Estimation of the actuarial present value of the whole continuous life annuity.pdf Суть пожизненной ренты согласно [1. С. 170] состоит в том, что начиная с момента t = 0 человек раз в год получает определенную сумму, которую мы примем в качестве единицы измерения денежных сумм, причем выплаты производятся только в течение жизни человека. Известно, что расчет характеристик пожизненной ренты основан на использовании характеристик соответствующего вида страхования. Так, среднее значение современной стоимости полной непрерывной пожизненной ренты (см.: [1. С. 184]) определяется формулой - /S4 1 " Ax ax (8) = , 5 где Ax - нетто-премия (среднее значение современной стоимости единичной страховой суммы при пожизненном страховании в возрасте х лет); 5 - интенсивность процентов. Пусть х - возраст человека в момент t = 0 начала платежей, Х - продолжительность его жизни, Tx = Х-х - остаточная продолжительность жизни. Введём случайную величину 1 -5ТГ 1 - e x z=-Г-,Tx > 0. 5 Тогда пожизненная рента определяется формулой (ср.: [2]): -(5)=м( z)=1(1-, (1) xW ' ; 5^ 5(x) ) где M - символ математического ожидания, S (x) = P(X > x) - функция выживания, да Ф( x, 5) = - e& J e-5tdS (t). x В настоящей работе рассмотрена задача оценивания актуарной современной стоимости полной непрерывной пожизненной ренты, выполнен синтез непараметрической оценки пожизненной ренты, исследованы асимптотические свойства предложенной оценки. Приводятся результаты моделирования. 1. Оценка пожизненной ренты Пусть имеется случайная выборка X1...XN продолжительностей жизни N индивидов. Оценим отдельно числитель и знаменатель в (1). Воспользуемся вместо неизвестной функции выживания S(x) её непараметрической оценкой: Sn(x) = N £l(X, >x), N ,=1 где I(A) - индикатор события А. Подставив sn(x) в формулу (1), получим следующую оценку пожизненной ренты: Sx N где Фn (x, S) = - £ expC-SX,)I(X, > x). N ,=i 2. Среднеквадратическая ошибка оценки Найдем главную часть асимптотической среднеквадратической ошибки (СКО) и порядок смещения оценки (2). Для этого нам понадобится теорема 1 из [3], которую ниже сформулируем в виде Леммы. Введем обозначения согласно [3]: tN = (t1N,t2N,...,tN)T - s-мерная векторная статистика с компонентами tjN = tjN(x) = tjN(x;X1,...,XN), j = 1, s, x e Ra, Ra - а-мерное евклидово пространство; функция H(t): Rs ^R1, где t = t(x) = (t1(x),...,ts(x))T - s-мерная ограниченная вектор-функция; ТДц,о) - s-мерная нормально распределенная случайная величина c вектором средних ц = ц(х) = (ц1,...ц1 )T и ковариационной матрицей о = о(х); dH (z) j = 1, s; VH(t) = (H1(t),...,Hs(t))T , H((t) = - ^Zj z=t ^ - знак сходимости по распределению (слабой сходимости); ||х|| - евклидова норма вектора х. Лемма. Пусть: 1) функция H(t) - дважды дифференцируема, причем vH(t) ф 0; 2) М|\In -1 =0(dN/2), i = 1,2,.... Тогда У к = 1,2,...: |М[Я(tN) -H(t)]к -M[VH(t)• (tN -1)]к| = o(dN-(к+1)/2). (3) Заметим, что, полагая в формуле (3) к = 1, получаем главную часть смещения оценки H (tn), а при к = 2 - главную часть её СКО. Теорема 1. Если S(x)>0, S(t) непрерывна в точке х, то: 1) для смещения оценки ренты выполняется соотношение \b(aN (8))| = o( N-1); 2) СКО оценки определяется выражением . W ®> = М ЯТ ®- * ®>' = +o

Скачать электронную версию публикации