr, t e T, v(t)eF сR", te T2. Пару (u (t), v (t)) с вышеприведенными свойствами назовем допустимым управлением, а соответствующий процесс (u (t), v (t), х (t), у (t)) - допустимым процессом. Целью данной работы является вывод необходимых условий оптимальности первого и второго порядков в рассматриваемой задаче. 2. Первая и вторая вариации функционала качества Считая (u°(t), v°(t), х°(t), y° (t)) оптимальным процессом, обозначим через (u (t) = u° (t) + Au (t), v (t) = v° (t) + Av(t), х (t) = х° (t) + Ах(t), у (t) = y° (t) + Ах(t)) произвольный допустимый процесс и запишем формулу приращения функционала: AS (u°, v °) = S (u, v)-S ( u°, v°) = 9(x (ti ))-Ф( х°( ti )) + ф( у (T ))-Ф(у °(T )). (4) Ясно, что приращение (Ах (t), Ay (t)) траектории ( х °(t), y °(t)) будет удовлетворять системе Ах(t +1) = £[ f (t,т,х(x),u (т))-f (t,т,х0 (x),uo (x))], (5) x=t0 Ах (t0 ) = 0, t e T , (6) t АУ ()={[ g (t, x, у (x), v (x))-g (t, x, y0 (x), v0 (x))] d x, t e T2, (7) ti Ау (ti ) = G ( х (ti))-G ( х0 (ti)). (8) Обозначим через (у (t),p (t)) пока неизвестную (n + m) - мерную вектор-функцию. Умножая обе части соотношений (5), (7) соответственно на у(t) , p (t) скалярно, а затем, суммируя и интегрируя полученные тождества по множествам Ti и T2, будем иметь 2y'(t)Ах(t + = y'(x)[f (x,t,х(t),u (t))-f (x,t,х0 (t),u0(t))] , (9) T T T Jp'(t)Ау(t)dt = Ц p'(x)[g(x,t,у (t),v (t))-g(x,t,у0 (t),v0 (tdt. (i0) ti ti t Ясно что, jjy'(t)Ах(t + i) = v'(ti - 1)Ах(ti) + j2y'(t- 1)Ах(t) , t =Iq t =Iq T T J p'(t )Ау (t )dt = p' (T )Ау (T )-p ' (ti )Ау (ti )-J p '(t )Ау (t )dt. ti t Отсюда с учетом (8) будем иметь T T J p'(t) Ау (t )dt = p ' (T )Ау (T )-p ' (ti )(G (х (ti))-G (х° (ti )))^^p'(t) Ау (t )dt. ti ti Принимая во внимания эти тождества, формула приращения (i) записывается в виде AS(u0, v0) = Ф(x (t1)) - Ф(x„ (t1)) + ф(y (T)) - ф(y„ (T)) + у'(t1 -1) Ar ft ) + +X y'(t -1) Ax (t )-£ X y'(x)[ f (t, t, x (t), u (t))-f (x, t, x„ (t), u „ (t ))] + +p'ft) Ay (T )-p'ft )(G (x (t1))-G (x „ ft )))-j p' (t )Ay (t )dt t1 T T -jj p'(x)[ g (x, t, y (t), v (t))-g (x, t, y 0(t), v0(t))] d x dt.

Скачать электронную версию публикации