Joint probability density function of the interval duration between an adjacent events of the modulated synchronous flow.pdf В настоящей статье проводится дальнейшее исследование модулированного синхронного потока событий, начатое в работах [1-4]. Математические модели систем массового обслуживания широко применяются при описании реальных физических, технических и других процессов и систем. В связи с бурным развитием компьютерной техники и информационных технологий появилась важная сфера приложений теории массового обслуживания - проектирование и создание информационно-вычислительных сетей, компьютерных сетей связи, спутниковых сетей, телекоммуникационных сетей, объединенных термином «цифровые сети интегрального обслуживания» (ЦСИО) [5]. На практике параметры, определяющие входящий поток событий, изменяются со временем, при этом изменения часто носят случайный характер, последнее приводит к рассмотрению дважды стохастических потоков событий. По-видимому, одной из первых работ в этом направлении стала статья [6], в которой дважды стохастический поток определяется как поток, интенсивность которого есть случайный процесс. Дважды стохастические потоки можно разделить на два класса: к первому классу относятся потоки, интенсивность которых есть непрерывный случайный процесс; ко второму классу относятся потоки, интенсивность которых есть кусочно-постоянный случайный процесс с конечным числом состояний. Подчеркнем, что потоки второго класса впервые введены в рассмотрение практически одновременно в 1979 г. в [7-9]. В [7, 8] введенные потоки названы MC (Markov сЬат)-потоками, в [9] - MVP (Markov versatile processes)-потоками. С начала 90-х гг. отечественные и зарубежные авторы в своих работах [10-15] называют введенные в [7-9] потоки событий либо дважды стохастическими потоками событий, либо MAP-потоками, либо MC-потоками. В свою очередь, в зависимости от того, каким образом происходит переход из состояния в состояние, MC-потоки можно разделить на три типа: 1) синхронные потоки событий [16-21]; 2) асинхронные и обобщенные асинхронные потоки событий [22-27]; 3) полусинхронные и обобщенные полусинхронные потоки событий [28-33]. В [34] введены в рассмотрение MAP-потоки событий первого порядка (собственно, MAP-потоки, введенные в [9]) и MAP-потоки событий второго порядка (суперпозиция двух синхронизированных MAP-потоков первого порядка, отличающихся друг от друга исходными параметрами). В [34] показано, что синхронный MC-поток является частным случаем MAP-потока первого порядка, асинхронный и полусинхронный MC-потоки являются частными случаями MAP-потока второго порядка. В реальных ситуациях параметры, задающие входящий поток событий, известны либо частично, либо вообще не известны, либо (что еще более ухудшает ситуацию) изменяются со временем. Вследствие этого возникают задачи: 1) оценки состояний потока (задача фильтрации интенсивности потока) по наблюдениям за моментами наступления событий [24, 27, 29, 33, 35]; 2) оценки параметров потока по наблюдениям за моментами наступления событий [16-22, 26, 28, 30-32]. Одним из искажающих факторов при оценке состояний и параметров потока событий выступает мертвое время регистрирующих приборов [36], которое порождается зарегистрированным событием. Другие же события, наступившие в течение периода мертвого времени, недоступны наблюдению (теряются). Можно считать, что этот период продолжается некоторое фиксированное время (непродлева-ющееся мертвое время). В качестве примера приведем протокол CSMA/CD - протокол случайного множественного доступа с обнаружением конфликта, широко используемого в компьютерных сетях. В момент регистрации (обнаружения) конфликта на входе некоторого узла сети по сети рассылается сигнал «заглушки» («пробки»); в течение времени рассылки сигнала «заглушки» заявки, поступившие в данный узел сети, получают отказ в обслуживании и направляются в источник повторных вызовов. Здесь время, в течение которого узел сети закрыт для обслуживания заявок, поступающих в него после обнаружения конфликта, можно трактовать как мертвое время прибора, регистрирующего конфликт в узле сети. В работах [1-4] введен в рассмотрение модулированный синхронный поток событий, являющийся обобщением синхронного потока и относящийся к классу MAP-потоков второго порядка. Синхронный поток событий систематически исследовался в работах [16-21, 37-41]. В настоящей статье, являющейся непосредственным развитием работ [1-4], приведен вывод совместной плотности вероятностей значений длительности интервалов между соседними событиями модулированного синхронного дважды стохастического потока, функционирующего в условиях непродлевающегося мертвого времени. Приводятся условия рекуррентности рассматриваемого потока, а также некоторые его вероятностные характеристики. 1. Постановка задачи Рассматривается модулированный синхронный поток событий (далее поток), интенсивность которого есть кусочно-постоянный стационарный случайный процесс X(t) с двумя состояниями: X, X 2 (X > X 2 > 0). Длительность пребывания процесса X(t) (потока) в i-м состоянии распределена по экспоненциальному закону с параметром a i, i = 1,2 . Если процесс X(t) в момент времени t находится в i-м состоянии, то на полуинтервале [t, t + At), где At - достаточно малая величина, с вероятностью a iAt + o(At) пребывание процесса X(t) в i-м состоянии закончится и процесс X(t) с вероятностью, равной единице, перейдет из i-го состояния в j-е (i, j = 1,2, i Ф j). В течение временного интервала случайной длительности, когда X(t) = Xi , имеет место пуассоновский поток событий с интенсивностью X i, i = 1,2. Кроме того, переход из первого состояния процесса X(t) во второе возможен в момент наступления события пуассоновского потока интенсивности Xj; переход осуществляется с вероятностью p (0 < p < 1); с вероятностью 1 - p процесс X(t) остается в первом состоянии. Переход из второго состояния процесса X (t) в первое возможен также в момент наступления события пуассоновского потока интенсивности X 2; переход осуществляется с вероятностью q (0 < q < 1); с вероятностью 1 - q процесс X(t) остается во втором состоянии. В сделанных предпосылках X(t) - марковский процесс. После каждого зарегистрированного события наступает время фиксированной длительности T (далее мертвое время), в течение которого другие события потока недоступны наблюдению. Рассматривается непродлевающееся мертвое время, т.е. события, наступившие в течение интервала мертвого времени, не вызывают его продления. По окончании длительности периода мертвого времени первое наступившее событие вновь генерирует период мертвого времени длительности T и т.д. Вариант возникающей ситуации приведен на рис.1, где Xx,X2 - состояния процесса X(t), tx,t2,.... - моменты наступления наблюдаемых событий потока, штриховка - периоды мертвого времени длительности T , ось под номером 1 отображает исходный модулированный поток событий, под номером 2 - схему создания мертвого времени, под номером 3 - наблюдаемые события модулированного синхронного потока. X(t) 1-p 1-p 1-p X 1-q 1-q q a a 1-q 2 X 2 1 t У 1111*1 HI T литии -щшщ- Щ1ПШЦ 2 t T T 3 t t t t t 1 3 4 2 Рис. 1. Формирование наблюдаемого потока событий Блочная матрица инфинитезимальных коэффициентов примет вид (1" p)X i pX i -(X2 +a2) qX 2 (1 - q)X 2 Элементами матрицы D1 являются интенсивности переходов процесса X(t) из состояния в состояние с наступлением события. Недиагональные элементы матрицы D0 - интенсивности переходов из состояния в состояние без наступления события. Диагональные элементы матрицы D0 - интенсивности выхода процесса X(t) из своих состояний, взятые с противоположным знаком. Отметим, что если a i _ 0, i _ 1,2, то имеет место обычный синхронный поток событий [40]. Подчеркнем, что в постановке задачи принимается первичность наступления события, затем - переход процесса X(t) из состояния в состояние. Данное обстоятельство при получении аналитических результатов является несущественным, так как наступление события и переход процесса X(t) из состояния в состояние происходят мгновенно. При получении же численных результатов путем имитационного моделирования необходима определенность, что первично - наступление события, затем смена состояния либо наоборот. Процесс X(t) и типы событий (события пуассоновских потоков с интенсивностями X1 либо X2) являются принципиально ненаблюдаемыми (в сделанных предпосылках X (t) - скрытый марковский процесс), а наблюдаемыми являются только моменты наступления наблюдаемых событий на временной оси t1,12,.... Рассматривается стационарный режим функционирования потока. Последовательность моментов t1, t2..., tk,... наступления событий наблюдаемого потока порождает вложенную цепь Маркова {X(tk)}, т.е. поток обладает марковским свойством, если его эволюцию рассматривать с момента tk (момент наступления события потока), k = 1,2, ... . Обозначим хk _ tk+i - tk, k _ 1,2,..., - значение длительности k-го интервала между моментами наступления соседних событий наблюдаемого потока. Так как поток функционирует в стационарном режиме, то плотность вероятностей значений длительности интервала между моментами наступления соседних событий наблюдаемого потока pT (х k) _ pT (х), х > 0, для любого k. Таким образом, без потери общности момент наступления события tk можно положить равным нулю, т.е. х _ 0 . D _- (X 1 + a1) a1 =1 Do |A|. Пусть х к - tk+1 - tk, x ^+1 - tk+2 - tk+1, k - 1,2,... , - значения длительностей смежных k-го и k+1-го интервалов между соседними событиями наблюдаемого потока. В силу стационарности потока можно положить к = 1 и рассматривать длительности интервалов х1 -12 -11, х 2 -13 -12, х1 > 0, х2 > 0. Тогда х1 - 0 соответствует моменту t1 наступления события наблюдаемого потока, а х 2 - 0 соответствует моменту 12 наступления следующего события наблюдаемого потока. При этом соответствующая совместная плотность вероятностей имеет вид pT (х к, х k+1) - pT (х1, х 2), х1 > 0, х 2 > 0 . Основной задачей работы является получение явного вида плотности вероятностей pT (х) и явного вида совместной плотности вероятностей pT (х1, х2). В ходе исследования находятся условия рекуррентности наблюдаемого потока событий, а также его вероятностные характеристики. 2. Вывод плотности вероятностей pT (х) Пусть т - значение случайной величины длительности интервала между моментами наступления двух соседних событий наблюдаемого потока (рис. 2). Q/////y////////J-О х- 04-v-х - T х T Рис. 2. Интервал между соседними наблюдаемыми событиями потока Тогда плотность вероятностей pT (т) значений длительности интервала между наступлениями соседних событий модулированного синхронного потока, функционирующего в условиях мертвого времени, запишется в виде Г0,0 < т < T, £ п, (01T) £ ql} (T) XPjk (т - T), т > T, i-1 j=1 k=1 pt (т) = < (1) где Pjk (х - T) - условная плотность вероятностей того, что на интервале (т - T, т) нет событий потока и в момент времени т имеет место Х(т) - Xк при условии, что в момент времени т - T значение процесса Х(т - T) - X j (j, k = 1,2); qtj (T) - вероятность того, что за время Т процесс X(t) перешел из i-го состояния в j-е, i,j =1,2; п i (0 | T) - условная стационарная вероятность того, что в момент т - 0 процесс X(t) находится в состоянии i, событие потока наступило и наступило мертвое время длительности T. Обозначим t - х-Т, х>T . Введем pjk(t) - переходную вероятность того, что на интервале (0,t) нет событий потока и в момент времени t имеет место A,(t) - Xк при условии, что в момент времени t - 0 значение процесса Х(0) - X j (j, k = 1,2). Тогда для введенных вероятностей pjk(t) имеет место система дифференциальных уравнений pu '(t) - -(Х + a1)p11 (t) + a2p12 (t), p12'(t) - -(Х2 + a2)pl2 (t) + a1 pu (t), p22'(t)--(Х2 +a2)p22(t) + a1^21(t), p12'(t) --(Х1 +a1)p21 (t) + a2p22(t), pn(0) - 1, p12(0) - 0, p22(0) - 1, p21(0) - 0. Решая полученную систему дифференциальных уравнений, находим (Х2 +a2 -z1)e z -(Х2 +a2 -z2)e a e~ht _e~z2< pu(t) -■ p12(t) z~> zi z z1 a e - z1f - e " z2f p21(t) p22(t) (2) (Х1 +a1 - z1)e zz - (Х1 +a1 - z2)e Zlt z zi Zi ■■ (a1 +Х1 +a2 +Х2) + sj(a1 +Х1 - a2 - Х2)2 +4a1a2. При этом плотности вероятностей pjk (t) - pjk (х -T), j, k=1,2, из формулы (1) для плотности вероятностей pT (т) примут вид p11 (t) - pn(t)Х (1 - p) + p12 (t)Х2q, p12 (t) - pn(t)Хp + p12 (t)Х2 (1 - q), p22 (t) - p22 (t)Х2 (1 - q) + p21 (t)Х1 p, p21 (t) - p22 (t)Х2q + p21 (t)Х1 (1 - pX где вероятности p jk (t) определены в (2). Подставляя (2) в (3), затем заменяя t на т - Т, получаем явный вид плотностей вероятностей Pjk (х -T), j, k = 1,2: р11(т -T) - (3) - xi(l- p) [(x2 + а^ z1)^z1(^T} -(X2 + а2 -z^e-^-T> z 2 - z1 Pp12 (т T) а1х 2 q e~z1( X-T ) _ e z2 -T ) z 2 z1 X1p \f\ \ -z.Cx -T) ■-[(X 2 + а 2 -z1)e ^ ; (4) e~z1(x~T) _ e z2 -T) z 2 z1 Pp21 (т T ) - -[(X1 + ^ _z1)^z1(-T) -(X1 + а1 -z2)e-z2(т-Т>]+ а2^-p) z 2 z1 z2 z1 Pp22 (т T) а^ 2(1- q) -(X2 + а2 -z2)e z2(т T} e~z1(x~T) _ e z2(т-Т) X2 (1 - q) [(X + ) -^(т-Т) (X + ) -z^x-T) ]+ а2X1p --[(X1 + а1 -z1)e n (X1 + а1 -z2)e 2V ; +-e~z1(x~T) _ e z2 -T) Для введенных вероятностей qtj (х), i, j -1,2, имеет место система дифференциальных уравнений (0 < т < Т): qu' (т) - -(а1 + pX1)qn (т) + (а2 + qX2)ql2(т), q^'CO - -(а2 + qX2)ql2(т) + (а1 + pX^puCt), p21'(т) - -(а2 + qX2)q22(т) + (а1 + pXl)q2l(т), q22'(т) - -(а1 + pX^q21 (т) + (а2 + qX2)q22(т), с граничными условиями qn(0) = 1, qX2 (0) = 0, q22 (0) = 1, q2X (0) = 0. Решая данную систему дифференциальных уравнений и в полученном решении полагая т - Т, находим q11 (Т)+^1e-(a1+a2+pX+qX2)T, q12(T)- ^2e-(a1+a2+pX+qX2)T, q21 (T) - n1e-(a1+a2+pX+qX2)T, q22 (T) + %2e-(a1+a2+pX+qX2)T, а 2 + qX 2 а1 + pX1 (5) п, =• z1z 2 - X1X 2 + Х1а 2 + X 2 а1, 11 --, П 2 -а1 + pX1 + а 2 + qX 2 а1 + pX1 + а 2 + qX 2 где п i, i -1,2, - априорная стационарная вероятность того, что в произвольный момент времени поток находится в i-м состоянии [2]. Для нахождения вероятностей п t (01Т), i -1,2, из исходной формулы (1) введем п j - вероятность того, что за время, которое пройдет от момента т - 0 до наступления следующего события наблюдаемого потока и реализации розыгрыша состояния потока, процесс X(t) перейдет из состояния i в состояние j, i, j =1,2. Тогда относительно введенных (01Т), i -1,2, и %ij, i, j -1,2, в силу марковости процесса X(t) будет справедлива следующая система линейных уравнений: „1 (01T) _„1(0|T)„11 + „2(0|T)„21, „2 (0 | T) _ „1(0 | T)„12 + „2(0 | T)„22 „1 (01T) + „2(0|T) _ 1, выражая из которой вероятности „i (01T), i _ 1,2, получим , „2(01 T) _-+ „12 + „ 21 „12 + „ При этом для вероятностей п у в силу марковости процесса X(t) можно записать следующую систему линейных уравнений: пи _qn(T)Ph + q12(T)p21, п21 _q21(T)pu + q22(T)p2^ п12 _ qn(T) p12 + q12(T) p 22 , п 22 _ q21(T)p12 + q22 (T)p22, (7) п11 + п12 _ 1, П 21 + П 22 _ 1, где вероятности qtj (T), i, j _ 1,2, определены в (5), pjk, j,k _ 1,2, - вероятность того, что в течение интервала между моментом времени t _ 0 и моментом наступления следующего события процесс X(t) да перейдет из состояния j в состояние k. Тогда p jk _ J pjk (u)du . 0 Интегрируя полученные в (4) плотности вероятностей p jk (t), j, k = 1,2, получим следующие значения переходных вероятностей p jk, j, k _ 1,2 : т /1 \X2 + a2 a1 X2 + a2 a1 pn _X(1 -p-^ + X2q -, pl2 _ X1 p-^-^ + X2(1 -q) -4 z1z2 z1z2 z1z2 z1z2 (8) т /1 \ X1 + a1 a2 X1 + a1 a2 p22 _X2(1 - qH-L+X1 p-^Ч p21 _ X2q--L+X1(1 - p) z1z2 z1z2 z1z2 z1z2 где z1z2 определены в (5). Подставляя вероятности pjk, j, k _ 1,2, из (8) и вероятности qtj (T), i, j _ 1,2, из (5) в уравнения (7), получим выражения для вероятностей п j, i, j _ 1,2 : - ((1 - p)X1a2 + qX2(X1 + a1) + X1X2(1 - p - q)^ + п2e-(a1+a2+pX+q%2)T)), 12 п11 _ z1 z п12 _ -- ((1 - q)X2(X1 + a1) + pX1a2 - X1X2(1 - p - q)(n1 + п2e-(a1+a2+pX1+qX2)T)), z1z 2 п21 _ -i- (qX2a1 + (1 - p)X1(X2 + a2) - X1X2(1 - p - q)^2 + п1е-(a1+a2+pX1+qX2)T)), (9) z1 z 2 - (pX1(X2 + a2) + (1 - q)X2a1 + X1X2(1 - p - q)(п2 + п1е-(a1+a2+pX1+qX2)T)), 12 п22 _ zz где пj, i _ 1,2, z1z2 определены в (5). После подстановки полученных в (9) вероятностей л j, i, j _ 1,2, в формулы (6) выражения для п i (01T), i _ 1,2 , запишутся в виде п _ qX2a + (1 - p)Xj (X2 + a2) - XjX2(1 - p - q)(n2 + ^e-(a1+"2+pX1+qX2)T) п1 z1 z2 -X1X2(1 -p -q)e"(a1+a2+pX1+qX2)T , (10) п (0|T) _ (1 - q)X 2(X1 + a1) + pX1a 2 - XjX 2(1 - p - q)^ + п 2 e -(a1+"2+pX1+qX 2)T) п2 z1 z2 - X1X2(1 - p - q)e-(a1+a2+pX1+qX2)T , где пj, i _ 1,2, z1z2 определены в (5). „1(0 |T) _-, „ 2 (01 T) _-12-. (6) 12 + к 21 „12 + к 21 Для нахождения вероятностей пi (T), i = 1,2 , введем %i (т | T), i = 1,2, - вероятность того, что в момент времени т процесс находится в i-м состоянии, 0 < т < T . Тогда %i (т + Дт | T), i = 1,2, - вероятность того, что в момент времени т + Дт процесс находится в i-м состоянии, 0 < т + Дт < T . Рассматривая на интервале (т, т + Дт) всевозможные варианты поведения процесса X(т) относительно искомых вероятностей п i (т | T), i = 1,2, можно записать следующую систему дифференциальных уравнений: П1'(т | T) = -(pX + аО п^т | T) + (qX 2 + а 2) п 2(т | T), п 2' (т | T) = -(qX 2 + а 2)п 2(т | T) + (+ а^ п^т | T), с граничными условиями п i (т | T) = п i (01T) для т = 0, i = 1,2 . Решение данной системы примет вид п1 (т | T) = п1 - (п1 - п1(0| T))e -(а1+а2+pX1+qX2)т, п2(т | T) = п2 - (п2 - п2(01T))e-(а1+а2+pX1+qX2)т, где , i = 1,2, определены в (5). Подставив в последней формуле для %i (т | T), i = 1,2, вместо т значение Т и обозначив п i (T | T), i = 1,2, как п i (T), i = 1,2 , получим п1 (T) = п1 - (п1 - п1(0| T))e-(а1+а2+pX1+qX2)T, п 2(T) = п 2 - (п 2 - п 2(0| T))e-(а1+а2+pX1+qX2)T, где ni, i = 1,2, определены в (5), %i (01T), i = 1,2, определены в (10). Несложно показать, что п1 (T) = п1(01T )qn(T) + п 2(01T )q 21 (T), п 2 (T) = п 2(0 |T )q12(T) + п 2(0 |T )q 22{T). ( ) Подставляя (4), (5) и (10) в (1), учитывая (12) и проделывая достаточно трудоемкие преобразования, получаем формулу для нахождения плотности вероятностей значений длительности интервала между моментами наступления соседних событий в модулированном синхронном потоке при непро-длевающемся мертвом времени pT (т): pT (т) = 0,0 < т < T, pT (т) = y(T)z1e"z'(т-г) + (1 - y(T))z2e~Z2(l~T), т > T, (13) где y(T) =-1-(z2-X1^1(T)-X2п2(T)),1-y(T) =-1-(-z1 + X1 ^1(T) + X2п2(T)), z12 определены z 2 - z1 z 2 - z1 в (2), п i (T), i = 1,2 определены в (11) . 3. Вывод совместной плотности вероятностей pT (т j, т 2) Пусть т1, т 2 - значения случайной величины длительности смежных интервалов между моментами наступления соседних событий наблюдаемого потока (рис. 3). 0///////Л///////Л-0/////Л////////Ш//\-о ч_J »----J Х1 =0 T т 1 -T т 2^0 T т 2-T т 2 Рис. 3. Смежные интервалы между соседними наблюдаемыми событиями потока Тогда формула для совместной плотности pT (т1, т 2) запишется в виде pT (тЬ т 2 ) = < 0,0 < т1 < T,0 < т 2 < T, 2 2 2 2 2 Е п i (01T) Е q„ (T) s pjk (т1 - T) Е qks (T) S psn (т 2 - T), i=1 j=1 k=1 s=1 n=1 т1 > T, т 2 > T, где ж, (01T), i _ 1,2, определены в (10); qy. (T), qks (T), i, j, k, s _ 1,2, определены в (5); p ]k (i1 - T), psn (х2 - T), j,k, s, n _ 1,2, определены в (4) (в формулах (4) нужно заменить т на т1 либо на т 2). Используя формулу (12) и сделав замены t1 _ т1 - T, 12 _ т2 - T, несложно получить формулу для совместной плотности pT (т1, т 2) в виде 0,0 0. г=1 j _1 Подставляя значения qjk (T), j, k _ 1,2, (5) в формулу (14) и проделывая достаточно трудоемкие преобразования, получим разность pT (t1, 12) - pT (t1)pT (12) в виде pt (t1, t2) - pt (t1)pt ( t2) _ ea1+a2+pX+qX2)T S(P1s(t2) - P2s ih)) x (1 5) s_1 (15) xfr^T)(„2(01T)~P11(t1)- „1(0 | TУрМ) + „2(T)(„2(0 | T)p21(t1) - „1(0 | T^(1))}, где %i(01T), i _ 1,2, определены в (10), пt(T), i _ 1,2, определены в (11), р.(t1), pis(t1), i, j,s _ 1,2, опре- 2 делены в (4). Тогда Е (P1s (t2) - p2s (t2)) примет вид s _1 ^(j~1s (t2) - P2s (t2)) _-(X1 - X2)(z1e"z1t2 - z2e"^2)/(z2 - z1). (16) s _1 Подставляя (T), i _ 1,2, из (11), п i (01T), i _ 1,2, из (10), p. (t1), i, j _ 1,2, из (4) в выражение в фигурной скобке формулы (15), затем подставляя (16) в (15), после чего осуществляя обратную замену t1 _ т1 - T, 12 _ т 2 - T, получаем формулу для совместной плотности pT (т1, т 2): PT (т1, т2) _ 0,0 < т1 < T, 0 < т2 < T, Рт(х1, х2) _ Рт(х0Рт ( х2) + +e_(a1+a2+pX1+qX2)T (X1 - X2)X1X2(1 - p - q)((a1 + pX^jQ) - (a2 + qX2)„2(0))((P + q)X1X2 + ^a2 + X2a1) x (z2 - z1 )2 (z1z2 - X1X2 (1 - p - q)ea1+a2+pX1+qX2)T )2 (a1 + pX1 + a2 + qX2)2 x{z1z2 + e-(a1+a2+pX1+qX2)T ((a1 + pX1 +a2 +qX2)(a1 +X1 +a2 +X2)-2z1z2) + +e-2(a1+a2+pX1+qX2)T ((a1 + pX1 + a2 + qX 2)(X1 (1 - p) + X2(1 - q)) - z1 z2)} x x (z1e-z1(т1-T) - z2e-z2(т2-T))(z1e-z1(т1-T) - z2e-z2(x2-т)), х1 > T, х2 > T, где пi (0), i _ 1,2, определены в формуле (10) для T = 0. Можно показать, что произведение y(T )(1 - y(T)) имеет вид y(T)(1 - Y(T)) _ (X1 - X2 )((a1 + PXK (0) - (a2 + qX2 (0))((Р + q)X1X2 + X1a2 + X2a1 ) x )( )) (z2 - z1)2(z1 z2-X1X2(1 - p - q)e-(a1++qXl )T )2(a1 + pX1 +a2 + qX2)2 x{z1 z2 +e-(a1+a2+pX1+qK)T ((a1 + pX1 +a2 +qX2)(a1 +X1 +a2 +X2)-2z1 z2) + (17) +e-2(a1+a2+pX+qX2)T ((a1 + pX1 +a 2 + qX 2)(X1(1 - p) + X 2(1 - q)) - z1 z2)}x x(z1e-z1(х1 -T) -z2e-z2(х2-T))(z1e-z1(х1 -T) -z2e-z2(х2-T))z1 z2, где пi (0), i _ 1,2, определены в формуле (10) для T = 0. Обозначим f (T) выражение в фигурной скобке формулы (17). После преобразования f (T) примет вид f (T) = z1 z2(1-e _(a'+a+pX+qX2)T )2 + (tt1 + pX1 +a2 + qX 2)e"(ai+a2+pX+qX)T + +(tt1 + pX1 +a2 + qX2)( X1 (1 - p) + X2(1-q))e"(a'+a+pX+qX?)T (1-e"(a'+a+pX+qX?)T), так что для любых T > 0 имеем f (T) > 0 . Тогда окончательно совместная плотность pT (т1, т 2) выпишется в виде pT (т1, т2) = 0,0 < т1 T, т 2 > T , при этом y(T) = 1. Тогда плотность вероятностей pT (т) (13) примет вид pT (т) = 0,0 < т < T, pT (т) = z^'^-}, т > T, где z1 определена в (2). Поскольку последовательность моментов наступления событий наблюдаемого потока t1,12..., tk,... порождает вложенную цепь Маркова, то при выполнении одного из вышеперечисленных условий факторизации или их комбинации нетрудно доказать, используя метод математической индукции, что фак-торизуется и совместная плотность вероятностей pT (т1, т2,..., тк) для любого к: PT (т1, т 2,..., т к) = PT (т1) pT (т 2)... pT (т к). Таким образом, наблюдаемый поток является рекуррентным потоком. При обсуждении условий рекуррентности необходимо использование результатов, полученных в [1]. Для первого условия факторизации потока 1 - p - q = 0 апостериорная вероятность w(X1 | tk + 0) первого состояния процесса X (t) в момент времени tk наступления события потока имеет вид w(X1 | tk + 0) = q,k = 1,2,.... Таким образом, апостериорная вероятность w(X1 11) не зависит от предыстории, а определяется лишь своим значением в момент наступления события потока. В данной ситуации имеется некоторая близость рассматриваемого потока событий к простейшему потоку в том смысле, что апостериорная вероятность первого состояния процесса X(t) в моменты наступления событий потока принимает постоянное значение, равное q. Для второго условия факторизации потока (а1 + pX)п1 (0) - (а2 + qX2 )п2 (0) = 0 апостериорная вероятность w(X1 | tk + 0) первого состояния процесса X(t) в момент времени tk запишется в виде w(X1 | k + 0) = qX 2 +[(1 - p)X1 - qX 2 H^k - 0) , k = 1,2,.... X2 + (X1 - X2)w(X1 | tk - 0) То есть апостериорная вероятность w(X1 11), наоборот, будет зависеть от предыстории, несмотря на то что поток рекуррентный и плотность вероятностей pT (т) имеет экспоненциальное распределение pT (т) = z1e -z1(T-T\ т > T. 5. Вероятностные характеристики и вероятности типов событий наблюдаемого потока Нетрудно получить вероятностные характеристики наблюдаемого потока, такие как математическое ожидание длительности интервала между соседними событиями, дисперсия и ковариация. M(х) = T + 1Г) + ШГ, ад = 2(^ + ЬЖ)) - (т + ШГ)2, z1 z2 z1 z2 z1 z2 cov(T1,т2) = e+а2+pX1+qX2)Y(T)(1 - Y(T))X1X2(1 - p - q)(- z)3)2 . (z1z 2 ) В рассматриваемом потоке присутствуют события двух типов: 1) события пуассоновского потока интенсивности ; 2) события пуассоновского потока интенсивности X 2. Обозначим q 1' ^ (T) - стационарная вероятность того, что наступившее событие является событием пуассоновского потока интенсивности Xi, и процесс X(t) перешел при этом из 1-го состояние в i-е (i = 1,2); q2' ^(T) - стационарная вероятность того, что наступившее событие является событием пуассоновского потока интенсивности Xi и процесс X(t) перешел при этом из 2-го состояние в i-е (i = 1,2). Тогда для введенных вероятностей можно получить следующие явные выражения: ,(1)(T) = (1 p)X а2 + X2П1 + X2(q - П1)е-(а1+a2+pX1+qX2)T z1 z2 - X1X2(1 - p - q)e-(а1+а2+pX1+qX2)T ' (2) а + q12)(T) = pXr r ) = а2 + X2П1 + X2 (q - rcje-(а1+а2+pX1+qX2)T z1 z2 - X1X2(1 - p - q)e-(а1+а2+pX1+qX2)T ' q21;(T) = qX 2 Г ,1)(T) = а1 + X^2 + Mp - n2)e"«^^V^ z1 z2 - X1X2(1 - p - q)e-(а1+а2+pX1+qX2)T ' q2' (T) = (1 - q)X 2 q11)(T) = (1 - p)Xr а + X п + X (p - n )e -(а1+а2+pX1+qX2)T (2)(T) = (1 - q)X а1 + X1n2 + X1(p П 2 )e_ z1 z2 - X1X2(1 - p - q)e-(а1+а2+pX1+qX2)T ' где n', i = 1,2, z1z2 определены в (5). Тогда стационарную вероятность q1 (T) того, что наступившее событие есть событие пуассонов-ского потока интенсивности X1 , можно представить в виде а + х п + X (q- п )e -(а1+а2+px1+qX2)T а 2 + Х 2п1 + Х 2 (q n1)e q,(T) = ^ ) + ,Г(Т ) = V z, z 2-Х,Х 2(,-p-q)e- а. ^ где п i, i = 1,2, zxz2 определены в (5). Аналогично стационарную вероятность q2 (T) того, что наступившее событие есть событие пуассоновского потока интенсивности X2, можно представить в виде а + X п + X (P-п )e-(а1+а2+px1+qX2)T а1 + Х1п 2 + X1(p п 2 )e q2(T) = q21;(T) + q (22>(T) = X 2- ( X X )T, 2 2 2 z1 z2-X1X2(1-p -q)e"(а1+а2+pX1+qX2)T ' где п г-, i = 1,2, zxz2 определены в (5). Отметим, что (0| T) = q® (T) + qf (T), п2(0| T) = q

Скачать электронную версию публикации