Simulating of electromagnetic scattering from a structure consisting of an impedance and a magnetodielectric bodies.pdf Изучение электромагнитных полей, рассеянных структурами, состоящими из нескольких тел различной физической природы, размеры которых сравнимы с длиной волны падающего на структуру поля, имеет большое значение для решения ряда практически важных проблем, возникающих в радиолокации, радионавигации, дефектоскопии, антенной технике и других областях. К таким проблемам относятся, например, проблема радиолокационной заметности объектов, проблема идентификации объектов, проблема электромагнитной совместимости радиоэлектронных средств и др. Особый интерес представляет случай, когда расстояние между телами структуры много меньше длины волны. Корректная (с учётом электромагнитного взаимодействия тел) постановка исследований подобного рода приводит к необходимости решения граничных задач теории рассеяния на системах тел. Для задач рассматриваемого класса речь идёт о нахождении решений уравнений Максвелла, удовлетворяющих заданным граничным условиям на поверхностях тел и условиям излучения на бесконечности. В подавляющем большинстве случаев получить аналитическое решение таких задач не удаётся, поэтому используются различные численные методы. Например, в [1] для решения задачи электромагнитного рассеяния на двух и трёх диэлектрических сферах использован метод граничных элементов, а в [2] для решения подобной задачи использован метод интегральных уравнений. В последние годы применительно к решению задач электромагнитного рассеяния на группах тел существенно развит метод дискретных источников [3-5]. В этом методе неизвестное поле в рассматриваемой области и на её границах представляют в виде конечной линейной комбинации полей некоторой системы источников, размещённых вне этой области. Такая конструкция удовлетворяет системе уравнений Максвелла и условиям излучения (где это необходимо). Коэффициенты линейной комбинации определяются путём удовлетворения граничным условиям на поверхности рассеивателя. В силу своей идейной простоты метод удобен в качестве основы для построения решений задач электромагнитного рассеяния как на одиночных телах, так и на группах тел. В данной работе предложенный в [5] вариант метода дискретных источников использован для моделирования электромагнитного рассеяния на структуре, состоящей из импедансного и магнитоди-электрического тел. Приведены некоторые результаты моделирования, касающиеся влияния отклонения формы структуры от осесимметричной на бистатические сечения рассеяния. 1. Формулировка задачи В безграничной однородной изотропной среде De с диэлектрической и магнитной проницаемо-стями s e и це расположена структура, состоящая из непересекающихся импедансного и магнитоди-электрического тел (рис. 1). Импедансное тело D ограничено гладкой поверхностью S, а магнитодиэлек-трическое тело Dt - гладкой поверхностью St и характеризуется диэлектрической и магнитной проница-емостями st и \. Структура возбуждается стационарным электромагнитным полем {E0,H0}, зависимость от времени выбрана в виде exp(-/ш/1) . Требуется найти рассеянное поле {Ee, He} в области De. Кроме поля {Ee, He} в De, внутри магнитодиэлектрического тела существует поле {Ei, Ht}, которое также является неизвестным. Рис. 1. Геометрия задачи Поля {Ee, He} и {E, Ht} должны удовлетворять уравнениям Максвелла VxEe = i®\eHe, VxHe = -i®seEe в De, (1) VxEi = i®\iHi, VxH = -i®siEi вDi (2) и граничным условиям n x Ee - Z(n x (n x He )) = -n x E0) + Z(n x (n x H0)) на S, (3) n x(E - Ee ) = Щ x ^ Щ x (Hi - He ) = Щ x H 0 на Si. (4) Кроме того, поле {Ee, He} в De должно удовлетворять условиям излучения {JTeEe;4\eHe} x R / R + {; -JTeEe} = O(R-1), R ^ ®. (5) В выражениях (1)-(5) n - единичный вектор нормали к поверхности S, ограничивающей импедансное тело; nt - единичный вектор нормали к поверхности St, ограничивающей магнитодиэлектрическое г\ О 1 / О -»■ тело; R = (x + y + z ) ; a x b - векторное произведение; Z - поверхностный импеданс, Re Z > 0 . 2. Модель рассеянного поля Модель рассеянного поля строится следующим образом. Введем внутри импедансного тела D вспомогательную поверхность S(e) = K(e)S, подобную поверхности рассеивателя S в смысле гомотетии с центром в точке O . Если поверхность S является центральной, центр гомотетии выбираем так, чтобы он совпадал с центром поверхности. Коэффициент гомотетии (подобия) K(e) характеризует удаление вспомогательной поверхности от поверхности импедансного тела, его значения лежат в интервале 0 < K(e) < 1 (при K(e) = 0 вспомогательная поверхность стягивается в точку, при K(e) = 1 она совпадает с поверхностью тела). Аналогично внутри магнитодиэлектрического тела Dt введем вспомогательную поверхность Sj^e) = Kj^e)Sj, подобную поверхности рассеивателя Sf . Выберем на вспомогательной поверхности S(e) внутри импедансного тела конечную совокупность точек {Mn }^=1 и в каждой точке Mn разместим пару независимых вспомогательных элементарных электрических диполей с моментами pn = pn e^, Р"2 = Px2e?2, ориентированными вдоль единичных направлений g^, e" , выбранных в плоскости, касательной к S(e) в точке Mn , и излучающих в однородную среду с параметрами в e и . Аналогично выберем на вспомогательной поверхностей Si (e) внутри магнитодиэлектрического тела конечную совокупность точек {M^}1^ и в каждой точке Mne) разместим пару независимых « - n,e n,e - n,e - n,e n,e - n,e вспомогательных элементарных электрических диполей с моментами px = px ex , px' = px ex , ориентированными вдоль единичных направлений ex , ex , выбранных в плоскости, касательной к S{(e) в точке Mne), и излучающих в однородную среду с параметрами в e и . Представим неизвестное рассеянное поле {Ee,He} в De в виде суммы полей введенных вспомогательных диполей: Г N N(e) ] Ee (M) = (j/fflB e Ц SVX (VxH n ) + £Vx (Vxfl ne )\, [n=1 n=1 J N N(e) He (M) =ZVxn n + ZVxn ne, n=1 n=1 П n = % (M,Mn )p" , n n,e = % (M,M?) p^ , (6) % (M, Mn) = exp(jkeRMM„ )/(4krmm„ ), % (M, M?) = exp(jkeR^M^)/(4^R^Me)), ->n n -n . n -n -n,e n,e-n,e . n,e-n,e л ж ^ тл px = px,exx + px2ex^ px = px[ \ + px'2 ex2 , M G De ■ Здесь ke = ю^в e цe - волновое число в среде De; RMM - расстояние от точки Mn на S(e до точки M в De; RMM(e) - расстояние от точки M^ на Sje) до точки M в De; p^, p(2(n = I, N) и pn'e, pn'e (n = I, N(e)) - неизвестные комплексные постоянные (дипольные моменты); N - число точек размещения диполей на вспомогательной поверхности S(e) внутри импедансного тела; N(e) - число точек размещения диполей на вспомогательной поверхности Sj^ внутри диэлектрического тела. Для представления поля {Ej, } внутри диэлектрического тела введем вспомогательную поверхность Sjl\ охватывающую это тело. Вспомогательная поверхность S^ также выбирается подобной поверхности тела S,: S() = K()S,, K() > 1. Выберем на вспомогательной поверхности S,(,) конечную совокупность точек {Mя)}^1), в каждой из которых разместим пару независимых вспомогательных элементарных электрических диполей с моментами px = px ex , px = px ex . Единичные векторы ех",г, i„'1 выбраны в плоскости, касательной к S() в точке M^ . Предполагается, что диполи, размещенные на S(), излучают в однородную среду с параметрами s,, \,. Представим неизвестное поле {E,, H t} внутри диэлектрического тела в виде суммы полей введенных вспомогательных диполей: N(i) N(i) E,(M) = (i/®s,) 2Vx(Vxn„i), Ht(M) = ZVxn„i, n=1 n=1 n и,, = ч, (M, Mjp) p?, pn,i = p^ + p^Z, (7) (M,Mn)) = exp(,l/RMM,)) / (4^Rmm„,) ), M e D,. В (7) kt = Шд/s; RMMa) - расстояние от точки Mn,) на вспомогательной поверхности S,(,) до точки M в Dt; N(,) - число точек размещения диполей на S,(-,); p„,/ , p„,/ (n = 1, N(,)) - неизвестные ди-польные моменты. Представление для полей (6)-(7) удовлетворяет уравнениям Максвелла (1)-(2). Кроме того, поле (6) удовлетворяет условиям излучения (5). Для того чтобы удовлетворить граничным условиям (3)-(4), необходимо соответствующим образом выбрать дипольные моменты p„ p„2(„ = 1, N), pxn;e,p^(n = 1,N(e)) и pn,,p-(n = 1,N(i)) . Используем для этого метод коллокаций. Суть этого метода заключается в поточечном удовлетворении граничным условиям на некоторых дискретных множествах точек, выбранных на поверхностях S и Si . Пусть Mj(j = 1,2,...,L) - точки коллокации на поверхности S импедансного тела, а M .(j = 1,2,...,Li) - точки коллокации на поверхности S, диэлектрического тела; L - число точек коллокации на S, L, - число точек коллокации на S,. Тогда для определения неизвестных p„1 ,p"2 (n = 1,N), pxn,e,pxn,e (n = 1,N(e)) и pxn,/,pxn,/ (n = 1,N(,)) получим следующую систему линейных алгебраических уравнений с комплексной матрицей размером (2L + 4L,) на (2N + 2(N(e) + N))) : nJ x Ej - Z(n] x (n] x FTj )) = -nJ x Ejj + Z(n] x (n] x FT0 )), j = 1L, nix(E/- Ej)=njxEj, nx{Hj- Hi)=nixh0, j=ttlt. (8) Здесь n], Ej, Hj и EQ, H0 - значения компонент рассеянного (6) и возбуждающего полей в точках коллокации j на поверхности импедансного тела; nij , Eej , H ej и Eij , H ij - значения компонент рассеянного поля (6) и поля (7) в точке коллокации j ' на поверхности магнитодиэлектрического тела; Eq ,Hq - компоненты возбуждающего поля в этой же точке. Решение системы (8) находим путём минимизации функции L Ф = Е j=1 + j=1 + 2 n] x (Ej + EQ) - Z(nJ x (nJ x (H]e + H0))) Q/\ У" Л У11 e 1 0 . (9) 2 +\e e 2 я/ x(н/ - hi - Hj) n x (E{ - El - EQ ) методом сопряжённых градиентов. После решения задачи минимизации, т.е. определения неизвестных дипольных моментов Pn1,Pn2 (n = 1,N), p",e ,pxn,e (n = 1,N(e)) и p-,pxn,i (n = 1,N(i)), необходимые характеристики рассеянного поля определяем из (6). В частности, для компонент рассеянного поля в дальней зоне имеем Ee0(M) = (иe /Вe)1/2(M) = (exp(ik®R)/k®R)D0(0,ф) + O(R-2), Ее,ф(M) = -(иe /Вe)1/2Н®,0(M) = (exp(ik®R)/k®R)D9(0,ф) + O(R-2), где компоненты диаграммы рассеяния D0 (0, ф) и D^ (0, ф) определены выражениями I N D0 (0, ф) = (irake^e/4л) S Gn (0, ф)[(cos0cos фcos af + cos 0 sin фcosPf - sin 0 cos yf)p"1 + Ln=1 + (cos 0 cos ф cos a 2 + cos 0 sin ф cos P 2 - sin 0 cos y 2) p"2\ + N(e) + S G" (0, ф)[(^0 cos фcosa",e + cos0 sin фcosP",e - sin 0 cos y",e)p",e + n=1 1 + (cos 0 cos фcos a2'e + cos 0 sin фcos P",e - sin 0 cos y 2'e)p",e\, I N (11) D9(0, ф) = (irake^e/4л)- SGn (0, ф)[(^фcosP1 - sin фcosa?)px" + I n=1 + (cos ф cos P n - sin 9cos a n) pX2\ + N(e) ] + S G" (0, ф)[(^ фcos P",e - sin фcos a",e)p^ + (cos фcos P 2'e - sin фcos a 2'e)p",e \! n=1 1 2 J Gn (0, ф) = exp{-ike (sin 0 cos фт( + sin 0 sin фуп + cos 0zn)}, G" (0, ф) = exp{-ike (sin 0 cos фxn,e + sin 0 sin фупе + cos 0zn,e)}, n n n n n n в которых cos a1,cos P1 ,cos y1 и cos a 2,cos P 2,cos y 2 - направляющие косинусы единичных векторов n n n e о n e n e n e о n e n e и eX2; cos a^ ,cos P^ ,cos y^ и cos a2' ,cos P2' ,cos y 2' - направляющие косинусы единичных векn e n e 1 f торов e ' и eX2 ; xn, yn, zn - декартовы координаты точки Mn ; xn,e, yn,e, zn,e - декартовы координаты точки M"e); 0 и ф - общепринятые угловые сферические координаты точки наблюдения M . Контроль точности решения осуществляем путём вычисления относительного значения функции (9) на сетке точек, промежуточных по отношению к точкам коллокации, выбираемых на поверхностях S и Si импедансного и магнитодиэлектрического тел: Д = (ф'/ф0)1/2, (12) где Ф' - значение функции (9) на указанной выше совокупности точек; Ф 0 - значение соответствующей нормы падающего поля на этой же совокупности точек, определяемое выражением L L 1 ■ 2 и® ' - ' n! x E0 n x щ + - В® 0 1= /=1 '' ф0 = S | n1 x E0j - Z(n1 x (n1 x Н0 ))|2 + S' в которых L - число промежуточных точек на поверхности импедансного тела, а L' - число промежуточных точек на поверхности магнитодиэлектрического тела. 3. Результаты моделирования На основании изложенного выше метода была создана программа для расчёта компонент рассеянного поля и контроля точности полученного решения. Предполагалось, что тела, образующие рассеивающую структуру, являются трёхосными эллипсоидами. Входными величинами программы являются координаты их центров, ориентация их осей в глобальной системе координат, величины их полуосей в (10) I 1/9 длинах волн, значение нормированного импеданса импедансного эллипсоида Z = Z /(^e / е e) , относительные значения е =е( / еe и ^ = ^t / ^e диэлектрической и магнитной проницаемостей магнитодиэлектрического эллипсоида, возбуждающее поле {E0,H0}, параметр подобия K(e), числа точек размещения диполей N и точек коллокации L для импедансного эллипсоида, а также параметры подобия K}e), K(), числа точек размещения диполей N(e), N(г) и точек коллокации Lt для магнитодиэлектрического эллипсоида. Координаты точек размещения вспомогательных диполей и точек коллокации, а также направляющие косинусы касательных направлений, вдоль которых ориентированы диполи и поставлены граничные условия, первоначально вычисляются в локальной системе координат, связанной с соответствующим эллипсоидом, а затем осуществляется пересчёт этих величин в глобальную систему отсчёта. Минимизацию функции (9) осуществляем методом сопряжённых градиентов; итерационный процесс останавливается при условии, если относительное изменение функции на каждой из десяти последних итераций не превышает 0,001. Разработанная программа позволяет исследовать характеристики рассеяния широкого класса структур, содержащих импедансное (в частности, идеально проводящее) и магнитодиэлектрическое тела. Например, для структуры, показанной на рис. 2, было исследовано влияние отклонения формы структуры от осесимметричной на бистатические сечения рассеяния /|4I2. (13) I |2 I |2 Ee,0 (0, Ф) + Ee ,ф (0, Ф) ст(0, ф) = lim 4%R2 Рис. 2. Структура, состоящая из импедансного и диэлектрического эллипсоидов с одинаковыми геометрическими параметрами и центрами, расположенными на одной оси Структура состоит из импедансного 1 и диэлектрического 2 (^г = 1) эллипсоидов с одинаковыми геометрическими параметрами, т.е. одинаковыми значениями полуосей kea, keb, kec . Центры эллипсоидов расположены на оси z декартовой системы координат Oxyz симметрично относительно ее начала. Наименьшее расстояние между поверхностями эллипсоидов А равно 0,01я.. Полуоси эллипсоидов kea, keb, kec ориентированы соответственно вдоль осей x, y, z. Структура возбуждается линейно поляризованной волной, распространяющейся вдоль оси z с вектором E0, ориентированным вдоль оси x. Алгоритм исследований заключался в следующем. Первоначально предполагалось, что структура обладает осевой симметрией, т.е. оба эллипсоида являются сфероидами (kea = keb). Затем последовательно изменялось значение полуоси kea; значения полуосей keb и kec сохранялись при этом неизменными. Для каждого случая рассчитывались бистатические сечения рассеяния. Некоторые результаты, характеризующие изменения сечений рассеяния при малых отклонениях формы структуры от осесимметричной, представлены на рис. 3-5. Рис. 3 относится к случаю, когда эллипсоид 1 характеризуется нормированным поверхностным импедансом Z = 0,1 - 0,1/, а эллипсоид 2 -относительной диэлектрической проницаемостью в/ = 2; рис. 4, 5 относятся к случаям, когда эллипсоид 1 характеризуется тем же значением импеданса Z , а эллипсоид 2 - относительными значениями диэлектрической проницаемости в , равными 4 и 10 соответственно. Результаты приведены в Е-плоскости, т.е. в плоскости, содержащей векторы E0 и ke (плоскость xOz). В сферической системе координат эта плоскость состоит из двух полуплоскостей: ф = 0° и ф = 180°. Кривые 1 на рис. 3-5 относятся к случаю осесимметричной структуры, когда полуоси каждого из эллипсоидов принимают значения kea = keb = 4,0, kec = 2,0. Кривые 2 относятся к случаю, когда значение полуоси kea увеличено на 5%, т.е. равно 4,2, а кривые 3 - к случаю, когда значение полуоси kea увеличено на 10%, т.е. равно 4,4; значения остальных полуосей оставались без изменения. Таким образом, в последних двух случаях структура теряет осевую симметрию. По оси абсцисс отложено значение угла 9, по оси ординат - значение сечения рассеяния (13), нормированное на квадрат длины волны и выраженное в децибелах. В Е-плоскости кривые симметричны относительно оси z, поэтому на рисунках показаны сечения рассеяния только в полусечении ф = 1800 . ю ■ с/Г, дБ 15 -5 ■ ф = 180° 1 \ ........................................\.V\..... ! % С/........L V \ f \ / \ \ \J 50 100 150 0, град Рис. 3. Бистатические сечения рассеяния в Е-плоскости структуры, характеризуемой импедансом Z = 0,1 - 0,1/ ! и относительной диэлектрической проницаемостью в/ = 2 при различных длинах полуоси kea . Кривая 1 соответствует kea = keb = 4,0 и kec = 2,0; кривая 2 - kea = 4,2 , keb = 4,0 и kec = 2,0; кривая 3 - kea = 4,4 , keb = 4,0 и kec = 2,0 При моделировании параметры метода были следующими: K(e) = K(e) = 0,6, K(i) = 4 , N = N(e) = N(i) = 256, L = L = 512. Ф = 180° ............................ ! Nk ■ \v- 1 \ J w / •vV/ \ ¥ .;..................................\\\..„ f..................ж 1 // iff f ja i \\\ w. .1..........................................u\j у/Л к '// \ Hi \S % V 1..........................................1 ft \ tit I ; \r V] |-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1- 0 50 100 150 0, град Рис. 4. Бистатические сечения рассеяния в Е-плоскости структуры, характеризуемой импедансом Z = 0,1 - 0,1i ! и относительной диэлектрической проницаемостью sj = 4 при различных длинах полуоси kea . Кривая 1 соответствует kea = keb = 4,0 и kec = 2,0; кривая 2 - kea = 4,2 , keb = 4,0 и kec = 2,0; кривая 3 - kea = 4,4, keb = 4,0 и kec = 2,0 o//A дБ j-1-1-1-1-1-1-1-1-1-j-1-I-1-1-1-1-Г ■ 0, град Рис. 5. Бистатические сечения рассеяния в ^-плоскости структуры, характеризуемой импедансом Z = 0,1 - 0,1i ! и относительной диэлектрической проницаемостью sj = 10 при различных длинах полуоси kea . Кривая 1 соответствует kea = keb = 4,0 и kec = 2,0; кривая 2 - kea = 4,2 , keb = 4,0 и kec = 2,0 ; кривая 3 - kea = 4,4 , keb = 4,0 и kec = 2,0 о//А ДБ : : Ф = 180° ^: Г^^ Ф = 180° i % 1 /// ж /л) . / 7 \h if ................................. /7 / f / ! / L / / \ / \ 1 \ V \ / / \ r 3 Точки размещения диполей на вспомогательных поверхностях и точки коллокации на поверхностях импедансного и диэлектрического тел распределены следующим образом. В локальных системах координат в каждом из шестнадцати полусечений ф = const, отстоящих одно от другого на угловое расстояние Дф= 22,5°, равномерно по углу 9 выбраны шестнадцать точек размещения диполей. Для точек коллокации алгоритм их расположения по углу 9 выбран таким же, как для точек размещения диполей, но выбраны они как в полусечениях ф = const, определенных для точек размещения диполей, так и посередине между ними. Многочисленные вычислительные эксперименты показали, что указанное выше взаимное расположение точек размещения диполей и точек коллокации обеспечивает наивысшую скорость сходимости итерационного процесса. Анализ результатов, представленных на рис. 3-5, позволяет сделать следующие выводы. Во всех рассмотренных случаях небольшие отклонения формы структуры от осесимметричной в наименьшей степени влияют на сечения рассеяния в направлениях 0°

Скачать электронную версию публикации