Joint probability density of the intervals duration in modulated MAP event flows and its recurrence conditions.pdf Интенсивное развитие компьютерной техники и информационных технологий во многом определило важную сферу приложений теории массового обслуживания - проектирование и создание информационно-вычислительных сетей, телекоммуникационных сетей, которые называют цифровыми сетями интегрального обслуживания - Integrated Service Digital Networks (ISDN). Всё это послужило стимулом к созданию адекватных математических моделей реальных информационных потоков, функционирующих в ISDN, так называемых дважды стохастических потоков событий. В работе [1] дважды стохастический поток определяется как случайный поток событий с интенсивностью, представляющей собой случайный процесс. Дважды стохастические потоки делятся на два класса: к первому классу относятся потоки, интенсивность которых есть непрерывный случайный процесс; ко второму классу относятся потоки, интенсивность которых есть кусочно-постоянный случайный процесс с конечным числом состояний. Второй класс потоков впервые введен в рассмотрение практически одновременно в 1979 г. в статьях [2-4]. В [2, 3] данные потоки названы MC (Markov сИат)-потоками; в [4] - MVP (Markov versatile processes)-потоками. Последние начиная с конца 1980-х гг. носят название MAP (Markovian arrival process)-потоков событий. MAP-потоки событий наиболее характерны при описании информационных потоков в реальных телекоммуникационных сетях [5]. В зависимости от смены состояний MC-потоки можно разделить на три типа: 1) синхронные потоки событий [6-11]; 2) асинхронные и обобщённые асинхронные потоки событий [12-17]; 3) полусинхронные и обобщённые полусинхронные потоки событий [18-23]. В [24] введены в рассмотрение MAP-потоки событий первого порядка (собственно MAP-потоки, введенные в [4]) и MAP-потоки событий второго порядка (синхронизированная суперпозиция двух MAP-потоков первого порядка, отличающихся друг от друга исходными параметрами). В [24] показано, что синхронный MC-поток является частным случаем MAP-потока первого порядка; асинхронный, обобщённый асинхронный, полусинхронный и обобщённый полусинхронный MC-потоки являются частным случаем MAP-потока второго порядка. Режим функционирования системы массового обслуживания непосредственно зависит от параметров MC (MAP^^ro^ и состояний, в которых находится поток. В реальных ситуациях параметры входящих потоков событий, как правило, неизвестны, либо частично известны, либо (что ещё более ухудшает ситуацию) изменяются со временем. Вследствие этого важными задачами являются задачи оценки в произвольный момент времени состояний [14, 17, 19, 23, 25] и параметров [6-12, 16, 18, 20-22] потока по наблюдениям за этим потоком. Для решения задачи оценивания (тем или иным статистическим методом) параметров потока необходимо знать вероятностные свойства потока [13, 15, 26]. В настоящей статье рассматривается модулированный MAP-поток событий (относится к классу MAP-потоков событий второго порядка), введённый в работах [27-29] и являющийся обобщением MAP-потока первого порядка [24, 25]. Находятся явные виды плотности вероятностей значений длительности интервала между моментами наступления соседних событий потока и совместной плотности вероятностей значений длительности двух соседних интервалов. 1. Постановка задачи Рассматривается модулированный MAP-поток событий с интенсивностью, представляющей собой кусочно-постоянный стационарный случайный процесс X(t) с двумя состояниями: X(t) = X либо X(t) = X2 (Х>Х2>0). Длительность пребывания процесса X(t) в i-м состоянии зависит от двух случайных величин: 1) первая случайная величина распределена по экспоненциальному закону F(1> (()= 1 - e~а'г, i = 1,2; в момент окончания i-го состояния процесс X(t) переходит с вероятностью единица из i-го состояния в j-е, i, j = 1,2 (ijj); 2) вторая случайная величина распределена по экспоненциальному закону F^2 (()= 1 - e~Xit, i = 1,2; в момент окончания i-го состояния процесс X(t) переходит с вероятностью P1(X/jXi) в j-е состояние (i Ф j) с наступлением события, либо с вероятностью Р0(Х;]Х) переходит в j-е состояние (i Ф j) без наступления события, либо с вероятностью P1(Xi|Xi) переходит в i-е состояние с наступлением события. При этом P0(X/jXi)+ P1(X/jXi)+ P1(Xi|Xi) = 1. Случайные величины являются независимыми друг от друга. В сделанных предположениях X(t) - марковский процесс. Матрицы инфинитези-мальных характеристик процесса X(t) примут вид - (a1 + Х ) a1 + Х1р) 2 |Х1) X2P0 (1 |Х2 ) -(a 2 2 ) X1P1 (х1 |Х1) V1(2IX) X2P1 (1 |Х2 ) X2P1 (2 Do = D1 = a 2 + Л 21 0 Элементами матрицы D1 являются интенсивности переходов процесса X(t) из состояния в состояние с наступлением события. Недиагональные элементы матрицы D0 - интенсивности переходов из состояния в состояние без наступления события. Диагональные элементы матрицы D0 - интенсивности выхода процесса X(t) из своих состояний, взятые с противоположным знаком [3]. Заметим, что в приведённом определении модулированного MAP-потока событий в явном виде не оговаривается, в каком состоянии процесса X(t) наступает событие потока при переходе X(t) из первого (второго) состояния во второе (в первое). Отметим, что в реальных потоках событий, моделями которых являются модулированные MAP-потоки, событие потока (в момент окончания того или иного состояния процесса X(t)) наступает с полной определённостью в первом или во втором состоянии процесса X(t). В данной статье при получении формул для плотностей вероятностей данное обстоятельство является несущественным, так как наступление события и переход процесса X(t) из состояния i в состояние j, i,j = 1,2, происходят мгновенно. Вариант возникающей ситуации представлен на рис. 1, где X и X2 - состояния случайного процесса X(t); t1, t2,... - моменты наступления событий потока. Процесс X(t) принципиально ненаблюдаемый, а наблюдаемыми являются только временные моменты наступления событий потока t1, t2, ... . Рассматривается стационарный режим функционирования потока. В силу предпосылок в моменты времени наступления событий t1, t2,..., 4,... последовательность {X(tk)} представляет собой вложенную цепь Маркова, т.е. модулированный MAP-поток обладает марковским свойством, если его эволюцию рассматривать с момента tk - момента наступления события потока, k = 1,2,. . Обозначим тк = tk+1-tk, k = 1,2,., - значение длительности k-го интервала между соседними событиями потока. Так как рассматривается стационарный режим, то плотность вероятностей значений длительности k-го интервала p(Tk) = р(т), т>0, для любого k. В силу этого момент времени tk наступления события без ограничения общности можно положить равным нулю или, что то же самое, момент наступления события есть т = 0. Пусть (tk,tk+1), (tk+1,tk+2) - два смежных интервала, длительности которых есть Tk = tk+1-tk и Tk+1 = = tk+2-tk+1 соответственно; их расположение на временной оси в силу стационарности потока произвольно. Тогда, полагая k = 1, будем рассматривать два соседних интервала (t1,t2), (t2,t3) с соответствующими значениями длительностей т1 = t2-11 и т2 = t3-12; т1>0, т2>0. При этом т1 = 0 соответствует моменту t1 наступления события потока; т2 = 0 соответствует моменту t2 наступления следующего события потока. Соответствующая совместная плотность вероятностей при этом есть p (т1,т2), т1>0, т2>0. (() P ((1() а P0 ((1|(2 ) P1 ((11( 2 ) а2 , P1 ((2|(2 ) P0 ((2|(1 ) P1 (( 2() ( 2 ■О t3 О t4 о -O-О t1 t2 t5 ... t Рис. 1. Модулированный MAP-поток событий Задача заключается в нахождении явного видар(т) и явного видаp (ti,t2), а также в установлении условий рекуррентности модулированного MAP-потока событий. 2. Вывод плотности вероятностей р(т) Введём в рассмотрение вероятности Ру(т) того, что на интервале (0,т) нет событий модулированного MAP-потока и в момент времени т значение процесса Х(т) = Xj при условии, что в момент времени т = 0 значение процесса X(0) = Xi, i,j = 1,2. Тогда для указанных вероятностей справедливы следующие системы дифференциальных уравнений с начальными условиями: Рп (Т) = "(а1 + (1 ) Р11 (') + (а2 + (2 P0 ((1 I (2 )) Р12 (') < p;2 (') = ( +(1р0 (Яг1 (1 ))) (т)-(а2 +(2)Р12 (') Р11 (о) = 1, Р12 (0) = 0, Р^2 (') = -(а2 + (2 ) Р22 (') + (а1 + (1P0 ((2 1 (1 )) Р21 (') ' Р21 (') = ( + (2 P0 ((1 1 (2 ))Р22 (Т)-(а1 + (1 ) Р21 (') Р22 (о ) = 1, Р21 (о ) = 0. Решая записанные системы, находим вероятности Ру(т), i, j = 1,2, в виде Р11 (') =-1-Г(( +а2 - 21 )e-Z'X -((2 +а2 - 22 )e-* '], z2 - Z1 L Р12 (Т) = а1 + VU* 2IX) |-е_ 2,-е-, 22 21 Р22 (') =-~[((1 +а1 - 21 )^ -((1 +а1 - 22 )Z2X] , 22 21 Р21 (T) = a2^^XL|X^-е-21'- е-г2'j, 22 21 (( + (2 +а1 +а2) - ( -(2 +а1 -а2 )2 + 4 (а1 + Х1Р0 ((21 ( )) (а2 + (2P0 (( | (2)) , (( + (2 +a1 +a2) + -(2 +a1 -a2)2 + 4( + (/0((21 ())(a2 + (2Р0(( I (2)) (1) z2 = _ 2 2 0 < Zj < z2. С учётом определения модулированного MAP-потока введём ^ii(x)^iAxpi(^i|^i)+o(Ax) - совместную вероятность того, что без наступления событий потока на интервале (0,т) процесс Цт) перешёл на этом интервале из первого состояния в первое, на полуинтервале [т,т+Ат) произошло окончание первого состояния процесса Цт) и процесс Цт) на полуинтервале [т,т+Ат) перешёл из первого состояния в первое с наступлением события потока. Аналогичные совместные вероятности примут вид Р12 (т)(2Лт^ ((1 |(2 )+ °(Л"0 , Р12 (т)(2^1 ((2I(2 )+ °(Л"0, Р21 (т)( АтР1 ((1()+ °(Лт) , Р21 (х)(1 Ахр1 ((2( ) + о(Лт) , Р22 (Т)(2ЛХР1 ((11(2 )+ о(Лт) , Р22 (т)(2Л1Р1 ((21(2 ) + о(Лт) , Р11 (т^Лт^ ((21(1)+о(Лт). Тогда соответствующие плотности вероятностей запишутся в виде ~1«(т)=(1Р1 ((11(1 ))11 (т), ^11(2)(х)=( 2Р1 ((11( 2 )Р12 (0, ~12(1)("0 = (2Р1 ((21(2 )Р12 (т) , ,Р12(2)(т) = (1Р1 ((21(1 )Р11 (т) , ^21(1)(т) = (1Р1 ((11(1 ))21 (т) , ,Р21(2)(т) = (2Р1 ((11(2 )Р22 (т) , ~22(1)(т)= ( 2 Р1 (( 2|( 2 ))22 (т), ^22(2)(т)= (1Р1 (( 21(1 )Р21 (т) . Очевидно, что плотности вероятностей pij. (т) того, что без наступления событий потока на интервале (0,т) и наступления события в момент т процесс Цт) перейдёт на этом интервале из состояния i в состояние j (i, j = 1,2), запишутся в виде ~11(т) = (1Р1 ((11(1 )Р11(т) + (2Р1 ((11(2 )Р12 (т) , ~12 (т) = (2Р1 ((21(2 )Р12 (т) + (1Р1 ((21(1 )Р11(т) , ~21 (т) = (1Р1 ((11(1 )Р21 (т) + (2Р1 ((11(2 )Р22 (т) , ~22 (т) = (2Р1 ((21(2 )Р22 (т) + (1Р1 ((21(1 )Р21(т) . (2) Подставляя (1) в (2), получаем выражения для плотностей вероятностей Р. (т), i, j = 1, 2, в явном виде. Поскольку т - произвольный момент времени, то Р. - вероятности перехода процесса Цт) из состояния i в состояние j (i, j = 1, 2) за время, которое пройдёт от момента т = 0 до момента наступления очередного события потока, определятся в виде да да да Р11 = j Р11 (ТУт = (1Р ((1 |(1 )) Р11 (T)dт + (2 Р1 ((1 |( 2 )) Р12 (T)dт , 0 0 0 да да да Р12 = j Р12 (T)dТ = (2Р ((2 |( 2 )) Р12 (ТУТ + (1Р ((2 |(1 )) Ри (T)d Т , 0 0 0 да да да Р21 = j Р21 (T)dТ = (1Р ((1 |(1 )) Р21 (T)dТ + (2Р ((1 |(2 )) Р22 (T)dТ , (3) 0 да да да Р22 = j Р22 (T)dТ = (2Р1 ((2 |(2 )) Р22 (T)dТ + (1Р1 ((2 |(1 )) Р21 (T)dТ . 0 0 0 Подставляя (1) в (3), находим Р11 = (Z1Z2 )-1 [(1 Р1 ((1 |(1 )((2 + a2 ) + (2Р ((1 |(2 )(a1 + (1Р0 ((2 |(1 ))] , Р12 = (Z1Z2 )-1 [(1 Р1 ((2 |(1 ) ((2 + a2 ) + (2Р ((2 |(2 ) (a1 + (1Р0 ((2 |(1 ))] : Р21 = (ZZ2 )-1 [(2Р ((1 |(2 ) ((1 + a1 ) + (1 Р ((1 |(1 ) (a2 + (2Р0 ((1 |(2 ))] , Р22 = ()-1 2P1 ((2 2 )((1 + a1 ) + \P1 ((2 |(1 ) (a2 + (2P0 (A1 |(2 ))] , Z1Z2 =(( +a1 +a 2 )-(a1 + Vo (( 2 ( ))(a 2 +X2p) (( A )). (4) Введём в рассмотрение n(0) - условную стационарную вероятность того, что процесс Х(т) в момент времени т = 0 находится в состоянии i при условии, что в момент времени т = 0 событие потока наступило, i = 1,2 (л1(0)+л2(0)=1). Тогда, так как {X(tk)} есть вложенная цепь Маркова, то для вероятностей л,(0) справедливы следующие уравнения: (0)= Р11Л1(°) + Р21Л2 (0), Ъ2 (0)= Р12Л1 (0)+ Р22 Ъ2 (0), (5) где переходные вероятности pj (i, j = 1, 2) определены формулами (4). Подставляя (4) в (5), получаем Ъ (0) = {x2P (( ()(( +a1 ) + ( P1 ((1^1 )(a2 + (P0 (( ())} (()(( +a2) + +(2p ( \X2)(( +a1) +A1II ( )(cx2 + (2P0 (1 \X2))P (A2\(2)(c^1 + VP ((2))}"\ Ъ(0) = {{ (A)(( +a2) + (P ((|A2)(a +A1P0(())} (A)(( +a2) + +(2P (( 2)(( +a1 ) + ( P ( )(cx2 + A2P0 (2))++A2P (22)( + \P0((2))}"\ Плотность вероятностей р(т) длительности интервала между соседними событиями в модулированном MAP-потоке примет вид 2 2 р(т) = £i(0)£Pj(т), т> 0. (7) i=1 j=1 Подставляя в (7) сначала (2), затем (1) и (6) и проделывая достаточно трудоёмкие преобразования, получаем явный вид плотности вероятностей р(т): р(т) = yz1e-Z1T + (1 - y)z2e-Z2T, т > 0, у = --- { - М1 (0)[1 - P0 (a 2 A )]-( 2 ^2 (0)1 - P0 ((11A 2 )]}, (8) Z2 Z1 где z1 и z2 определены в (1), п1(0) и п2(0) определены в (6). Положив в z1 и z2 параметры а1 = а2 = 0, получаем плотность вероятностей р(т) для MAP-потока [26]. 3. Вывод совместной плотности вероятностей p (т1,т2) В моменты времени наступления событий t1, t2,..., tk,... последовательность {X(tk)} представляет собой вложенную цепь Маркова, поэтому совместная плотность вероятностей значений длительности двух соседних интервалов p (т1,т2) примет вид p(T1, Т2 )= £ Ъ ()ip,j (Т1 )£pjk (Т2 ), (9) i=1 j=1 k=1 где pj (т1), pjk (т2) - плотности вероятностей, соответствующие переходным вероятностям pj (т1), Pjk (т2) и вычисленные по формулам (2) при т = т1 и т = т2. Подставляя в (9) сначала pj (т1), pjk (т2), затем pj (т1), pjk (т2), определённые формулами (1) при т = т1 и т = т2 и, наконец, п,(0), i = 1,2, определенные в (6), и проделывая необходимые достаточно трудоёмкие преобразования, находим Р (Т1, Т2 ) = Р (Т1 )p (Т2 ) + у(1 -у) - [ P ((1 |(1 )P ((2 )-P ((1 )P ((2 )> Z1Z2 (10) x(e-Z1T1 - z2e-Z2T )(z1e-Z1T2 - z2e-), т1 > 0,т2 > 0, гдер(т1), р(т2), у определены в (8) для т = т1 и т = т2; z1 и z2 определены в (1). Полагая в (10) параметры а1 = а2 = 0, получим совместную плотность вероятностей p (т1,т2) для MAP-потока событий [26]. (6) 4. Условия рекуррентности модулированного MAP-потока событий Рассмотрим случаи, при которых модулированный MAP-поток событий становится рекуррентным. С учётом выражения (8) для у и выражений (6) для п(0), i = 1,2, находим У(1 -У)=( Z-Z2 )2 ((1 [1 - Ро ((2 |(1 )^-(2 [1 - Ро ((1 |(2 )])х (Z2 Z1 ) х{ (0 )((1 [^ Р (( +a1 )) (0 )((2 [1-Р ((2 |(2 )^ + a2 )}Х (11) х{(1 [1 - Ро ((2 )](( [^ Р ((2 |(2 )^ + a2 )+(2 [1-Ро ((1 )]( [^ Р ((1 )) + a1 )) \ Анализируя выражение для у(1-у), замечаем: 1) если (^1-Р0((21(1)]-(2[1-Р0((11(2)]= 0, то совместная плотность (10) факторизуется: р(тьт2) = р(т!)р(т2); подставляя указанные условия в выражение (1) для z1, находим z1 = (1 [1 - Р0 ((21(1)] либо z1 =(2[1 -Р0((11(2)]; при этом из (8) следует, что у =1 и р(т;.) = z1e-Z1T', тг>0, i = 1,2, или р(т) = z1e - Z1T, т>0; 2) если ,1 (о)((1 [1 -Р1 ((11(1 )]+a1 )-,2(о)((2[1 -Р1 ((21(2)]+a2)= 0, то совместная плотность (10) факторизуется: р(тьт2) = р(т0р(т2). При этом из (1) следует, что V2 [Р1 ((1 I (2) + Р1 ((1 I (1 )Ро ((1 I (2)]+(1a2Р1((1 I (1)+(201Р1 ((1 | (2) Z =■ ( 2 ^ - Р1 (( 2I ( 2 )] + a 2 либо z = (1(2 [Р1 ((2 I (1) + Р1 ((2 I (2)Ро ((2 I (1-)]+(1a2Р1 ((2 I (1)+(201Р1 (2 I (2) (12) 1 (1[1 - Р1((11 (1 )]-Ю1 ' 1 ' и из (8) находим у = 1 и р(тг- ) = z1e- Z1T', тг>0, i = 1,2, т.е. р(т) = z1e- Z1T, т>0. Из выражения (10) для совместной плотности вероятностей p (т1,т2) следует третье условие её факторизации: Р1 ((11(1 ) ((21( 2 )-Р1 ((11( 2 ) ((21(1 )= 0. Тогда из (6) в результате необходимых преобразований находим ,1 (0)= ( Р ^ , ) либо ,1 (0)= ( ,Р1)|(2(( , ), 1W Р1 ((1 ( )+ Р1 ((21 (1) ^ Р1 (2 ) + Р1 ((21( 2 ) ,2(0)= ( Р(2, ) либо ,1 (0)= ( Р1 ((2|(2( , ) . 2W Р1 ((1 ( )+ Р1 ((21(1) ^ Р1 (2 ) + Р1 ((21(2) Тогда из (8) следует У = {Z2 - (1Р1 ((11(1)- (2Р1 ((21(2 )} Z2 Z1 1 - У = -^ {- Z1 + (1Р1 ((11(1) + (2Р1 ((21(2 )} Z2 Z1 и р(т;) = yz1e - Z1Ti +(1 - y)z 2e - Z2Ti, тг>0, i = 1,2, т.е. p(T) = yz1e - Z1T+(1 -y)z2e - Z2T, т>0. Если выполняется одно из перечисленных условий, то тогда модулированный MAP-поток событий будет рекуррентным потоком. Действительно, пустьp (тьт^.д^тш) - совместная плотность вероятностей значений длительностей интервалов т1,т2,...,тк+1, где тк = tk+1-tk, k = 1,2, ... . Для k = 1 имеет место p (тьт2) = p (т0p (т2). Докажем факторизацию плотностиp (тьт2,...,тк) методом математической индукции. Пустьp (т1,т2,...,тк) = p (т0 ... p (тк). Так как в моменты наступления событий потока t1, t2, ... , tk последовательность {^(tk)}, к = 1,2, ..., образует вложенную цепь Маркова, то дальнейшее после момента tk поведение потока не зависит от предыстории. Тогда p^i,...,^,^!) = p(тk+1|т1,...,тk)p(т1,...,тk) = = p(тk+l|тk)p(тl,.,тk). Здесь p(тk+l|тk) = p(тk,тk+l)p(тk). Так как для двух соседних интервалов (tk,tk+0, (tk+1,tk+2), k = 1,2,., расположенных на временной оси произвольно, справедливо р^т+О = p^kp^+O, то p^k+iW) = pCtk+1). Таким образом,р^,...^^,) = р^+^р^,...т^ илиp (ть.^тш) = p(тi)p(т2)...p(тk+i). При обсуждении условий рекуррентности необходимо использование результатов, приведённых в [28, 29]. Для первого условия факторизации (,[1 - P0 ((21(1 )]=( 2[1 - P0 ((11( 2 )] апостериорная вероятность w(X1|t) первого состояния процесса X(t) в момент tk наступления события потока имеет вид w( |t + 0)= М ((1 I (1)-(2P1 ((1 I (2 ] | tk - 0)+( 2P1 ((1 I (2 ) ( 2 [1 - P0 ((1 | ( 2 )] ' Таким образом, апостериорная вероятность первого состояния процесса X(t) (несмотря на то, что поток рекуррентный и плотность р(т) = z1e- Z1T) зависит от предыстории, т.е. от значений апостериорной вероятности w(X1|t) в моменты наступления событий t1, t2, ..., tk. Если ввести дополнительное условие = XPi(X|X), то w(|tk+0)=д^Л , k=1,2, ..., 1 -P0l(i | (2) т.е. апостериорная вероятность w(X|t) первого состояния процесса X(t) не будет зависеть от предыстории, а будет определяться лишь её значением в момент наступления события потока. Это значение апостериорной вероятности одинаково для всех моментов времени tk наступления событий потока, k = 1,2, ... Итак, при дополнительном ограничении имеется некоторая близость модулированного MAP-потока событий к простейшему потоку. Для второго условия факторизации л, (0)((1 [l - P (( )] + a1 )-л2 (0)((2 [l-р((2 |(2 )] + a2 ) = 0 апостериорная вероятность w(X,|t) первого состояния процесса X(t) в момент tk также будет зависеть от предыстории, несмотря на то что поток рекуррентный и плотность экспоненциальная: р(т) = zieZjT, т>0. Для третьего условия факторизации P,(((21(2)-P,2((2()= 0 апостериорная вероятность w(X|t) первого состояния процесса X(t) в момент tk наступления события потока имеет вид w((|tk + 0)= ( Pl()11 (()-т = Л1 (0), k = 1,2, ... . Vl' k ' Pi((i | (i) + Pi (A 2|(i) Таким образом, апостериорная вероятность w(X,|t) не зависит от предыстории, а определяется лишь её (апостериорной вероятности) значением в момент наступления события потока. Итак, в данной ситуации имеется некоторая близость модулированного MAP-потока событий к простейшему потоку в том смысле, что апостериорная вероятность первого состояния процесса X(t) в моменты наступления событий потока принимает постоянное значение. Заключение Полученные результаты можно использовать для решения задачи оценивания неизвестных параметров модулированного MAP-потока событий, таких как интенсивности X,, X2 и вероятности P0(Xj|Xi), Pi(Xj|Xi), i, j = 1, 2. При этом, например, для нахождения оценок, после построения соответствующей функции правдоподобия, можно воспользоваться методом максимального правдоподобия либо применить метод моментов, решив соответствующие системы уравнений.

Скачать электронную версию публикации