Modulated MAP states optimal estimation under conditions of its partial observability.pdf Интенсивное развитие компьютерной техники и информационных технологий послужило стимулом к созданию важной сферы приложений теории массового обслуживания - проектирования и создания информационно-вычислительных сетей, компьютерных сетей связи, спутниковых сетей, телекоммуникационных сетей и т.п. Интенсивность входящих потоков событий в системах и сетях массового обслуживания меняется со временем, как правило, случайно, что приводит к рассмотрению математических моделей дважды стохастических потоков событий. Дважды стохастические потоки можно разделить на два класса: к первому классу относятся потоки, интенсивность которых есть непрерывный случайный процесс [1]; ко второму классу относятся потоки с интенсивностью, представляющей собой кусочно-постоянный случайный процесс с конечным числом состояний [2-5]. Отметим, что MAP-потоки событий относятся ко второму классу дважды стохастических потоков и наиболее характерны для реальных телекоммуникационных сетей [6]. При исследовании потоков событий можно выделить два класса задач: 1) оценивание состояний потока событий [7-9]; 2) оценивание параметров потока [10-15]. В настоящей статье приведены аналитические и численные результаты оптимального оценивания состояний модулированного MAP-потока. Предлагается алгоритм оптимального оценивания состояний, когда решение о состоянии потока выносится по критерию максимума апостериорной вероятности, представляющей наиболее полную характеристику состояния потока, которую можно получить, располагая только выборкой наблюдений. Сам критерий минимизирует полную вероятность ошибки вынесения решения. Для получения численных результатов оценивания была построена имитационная модель потока, с помощью которой проведен ряд статистических экспериментов. 1. Постановка задачи Рассматривается модулированный MAP-поток событий с интенсивностью, представляющей собой кусочно-постоянный стационарный случайный процесс A,(t) с двумя состояниями: X(t) = Xi и X(t) = X2 (X1 > > 0). Длительность пребывания процесса X(t) в i-м состоянии, i = 1,2, определяется двумя случайными величинами: первая случайная величина распределена по экспоненциальному закону F/1 = 1 - e, i = 1,2; в момент окончания i-го состояния процесс X(t) переходит с вероятностью единица из i-го состояния в j-е, i, j = 1,2 (i Ф j); вторая случайная величина распределена по экспоненциальному закону Fi = 1 - e- 'г, i = 1,2; в момент окончания /-го состояния процесс k(t) переходит с вероятностью A (kj | k/) в j-е состояние (/ Ф j) с наступлением события, либо с вероятностью P0 (kj | k/) переходит в j-е состояние (/ Ф j) без наступления события, либо с вероятностью P1 (k/ | k/) остается в i-м состоянии с наступлением события (P1 (kj | k/) + P0 (kj | k/) + P1 (k/ | k/) = 1, i, j = 1,2, i Ф j). Первая и вторая случайные величины являются независимыми друг от друга. В сделанных предположениях k(t) - марковский процесс. Блочная матрица инфинитезимальных характеристик процесса k(t) при этом примет вид - (а1 +X ) «1 +Vo (X2 | k ) « 2 +k 2P0 X 2 ) -(а 2 +X 2 ) k1P1 (k1 | k1) k1P1 (k 2 | k1) k 2 P1 (k1 | k 2 ) k 2 P1 (k 2 | k 2 ) = 1 Do|D1|. D = Элементами матрицы D\ являются интенсивности переходов процесса k(t) из состояния в состояние с наступлением события. Недиагональные элементы матрицы D0 - интенсивности переходов из состояния в состояние без наступления события. Диагональные элементы матрицы D0 - интенсивности выхода процесса k(t) из своих состояний, взятые с противоположным знаком. Отметим, что если P0 (k2 | ki) = P0 (ki | k2) = 0, то имеет место модулированный синхронный поток событий [16]. После каждого зарегистрированного в момент времени tk события наступает время фиксированной длительности Tdead (мертвое время), в течение которого другие события исходного модулированного MAP-потока недоступны наблюдению. По окончании мертвого времени первое наступившее событие снова создает период мертвого времени длительности Tdead и т.д. Пример возникающей ситуации приведен на рис. 1, где 1 и 2 - состояния процесса k(t), tbt2... - моменты наступления событий в наблюдаемом потоке; пунктиром обозначены длительности мертвого времени; черными кружками обозначены события модулированного MAP-потока, недоступные наблюдению. P1(k1|k1) P1(k1|k1) 1 2 Модулированный МАР-йоток событий I I I I Схема создания мертвого времени ' Наблюдаемый потом событий I о (2 P1 £ P1 P1(k2|k2) Процесс k(t) t t -оt Рис. 1. Формирование наблюдаемого потока событий Так как процесс k(t) принципиально ненаблюдаем (скрытый марковский процесс), а наблюдаемыми являются только временные моменты наступления событий потока t1,t2., то необходимо по этим наблюдениям оценить состояние процесса k(t) (или модулированного MAP-потока) в момент окончания наблюдения. Рассматривается стационарный режим функционирования потока событий, поэтому переходными процессами на интервале наблюдения (t0, t), где t0 - момент начала наблюдений, t - момент вынесения решения о состоянии процесса k(t), пренебрегаем. Тогда без потери общности можно положить t0 = 0. Для вынесения решения о состоянии процесса k(t) в момент времени t необходимо определить апостериорные вероятности w^X^ t) = t1,...,tm,t), i = 1,2, того, что в момент времени t значение процесса X(t) = Xi (m - количество наблюденных событий за время t), при этом w(X1 t) + w(X2| t) = 1. Решение о состоянии процесса X(t) выносится путем сравнения вероятностей: если t) > w(kj\ t), i, j = 1,2, i Ф j, то оценка состояния X (t) = Xi, иначе X (t) = Xj. 2. Алгоритм оптимального оценивания состояний модулированного MAP-потока событий Рассмотрим интервал (tk, tk+1), к = 1,2,..., между соседними событиями рассматриваемого потока. Момент вынесения решения t будет принадлежать этому интервалу. При этом для начального интервала (t0, t1) момент t будет лежать между моментом начала наблюдения t0 и моментом наступления первого события потока. Значение длительности интервала (tk, tk+1) есть тк = tk+1 - tk, к = 1,2,. . С другой стороны, так как наблюдаемое в момент tk событие порождает период мертвого времени длительности T, то Tk = T + nk, где щ - значение длительности интервала между моментом окончания периода мертвого времени tk + Tdead и моментом tk+1, т.е. интервал (tk, tk+1) разбивается на два смежных: первый полуинтервал (tk, tk + Tdead], второй - интервал (tk + Tdead, tk+1). Подчеркнем, что условия нахождения апостериорной вероятности w(X1| t) на полуинтервале (tk, tk + Tdead] и интервале (tk + Tdead, tk+1) принципиально разные. Кроме того, для нахождения вероятности w(X1|t) необходимо точно знать значение Tdead либо, по крайней мере, предварительно осуществить оценку Tdead. В противном случае отсутствие такой информации делает попытку строгого нахождения вероятности w(X1| t) невозможной. Здесь предполагается, что значение Tdead известно точно. 2.1. Выражения для апостериорной вероятности при отсутствии мертвого времени Рассмотрим ситуацию, когда T = 0, т.е. мертвое время отсутствует. Для вывода формул апостериорной вероятности w(X1| t) воспользуемся At-методом. Лемма 1. На временных интервалах (t0, t1) и (tk, tk+1), k = 1,2,., апостериорная вероятность w(X1| t) удовлетворяет дифференциальному уравнению 11) = [X1 -X2 -XP(X2 | X1 ) + X2P0(X1 | X2)]w2(X1 | t)--[a1 +a2 +X1 -X2 + 2X2P0(X11 X2)]w(X111) + a2 +X2P0(X11 X2); (1) t0

Скачать электронную версию публикации