Asymptotic analysis of the flow of repeated requests in system MMPP|M|<» with repeated requests.pdf В качестве математических моделей социально-экономических и сложных технических систем, в том числе телекоммуникационных систем и систем облачных вычислений, часто используют системы массового обслуживания (СМО) с неограниченным числом обслуживающих приборов. Исследование таких систем с пуассоновским входящим и произвольным временем обслуживания можно встретить в работах В.В. Рыкова, П.П. Бочарова, А.В. Печинкина и других авторов [1-4]. Однако применение пуассоновского потока для расчета характеристик качества обслуживания в реальных системах дает большую погрешность. Доказательство адекватности применения марковского модулированного пуассоновского потока для описания информационных потоков в мультисервисных сетях связи и телекоммуникационных системах приведено в исследованиях W.E. Leland, M.S. Taqqu, W. Willinger, V. Paxson, C. Lindemann, M. Lohmann и др. [5, 6]. Основными методами исследования СМО с неограниченным числом приборов, как правило, являются метод вложенных цепей Маркова и метод дополнительной переменной. В последнее время также развиваются матрично-аналитические методы [3, 7-11]. В случаях, когда не удается найти характеристики системы в явном виде, применяют асимптотические методы [12-18]. Одной из модификаций СМО с неограниченным числом приборов являются системы массового обслуживания с повторными обращениями, которые применяются для описания математических моделей, например, страховых или торговых компаний [19]. Кроме того, подобные системы предлагаются в качестве математических моделей распределительных вычислительных сетей [20]. Для аналогичных систем с произвольным временем обслуживания в работе [19] предложен метод предельной декомпозиции, позволяющий свести исследование бесконечно линейной системы массового обслуживания к исследованию совокупности однолинейных систем. К сожалению, данный метод не удается применить для исследования систем с непуассоновским входящим потоком [21]. Данная статья посвящена исследованию потока обращений в системе с повторным обслуживанием заявок и входящим марковским модулированным потоком (ММРР). С помощью метода начальных моментов найдены точные выражение для основных вероятностных характеристик числа повторных обращений в систему. Кроме того, предложено развитие метода асимптотического анализа для исследования потока повторных обращений при условии растущего времени обслуживания заявок. 1. Постановка задачи Рассмотрим систему массового обслуживания с неограниченным числом приборов, на вход которой поступает марковский модулированный поток (MMPP), управляемый цепью Маркова k (t) с конечным числом состояний, k(t) = 1, 2, ..., K, заданной матрицей инфинитезимальных характеристик Q = , i,V = 1, 2, ••, K, и матрицей условных интенсивностей Л [13]. Продолжительность обслуживания заявки является случайной величиной и имеет экспоненциальное распределение с параметром ц. Поступившая заявка занимает любой из свободных приборов, завершив обслуживание на котором с вероятностью 1 - r покидает систему или с вероятностью r возвращается для повторного обслуживания. Ставится задача исследования потока повторных обращений в системе MMPPjMjw повторным обращением. Обозначим i(t) - число занятых приборов в момент времени t, n(t) - число повторных заявок, обратившихся за время t, k(t) - состояние управляющей цепи Маркова. Очевидно, что процесс {i(t), n(t)} не является марковским, так как интенсивность поступления заявок в рассматриваемую систему зависит от состояния управляющей цепи Маркова k(t), поэтому будем рассматривать трехмерную цепь Маркова {k(t), i(t), n(t)}. Для распределения вероятностей P(k,i,n, t) = P{k(t) = k,i(t) = i,n(t) = n} можно записать систему дифференциальных уравнений Колмогорова вида dP(k,hnt) = - kP(k,i,n, t) -iyP(k,i,n, t) + XkP(k,i -1,n, t) + ц(1 - r)(1 + i)P(k,i +1,n, t) + dt +yirP(k,i,n -1,t) + XP(v,i,n,t)qvk, k,v =1, 2, ..., K, i,n = 1, 2, 3, ... . (1) Введем частичные характеристические функции [23] вида H(k,ы,w,t) = ££eJuleJw"P(k,i,n,t). i n Учитывая, что dH(k,ы,щt) = jY^ieJuleJwnP(k,i,n,t), ды i n dH(k,ы,щt) = jYiYineJ"ieJw"P(k,i,n,t), дщ i n из (1) получаем следующую систему уравнений: дH (k,ы,W,t) + ну дH (k,ы,W,t) (-1 + (1 - r) e - J + reJw) = д t ды = H(k,ы,w,t)[ X k(eJ - 1)] + XH(v,ы,w,t)qvk . Запишем данную систему в виде дифференциального матричного уравнения +MreJw-1+(1 - r)eJ = Н(ы, w, t)[(J-1)Л+Q], (2) д ды где Н(ы,w,t) = [H(1,ы,w,t),H(2,ы,w,t),...,H(K,ы,w,t)], q11 q12 . q1K q21 q22 . q2K qK1 qK 2 . qKK_ 2. Нахождение начальных моментов числа повторных обращений Для нахождения основных вероятностных характеристик процесса, характеризующего среднее число повторных обращений в исследуемую систему за время t, будем использовать дифференциально-матричное уравнение (2). Сформулируем вспомогательное утверждение. Лемма. Среднее число занятых приборов при нестационарном режиме функционирования системы MMPP|M|

Скачать электронную версию публикации