Maximum likelihood estimation of dead time value at a generalized semysynchronous flow of events.pdf Настоящая статья является непосредственным продолжением исследований обобщенного полусинхронного потока событий (далее поток), начатых в статьях [1-4]. Изучаемый поток относится к классу дважды стохастических потоков событий и является одной из адекватных математических моделей информационных потоков сообщений, функционирующих в ЦСИО [5]. Можно выделить два класса дважды стохастических потоков событий: 1) потоки событий с интенсивностью, представляющей собой непрерывный случайный процесс; 2) потоки событий с интенсивностью, представляющей собой кусочно-постоянный случайный процесс с конечным числом состояний. Второй класс потоков в настоящее время принято называть МС-потоками либо МАР-потоками событий. В [6] приведена классификация МС-потоков событий и установлена связь между МС-потоками и МАР-потоками событий. Наиболее полная литература по изучаемым типам МС-потоков приведена в [1]. Параметры потоков событий, функционирующих в реальном времени, неизвестны частично, либо полностью, либо представляют собой функцию времени. В подобных случаях наиболее рациональным является применение адаптивных систем массового обслуживания, которые в процессе функционирования оценивают неизвестные параметры либо состояния входящих потоков событий и изменяют дисциплины обслуживания в соответствии с полученными оценками [7]. Вследствие этого возникают задачи: 1) оценки состояний потока (задача фильтрации интенсивности потока) по наблюдениям за моментами наступления событий [8, 9]; 2) оценки параметров потока по наблюдениям за моментами наступления событий [10, 11]. Одним из искажающих факторов при оценке состояний и параметров потока событий выступает мертвое время регистрирующих приборов [12], которое порождается зарегистрированным событием. Другие же события, наступившие в течение периода мертвого времени, недоступны наблюдению (теряются). Можно считать, что этот период продолжается некоторое фиксированное время (непродлевающееся мертвое время). В качестве примера приведем CSMA / CD - протокол случайного множественного доступа с обнаружением конфликта, широко используемого в компьютерных сетях. В момент регистрации (обнаружения) конфликта на входе некоторого узла сети рассылается сигнал «заглушки» («пробки»); в течение времени рассылки сигнала «заглушки» заявки, поступившие в данный узел сети, получают отказ в обслуживании и направляются в источник повторных вызовов. Здесь время, в течение которого узел сети закрыт для обслуживания заявок, поступающих в него после обнаружения конфликта, можно трактовать как мертвое время прибора, регистрирующего конфликт в узле сети. Для того чтобы оценить потери сообщений потока, возникающие из-за эффекта мертвого времени, необходимо оценить его длительность. В настоящей статье для решения задачи оценивания длительности мертвого времени применяется метод максимального правдоподобия [13], так как оценки, полученные на основе этого метода, как правило, обладают привлекательными свойствами. 1. Постановка задачи Рассматривается обобщенный полусинхронный поток событий, интенсивность которого есть кусочно-постоянный случайный процесс Цt) с двумя состояниями и Х2 > Х2 > 0). В течение времен -ного интервала, когда X(t) = Xi , имеет место пуассоновский поток событий с интенсивностью Xi, i = 1,2. Переход из первого состояния процесса X(t) во второе возможен только в момент наступления события, при этом переход осуществляется с вероятностью p (0 < p < 1); с вероятностью 1 - p процесс X(t) остается в первом состоянии. Тогда длительность пребывания процесса X(t) в первом состоянии есть случайная величина с экспоненциальной функцией распределения F1 (т) = 1 - е-. Переход из второго состояния процесса X(t) в первое состояние может осуществляться в произвольный момент времени. При этом длительность пребывания процесса X(t) во втором состоянии распределена по экспоненциальному закону: F2 (т) = 1 - е-ат. При переходе процесса X(t) из второго состояния в первое инициируется с вероятностью 5 (0 < 5 < 1) дополнительное событие. При этом блочная матрица инфинитезимальных коэффициентов примет вид (1 - Р pXj 5а Х2 -Ъ 0 IN А ||. D = (1 -5) а -(Х2 +а) Элементами матрицы D\ являются интенсивности переходов процесса X(t) из состояния в состояние с наступлением события. Недиагональные элементы матрицы D0 - интенсивности переходов из состояния в состояние без наступления события. Диагональные элементы матрицы D0 - интенсивности выхода процесса X(t) из своих состояний, взятые с противоположенным знаком. а а а Процесс x(t) t 5 5 t Обобщенный полусинхронный поток T T T i Схема создания непродлевающегося мертвого времени t -О- ?3 Г4 Наблюдаемый поток событий -Оt Рис. 1. Формирование наблюдаемого потока событий В сделанных предпосылках X(t) - скрытый марковский процесс. После каждого зарегистрированного в момент времени tk события наступает время фиксированной длительности Т (мертвое время), в течение которого другие события исходного потока недоступны наблюдению. События, наступившие в течение мертвого времени, не вызывают продления его периода (непродлевающееся мертвое время). По окончании мертвого времени первое наступившее событие снова создает период мертвого времени Т и т.д. Вариант возникающей ситуации показан на рис. 1, где 1, 2 - состояния случайного процесса X(t); дополнительные события, которые могут наступать в момент перехода процесса X(t) из второго состояния в первое, помечены буквой 5; штриховка - периоды мертвого времени длительности Т; t1, t2,... -моменты наступления событий в наблюдаемом потоке. Подчеркнем, что если 5 = 0, то имеет место обычный полусинхнонный поток событий [14]. Отметим также, что в соответствии с классификацией МАР-потоков событий, приведенной в [6], обобщенный полусинхронный поток относится к классу МАР-потоков событий второго порядка. Процесс Ц0 и типы событий (события пуассоновских потоков и дополнительные события) принципиально ненаблюдаемые, а наблюдаемыми являются только временные моменты наступления событий t1, t2, . наблюдаемого потока. Рассматривается установившийся (стационарный) режим функционирования наблюдаемого потока событий, поэтому переходными процессами на интервале наблюдения (t0, t), где t0 - начало наблюдений, t - окончание наблюдений, пренебрегаем. Необходимо в момент окончания наблюдений (в момент времени t) осуществить методом максимального правдоподобия оценку T длительности мертвого времени. 2. Построение функции правдоподобия Обозначим тк = tk+1 - tk (k = 1,2,...) значение длительности k-го интервала между соседними событиями наблюдаемого потока (тк > 0). Так как рассматривается стационарный режим, то плотность вероятностей значений длительности k-го интервала pT (тк) = pT (т), т > 0, для любого к (индекс T подчеркивает, что плотность вероятностей зависит от длительности мертвого времени). В силу этого момент tk без потери общности можно положить равным нулю или, что то же самое, момент наступления события наблюдаемого потока есть т = 0. Тогда [4] плотность вероятностей примет вид Pt (x) = 0, 0 < т < T; Pt (X) = [1 - f (T)] ^} + f (T)(a + X2)e-(a+X2)(X-T), (T) = p(a + X2XX1 -X -a5)[^1 + (a + PX - ^1)e-(a+pX1)T] (1) (a + pX1)(X1 -X2 -a)F(T) F(T) = (a + X2) - [X2 - p(X2 +a5)]e-(a+pX°T, 0 < T 0. В (1) функция F(T) > 0 для любых T (0 < T < т). Сначала рассмотрим общий случай (Х1 - - а) Ф 0. Подчеркнем, что (1) - одномерная плотность вероятностей. Пусть т1 = t2 - t1, т2 = t3 - t2,..., тк = tk+1 - tk - последовательность измеренных (в результате наблюдения за потоком в течение интервала наблюдения (0, t)) значений длительностей интервалов между соседними событиями потока. Упорядочим величины т1,..., Tk по возрастанию: ттт = т1 < т2 ) = Прт (т( J)) = П {[1 - f (T )]X1e-X1( т( 1) -T} + 1=1 1=1 (2) +f(T)(a + X2)e-(a+X2)(x(l)-T}) ^max, 0 тт (тт > 0). Изучим поведение функции pT(Tm), 0 < T < тт, как функции переменной T. В дальнейшем изложенная ситуация, когда принимается тт = 0, означает доопределение изучаемых функций в граничной точке. Исследуем производную p'T(im) по T функции pT(Tm). Имеем pT (Тт) = [X - Xf (T) - fT (T)]e-"1(Tm-T} + [(а + X2) f (T) + fT (T)]e-(a+^2)(2, , = pa (a + X2)(X -X2 - a5)[X (1 - p + p5) - (a + X2)]e-(a+pX1)T ^ ^ т > (3) (Xj-X2 - a)F2(T) ' т т ' где fT), F(T) определены в (1); f (T) - производная функции f(T) по T. Лемма 1. Производная p^(Tm) - положительная функция переменной тт при T = 0, 0 < тт < да (p'o^) > 0). Доказательство. Так как тт - любое неотрицательное число тт > 0, то p0(Tm) можно рассматривать как функцию переменной тт. Подставляя T = 0 в (3) и проделывая необходимые преобразования, получаем p'o^) -Г{[X^ -p + p5)-(a + X2)]e-X1Tm + p(a + X2)2(X1-X2-a5)e-(a+X)2т > 0, A (X1 -X2 - a) v ' C = X1a(1 -p + p5) + p(a + X2)(X2 +a5) > 0, A = a + p(X2 +a5) > 0. (4) Рассмотрим (на предмет существования корней) уравнение p0 (тт) = 0, которое с учетом (4) преобразуется к виду в = e-(X1 -X2-aK, B = p(a + X2)2(X1 -X2 -a5) . (5) X1a[X1(1 - p + p5) - (a + X 2)] В (5) знак В определяется знаками (Х1 - Х2 - а5) и [Х1(1 - p + p5) - (а + Х2)]. Из (4) находим p0(0) = (C/ A)2 >0, limp0(im) = 0 при Тт ^да (6) 1. Пусть (Х1 - Х2 - а) > 0, (Х1 - Х2 - а5) > 0, [Х1(1 -p + p5) - (а + Х2)] > 0. Тогда В < 0 и поэтому уравнение (5) корней не имеет. Отсюда, с учетом (6), следует, что p0(Tm) > 0, при этом равенство p0(Tm) = 0 достигается при тт ^ да, т.е. p0 (тт) > 0 для 0 < тт < да. 2. Пусть (Х1 - Х2 - а) > 0, (Х1 - Х2 - а5) < 0, [Х1(1 - p + p5) - (а + Х2)] > 0. Здесь и далее данный вариант нереализуем, так как неравенства несовместны. 3. Пусть (Х1 - Х2 - а) > 0, (Х1 - Х2 - а5) > 0, [Х1(1 -p + p5) - (а + Х2)] < 0. Тогда В > 0. Сравним В с единицей. Имеем 1 - B = С(X1 - X2 - a5){X1a[X1 (1 - p + p5) - (a + X2 )]}-1, (7) где C определена в (4). Из (7) следует В > 1. В силу этого уравнение (5) корней не имеет, и тогда, с учетом (6), p0 (тт ) > 0 для 0 < Тт < да. 4. Пусть (Х1 - Х2 - а) > 0, (Х1 - Х2 - а5) < 0, [Х1(1 - p + p5) - (а + Х2)] < 0. Здесь и далее данный вариант нереализуем, так как неравенства несовместны. 5. Пусть (Х1 - Х2 - а) < 0, (Х1 - Х2 - а5) > 0, [Х1(1 - p + p5) - (а + Х2)] > 0. Здесь и далее данный вариант нереализуем, так как неравенства несовместны. 6. Пусть (^ - - а) < 0, (^ - - а5) > 0, [^(1 - p + p5) - (а + < 0. Тогда В > 0. Сравним В с единицей. Из (7) следует, что В < 1. В силу этого уравнение (5) корней не имеет, и тогда, с учетом (6), p0(xm) > 0 для 0 < тт < да. 7. Пусть (Х1 - - а) < 0, (Х1 - - а5) < 0, [Х1(1 - p + p5) - (а + Х2)] > 0. Здесь и далее данный вариант нереализуем, так как неравенства несовместны. 8. Пусть (А4 - - а) < 0, (А4 - - а5) < 0, [Х1(1 -p + p5) - (а + Х2)] < 0. Тогда В < 0 и поэтому уравнение (5) корней не имеет. Отсюда, с учетом (6), следует, что p0(xm) > 0 для 0 < тт < да. 9. Пусть (Х1 - - а) Ф 0, (А4 - - а5) = 0, [Х1(1 -p + p5) - (а + Х2)] Ф 0. Тогда В = 0 и уравнение (5) решения не имеет. Отсюда следует, что p0 (тт) > 0 для 0 < тт < да. 10. Пусть (А4 - - а) Ф 0, (А4 - - а5) Ф 0, [Х1(1 - p + p5) - (а + Х2)] = 0. Тогда, преобразовывая (5) к виду exp[(^4 - - а) тт] = В-1, получаем, что последнее уравнение решения не имеет и p0(xm) > 0 для 0 < тт < да. 11. Пусть (А4 - - а) Ф 0, (А4 - - а5) = 0, [Х1(1 - p + p5) - (а + Х2)] = 0. Одновременное выполнение этих равенств возможно только в одном единственном случае: 5 = 1. Последнее влечет за собой выполнение равенства - - а = 0 (особый случай). Объединение результатов пунктов 1-11 доказывает лемму 1. Лемма 2. Производная p'T (тт) при T = тт строго больше нуля (p/ (тт) > 0), 0 < тт < да. Доказательство. Подставляя T = тт в (3), получим -^IxC + Hp^ Ф (Хт )(X1 - X2 - a5)[X1 (1 - p + p5) - (a + X 2 )]e-(a+pX1} Хт bpX1 [ F2(Хт ) P /(Хт ) =a Ф1 (Хт) = (a + X2 )(X + X2 - PX1) - (X1 + X2 + a)[X2 - p(X2 + a5)]e-(a+pX1 )Хт, хи > 0, (8) где F(^) определена в (1), C - в (4). Отметим, что при любых значениях величины [Х2 - p(k2 + а5)] функция Ф1(тт) в (8) строго больше нуля (Ф1(тт) > 0) для тт > 0. Рассмотрим (8) как функцию тт > 0. Имеем p/(0) = (C/A)2 > 0, llm p/(тт ) = ^C/^+p^) > 0, (9) Хт где С, А, определены в (4). Из вида (8) производной p^^) следует, что для любых значений [Х2 - p(k2 + + а5)] > 0 (либо [Х2 - p(k2 + а5)] < 0) и (X1 - X2 - a5)[X1 (1 - p + p5) - (a + X2)] > 0 имеет место p^v) > 0, 0 < Тт < да. Пусть (X1 - X2 - a5)[X1 (1 - p + p5) - (a + X2)] < 0. Выполнение этого неравенства возможно только тогда, когда (X1 -X2-a5)> 0, [X1(1 - p + p5) - (a + X2)]< 0. (10) Введем в рассмотрение вторую производную pT (xOT) по переменной T в точке T = тт. Используя (8), находим P//(Хт) = - Pa(a+X2) Ф2(Хт)(X -X2 -a5)[X(1 -p + p5)-(a + X2)]e"(a+^, F (тт ) ф2(тт) = (a + X2)(X1 + X2 -pX1) - (X1 + X2 + pX1 + 2a)[X2 - p(X2 + a5)]e"(a+Хт, хт > 0, (11) где F(^) определена в (1). Знак выражения (11) определяется знаком функции ф2(тт), так как в (11) величина pa(a + X2)(X1 -X2 - a5)[X1 (1 - p + p5) - (a + X2)]e-(a+Хт > 0 . F 3 (тт) Рассмотрим ф2(тт) как функцию переменной тт (тт > 0). Имеем ф2(0) = С - (а + p^1)[ ^ -p(^2 + а5)], llm ф2(хш) = ф2(да) = (а + U + ^ -p^1> > 0, (12) Хт где С определена в (4). Здесь возможны следующие варианты. 1. Пусть ф2(0) > 0, [Х2 - p(K2 + а5)] > 0. Тогда ф2(тт) - возрастающая функция переменной тт и ф2(тт) > 0, тт > 0. Отсюда следует p (тт) > 0, тт > 0. Тогда функция p (тт) есть также возрастающая функция переменной тт. С учетом (9) получаем p (тт) > 0, 0 < тт < да. 2. Пусть ф2(0) > 0, [Х2 - p(k2 + а5)] < 0. Тогда ф2(тт) - убывающая функция переменной тт (убывает от ф2(0) до ф2(да) > 0, оставаясь при этом строго больше нуля (ф2(тт) > 0, тт > 0)). Отсюда следует, что p (тт) >0, тт > 0. Тогда p(Tm) есть возрастающая функция переменной тт. С учетом (9) находим p \Тт) > 0, 0 < Тт < 3. Пусть ф2(0) > 0, [Х2 - p(k2 + а5)] = 0. Тогда ф2(тт) = (а + Х2)( + Х2 - pX1) > 0, тт > 0. Отсюда следует p/T(Tm) > 0, тт > 0, т.е. p(Tm) - возрастающая функция переменной тт. Тогда, с учетом (9), имеем p'(Tm) > 0, 0 < Тт < да. 4. Пусть ф2(0) = 0, [Х2 - p(k2 + а5)] > 0. Данный вариант нереализуем, так как при выполнении ограничений (10) равенство ф2(0) = 0 недостижимо. 5. Пусть ф2(0) = 0, [Х2 - p(k2 + а5)] < 0. Данный вариант нереализуем, так как эти условия противоречат условию (12): ф2(да) > 0. 6. Пусть ф2(0) = 0, [Х2 - p(k2 + а5)] = 0. Данный вариант нереализуем, так как эти условия входят в противоречие с условиями (12). 7. Пусть ф2(0) < 0, [Х2 - p(k2 + а5)] > 0. Данный вариант нереализуем, так как приведенные ограничения вместе с неравенствами (10) противоречивы. 8. Пусть ф2(0) < 0, [Х2 - p(k2 + а5)] < 0. Данный вариант нереализуем, так как приведенные ограничения противоречат условию (12): ф2(да) > 0. 9. Пусть ф2(0) < 0, [Х2 - p(k2 + а5)] = 0. Данный вариант нереализуем, так как эти условия противоречат условиям (12). Объединение результатов пунктов 1-9 доказывает лемму 2. Изучим поведение производной pT (тт) как функции T на отрезке [0, тт]. Рассмотрим (на предмет существования корней) уравнение pT/(Tm )= 0, которое, с учетом (3), приводится к виду e-(X1 -X2-a)( Тт -T} =^(T), ^(T) = [ F2(T)/ F1(T )]B, F1 (T) = X1X2 (a + X2)[1 - e-(a+pX1)T ]2 +X1[1 - e-(a+pX1)T ][ a( a + X2) + p (a + X2)(X2 + a5) e-(a+pX1)T + +X 2(1 - p)(a + pX1)e-(a+pX1)T ] + (a + pX1)[X1a(1 - p) + p (a + X 2)(X 2 +a5) + pX1a5e-(a+pX1)T ]e-(a+pX1)T, F2 (T) = X1X2 (a + X2)[1 - e-(a+pX1)T ]2 + (a + X2)[1 - e-( a+pX1)T ] [X1a + pX1 (X2 + a5)e-( a+pX1 + +X2(a + pX1)e-(a+pX1)T ] + (a + pX1)[X1a(1 - p + p5) + p (a + X2)(X2 +a5)e-(a+pX1)T ]e-(a+pX1)T, F1(T) > 0, F2(T) > 0, 0 < T < Тт, Тт > 0, (13) где B определена в (5). Так как, в принципе, Тт может быть сколь угодно большим числом, то будем считать, что T > 0. Вычислим производную функции по переменной T. Имеем щT (T) = - p(a + X2)2(a + pX1 )2(X1 -X2 - a)(X1 -X2 - a5)[X2 - p(X2 + a5)]e-(a+pX1)T i (T ) = 2 X X1a[X1(1 - p + p5) - (a + X2)]^2(T) x{X1 (a + X2)2[1 - e-(a+pX1)T ]2 - C(a + pX1)e-2(a+pX1)T}, (14) где С определена в (4). Сначала рассмотрим случай: [Х2 - p(k2 + а5)] = 0, p Ф 1. Тогда из (14) вытекает ¥(7) = 0. Последнее означает, что ¥(7), определенная (13), равна константе (¥(?) = ¥). Лемма 3. Если [Х2 - p(k2 + а5)] = 0, p Ф 1, то производная p^(Tm), 0 < Тт < да, строго больше нуля ( p^(Tm ) > 0). Доказательство. С учетом равенства [ Х2 -p(k2 + а5)] = 0 уравнение (13) преобразуется к виду e-(X1 -X2-a)(Тт-T) ^ = - pa(1 - p + p5)[X1(1 - p) -a5] ' X1 (1 - p)2[ X1 (1 - p)-a] ' 0 < T < Тт, - X2 - а Ф 0. (15) Здесь и далее учитываются только реализуемые варианты ограничений, определенные в лемме 1. да. 1. Пусть [Х1(1 -p) - а5][Х1(1 -p) - а]-1 > 0. Тогда ¥ < 0. Отсюда следует, что уравнение (15) решения не имеет, и вследствие этого, с учетом лемм 1, 2, получаем pT (тт) > 0, 0 < T < тт, 0 < тт < да. 2. Пусть (> - >2 - а) > 0, [Х1(1 - p) - а5] > 0, [Х1(1 - p) - а] < 0. Тогда ¥ > 1. Отсюда следует вывод, аналогичный выводу пункта 1. 3. Пусть (> - > - а) < 0, [^1(1 -p) - а5] > 0, [^(1 -p) - а] < 0. Тогда 0 < ¥ < 1. Отсюда следует вывод, аналогичный выводу пункта 1. 4. Пусть [Х1(1 - p) - а5] = 0. Тогда ¥ = 0 и уравнение (15) решения не имеет, что влечет за собой вывод пункта 1. Преобразуем уравнение (15) к виду exp{(> - >2 - а)(тт - T)} = ¥-1, 0 < T < тт. Тогда имеет место следующий пункт. 5. Пусть [Х1(1 - p) - а] = 0. Тогда ¥-1 = 0 и преобразованное уравнение решения не имеет, что влечет за собой вывод пункта 1. Объединение результатов пунктов 1-5 доказывает лемму 3. В рамках ограничения [>2 - p(>2 + а5)] = 0 возможен еще один вариант: p = 1, 5 = 0. Тогда имеет место следующая лемма. Лемма 4. Если [>2 - p(>2 + а5)] = 0 и p = 1, 5 = 0, то производная p'T (тт) > 0, 0 < тт < да. Доказательство. В ограничениях леммы 4 уравнение (15) примет вид e-(X-X2-a)(Хт-T} = (X1 - X2)(a + X2) / X1a, 0 < T< Тт, (> - >2 - а) Ф 0. (16) Так как (> - >2)(а + >2) - Х1а = >2(> - >2 - а), то уравнение (16) решения не имеет, что, с учетом лемм 1, 2, доказывает лемму 4. Рассмотрим теперь случай, когда (> - >2 - а5) = 0 либо [Х1(1 - p + p5) - (а + >2)] = 0. Лемма 5. Если (> - >2 - а5) = 0 либо [Х1(1 - p + p5) - (а + >2)] = 0, то производная pTr(xM) > 0, 0 < Тт < да. Доказательство. Пусть (> - >2 - а5) = 0. Тогда из (13) имеем ¥(T) = ¥ (¥ = 0). Уравнение (13) при этом примет вид exp{- (> - >2 - а)(тт - T)} = 0, 0 < T < тт, которое решения не имеет. Преобразуем уравнение (13) к виду exp{(> - >2 - а)(тт - T)} = ¥-1(T), 0 < T < тт. Пусть [Х1(1 - p + p5) - (а + >2)] = 0. Тогда имеем ¥- (T) = ¥- (¥- = 0). В силу этого преобразованное уравнение решения не имеет. Лемма 5 доказана. Перейдем теперь к рассмотрению общего случая, когда [>2 - p(>2 + а5)] Ф 0, (> - >2 - а5) Ф 0, [Х1(1 - p + p5) - (а + >2)] Ф 0. Рассмотрим разность AF(T) = F1(T) - F2(T) функций F1(T), F2(T) из (13). Имеем AFT) = (>1 - >2 - а)[>2 -p(>2 + а5)](а + ph)] e"(a+pX1)T [1-e"(a+pX1)T ]. (17) Лемма 6. Если [>2 - p(>2 + а5)] Ф 0, (> - >2 - а5) Ф 0, [X1(1 - p + p5) - (а + >2)] Ф 0, то производная PT (Хт ) > 0, 0 < Тт < да. Доказательство. Рассмотрим варианты: 1. Пусть (> - >2 - а) > 0, (> - > - а5) > 0, [^(1 -p + p5) - (а + >2)] < 0, [>2 -p(>2 + а5)] < 0. Из (17) следует AF(T) < 0, что влечет за собой [F2(T) / F1(T)] > 1. Так как соотношение (7) дает B > 1, то из (13) находим ¥(T) > 1. Последнее означает, что уравнение (13) решения не имеет. Учитывая результаты лемм 1, 2, получаем p!T (тт) > 0, 0 < тт < да. 2. Пусть (А - > - а) < 0, (А - >2 - а5) > 0, [>1(1 - p + p5) - (а + >2)] < 0, [> - p(>2 + а5)] < 0. Тогда AF(T) > 0, что влечет за собой [F2(T) / F1(T)] < 1. Соотношение (7) дает B < 1. Тогда из (13) вытекает ¥(T) < 1, что приводит к выводу пункта 1. 3. Пусть (А - > - а) > 0, (А - >2 - а5) > 0, [^(1 -p + p5) - (а + >2)] < 0, [> -p(>2 + а5)] > 0. Тогда AF(T) > 0, что влечет за собой [F2(T) / F1(T)] < 1. Соотношение (7) дает B > 1. Вследствие этого из (13) вытекает, что либо ¥(T) > 1, либо ¥(T) < 1. Покажем, что ¥(T) > 1 для любых T > 0. Учитывая (13), находим 1 -W) = (X1 - X 2 - a)CF2 (T) + X1a[X1 (1 - p + p5) - (a + X 2)] AF (T) = ^(T) T (18) ( X1a[X1(1 - p + p5) - (a + X2)]^(T) ^ ( Числитель ¥1(T) в (18) преобразовывается к виду ^ (T) = (X1 -X2 - a)(CF2 (T) + X1a(a + pX1)[X1 (1 - p + p5) - (a + X2 )][X2 - p(X2 + a5)]e-(a+pX1 )T x x[1 -e-(a+pX1)T]}, T > 0. (19) Непосредственной подстановкой функции F2(T) из (13) в (19) показывается, что ¥1(T) > 0 для всех T > 0. Тогда, так как в (18) знаменатель ¥2(Т) < 0, получаем 1 - ¥(Т) < 0. Отсюда следует ¥(Т) > 1 для T > 0, что приводит к выводу пункта 1. 4. Пусть (X - X - а) < 0, (X - X - а5) > 0, [Х(1 - p + pS) - (а + X)] < 0, [X - p(X + а5)] > 0. Тогда AF(T) < 0, что влечет за собой [F2(T) / F1(T)] > 1. Соотношение (7) дает B < 1. Тогда из (13) вытекает, что либо ¥(T) > 1, либо ¥(T) < 1. Покажем, что ¥(T) < 1 для любых T > 0. Непосредственной подстановкой функции F2(T) из (13) в (19) показывается, что ¥1(T) < 0 для всех T > 0. Тогда, так как в (18) знаменатель ¥2(T) < 0, то из (18) следует 1 - ¥(T) > 0. Отсюда вытекает ¥(T) < 1 для T > 0, что приводит к выводу пункта 1. 5. Пусть (X - X - а) Ф 0, (X - X - а5) > 0, [Х(1 - p + pS) - (а + X)] > 0 либо (X - X - а) Ф 0, (X - X2 - а5) < 0, [Х(1 -p + pS) - (а + X)] < 0. Тогда из (13) следует ¥(Т) < 0 для любых T > 0, что влечет за собой вывод пункта 1. Отметим, что ¥(Т), определенная в (13), представляет собой одноэкстремальную функцию. Экстремум достигается в точке (a + XjJX t • =_L_ta >0, a + pX1 (a + X2 )^/XJ + V (a + pX1 )C являющейся решением уравнения Z(T) = 0, Z(T) = X1(a + X2)2[1 - e-(a+pX1)T ]2 - C(a + pX1 )e-2(a+pX1)T, вытекающего из уравнения ¥ (T) = 0, где ¥ (T) определена в (14), С - в (4). В точке ¥ , в зависимости от знака величин, входящих в ¥(Т), и знака функции Z(T) на промежутках [0, Т*), (Т*,да), достигается либо минимум, либо максимум функции ¥(T). Объединение результатов пунктов 1-5 доказывает лемму 6. Теорема 1. При любых значениях параметров X > 0, X > 0 (X > X), а > 0, 0 < p < 1, 0 < S < 1 и ограничении (X - X - а) Ф 0 производная pT (xm) - положительная функция переменной T (pT (xm) > 0), 0 < T < Tm, 0 < Tm < да. Доказывается последовательным применением лемм 1-6. Теорема 2. При любых значениях параметров X > 0, X > 0 (X > X), а > 0, 0 < p < 1, 0 < S < 1 и ограничении (X - X - а) Ф 0 функция pT (Tm) переменной T (0 < T < Tm) достигает своего максимального значения в точке T = Tm, 0 < Tm < да. Доказательство вытекает из результата теоремы 1. Следствие 1. Из теоремы 1 вытекает, что функции pT (t®), j = 2, k, являются возрастающими функциями переменной T (0 < T < Tm). Следствие 2. Из теоремы 2 вытекает, что функция правдоподобия L (T | T(1),... , T(k) ) достигает своего глобального максимума в точке T = Tm, т.е. решением оптимизационной задачи (2) является оценка длительности мертвого времени T = Tm. 4. Решение оптимизационной задачи (2) Плотность вероятностей pT (т) для особого случая (X - X - а = 0) примет вид [4]: pT (т) = 0,0 < х < T; pt (Т) = (X + х(T)[1 - Х(т - T)]}e-X1(X-T\ pX1 e-(a+pX1)T - х2(Т) a + pX1 х(Т) = -a(1 - 5) Х1 (T), Х1 (T) = -+1a + pX1 X2(T) +-p-1^----1, 0 < T < т, т > 0. (20) 2W a + pXj [ X1 - [(X1 -a)(1 - p) - pa5]e-(a+ J В обозначениях раздела 3 функция правдоподобия, с учетом (20), запишется в виде L (T | т(1),..., T(k)) = 0, 0 < Тт < T; L(T|x(1),..., x(k)) = П { + x(T)[1 -X1(X(1) - T)]}e"X1(x(1) -т\ 0 < T 0. (21) 1=11 ; где x(T) определена в (20). Лемма 7. Плотность вероятностей pT (Тт), определенная формулой (20), где т = Тт, является возрастающей функцией переменной T (0 < T < тт, 0 < тт < да) при любых значениях параметров >1 > 0, >2 > 0 (>1 > >2), а > 0, 0 < p < 1, 0 < 5 < 1. Доказательство. Рассмотрим x(T) из (20) как функцию переменной T (T > 0). Производная функции x(T) выпишется в виде x/ (T) = {pX1a(1 - 5) / (X1 - [(X1 - a)(1 - p) - pa5]e-(a+pX°T )}2 > 0, X1 - [(X1 - a)(1 - p) - pa5]e"(a+pX1)T > 0, T > 0. Отсюда следует, что функция x(T) есть возрастающая функция. Возрастает от x(0) = - а(1--5)^>1/[а(1 - p) + p(>1 + а5)] < 0 до llm x(T) = - а(1- 5)^>1/(а + p>1) < 0 при T ^да. Тогда, так как функции [1 - >1(тт - T)], e-X1(Хт-т), входящие в выражение (20) для pT (тт), есть возрастающие функции переменной T, то плотность вероятностей pT (тт) есть также возрастающая функция переменной T, 0 < T < тт, 0 < тт < да. Лемма 7 доказана. Таким образом, для особого случая справедливы теоремы 1, 2 и их следствия из раздела 3. Заключение Полученный результат делает возможным решение задачи оценки длительности мертвого времени без привлечения численных методов: в процессе наблюдения (в течение временного интервала (0, t)) потока событий вычисляются величины ^ , k = 1, n , после чего находится тт = mln тk (k = 1, n ) и полагается T = тт. Подчеркнем, что по определению оценка максимального правдоподобия длительности мертвого времени при конечных t будет всегда смещенная (тт > T); её несмещенность реализуется только в асимптотическом случае при t ^ да.

Скачать электронную версию публикации