Model Predictive Control for Nonlinear Stochastic Systems with Markovian Jumps under Constraints.pdf Моделями с марковскими скачкообразными параметрами описывается широкий класс реальных систем [1]. В этих моделях предполагается, что смена структуры системы осуществляется в соответствии с эволюцией марковской цепи с конечным пространством состояний. Решению различных задач управления и оценивания для таких систем посвящено значительное количество работ [2-10]. Эффективным подходом к синтезу систем управления с ограничениями, получившим широкое признание и применение в практике управления сложными технологическими процессами, является метод управления с прогнозирующей моделью (управление со скользящим горизонтом) [11]. Применению данного метода к управлению дискретными системами с марковскими скачками посвящены работы [3, 5]. В работе [3] рассматривается задача управления по квадратичному критерию линейными дискретными системами при «жестких» ограничениях на управляющие переменные. Применению метода управления с прогнозирующей моделью к управлению нелинейными стохастическими системами посвящены работы [12-16]. В работах [12, 13] рассматривается задача управления на скользящем горизонте для нелинейных стохастических систем без учета ограничений. В работе [14] рассматривается задача прогнозирующего управления нелинейными системами, возмущенными белыми шумами, при наличии явных ограничений на управляющие переменные. В настоящей работе рассматривается задача синтеза стратегий управления с прогнозированием для дискретных нелинейных систем с марковскими скачками. Получены уравнения синтеза оптимальных стратегий управления с учетом «жестких» ограничений на управляющие переменные. 1. Постановка задачи Пусть объект управления описывается уравнением x(k +1) = Ax(k) + B[a(k +1), k + 1]ы(к) + f (x(k), u(k), w(k), a(k +1)), (1) где x(k) - «-мерный вектор состояния, u(k) - «и-мерный вектор управления, w(k) - вектор белых шумов размерности nw с нулевым средним и единичной матрицей ковариации, a(k) (k = 0,1,2,..,v) - однородная дискретная марковская цепь с конечным множеством состояний {1,2,...,v}, известной матрицей переходных вероятностей P = [PhJ ] (ije{1,2,...,v}), Pj., = P {a(k+1) = aj |a(k) = a,}, £ j = 1, J=i и известным начальным распределением p, = P {a(0) = i}(i = 1,2,...,v), £ p, = 1. i=1 Предполагается, что состояние марковской цепи в момент времени k доступно наблюдению. Последовательности w(k) и a(k) независимы. Характер нелинейной зависимости в функции f таков, что M { f (x(k),u(k),w(k),a(k+1))/x(k),a(k)=aj} = 0 (2) для любых x(k) и M {f (x(k),u(k),w(k),a(k+1)) f T (x(k),u(k),w(k),a(k+1))/x(k),a(k)=aj} = T0[a(k),k] + (xT(k)W'x(k)+uT(k)M'[a(k),k]u(k)/ (3) где r = n(n+1)/2, T', W' и M' = |n'' / N' (' = 1, r), T0 =^D0 / D0 - неотрицательно определенные симметричные матрицы. На управляющие воздействия наложены ограничения вида umin(k) < S(k)u(k) < umax(k), (4) где S(k) - матрица соответствующей размерности. Необходимо определить закон управления системой (1) при ограничениях (4) из условия минимума критерия со скользящим горизонтом управления: J(k+p/k) = M j£ xT(k+i)R1(k,i)x(k+') +uT(k+'-1/k)R2(kJ-1)u(k+'-1/k)/x(k), a(k)=a}}, (5) где M{./.} - оператор условного математического ожидания; p - горизонт прогноза; k - текущий момент времени; R]_(k,') > 0,R2(k,') > 0 - весовые матрицы соответствующих размерностей. 2. Синтез стратегий прогнозирующего управления Для решения сформулированной задачи используем методологию управления с прогнозирующей моделью. Данный подход позволяет получить стратегии управления с обратной связью с учетом явных ограничений на управляющие воздействия. Стратегии управления с прогнозированием определяются по следующему правилу. На каждом шаге k минимизируем функционал (3) по последовательности прогнозирующих управлений u(k/k),..., u(k+p-1/k), зависящих от состояния системы в момент времени k. В качестве управления в момент времени k берем u(k) = u(k/k). Тем самым получаем управление u(k) как функцию состояний x(k) и a(k) = a;, т.е. управление с обратной связью. Чтобы получить управление u(k + 1) на следующем шаге, процедура повторяется для следующего момента k + 1 и т.д. Цепь Маркова с дискретным временем допускает следующее представление в пространстве состояний [9]: 0(k +1) = PQ(k) + u(k +1), (6) где 9(k)=[5(a(k),1),...,5(a(k),v)]T, 5(a(k)/) - функция Кронекера (j = 1,v) ;u(k +1) - мартингал-разность с характеристиками M {u(k+1)/0(k )} = 0, (7) C (k +1) = M {(k+1)uT(k+1)/0(k)} = diag {P0(k)} - Pdiag{0(k)}PT. (8) С учетом (6) систему(1) можно представить в следующем виде: x(k +1) = Ax(k) + B[0(k +1), k + 1]u(k) + f (x(k), u(k), w(k), 0(k +1)), (9) где B[0(k), k] = i0t (k) B' (k), (10) i=1 здесь 9'(k) ('' = 1,2,.,v) - компоненты вектора 9(k), {B'(k)} - множество значений матрицы B[9(k),k]. Выражения (2) и (3) можно представить в виде M {f (x(k),u(k),w(k),0(k+1))/x(k),0(k)} = 0 , M {f (x(k ),u (k), w(k ),0(k+1)) f T (x(k ),u (k), w(k ),0(k+1) )/x(k ),0(k )} = T 0[0(k), k ] + +£ Ti (xT(k)WT'x(k) + uT(k)Mi[0(k),k]u(k)) , где, с учетом (6)-(8), T T T0[0(k),k] = £ £((0(k)) [0T(k)PTET][E„P0(k)]D„o(k) + £ £((0(k)) [EnPC(k-1)PTET]D„0(k), s=1 n=1V 7 s=1 n=1 ' T T MJ [0(k), k] = £ £(( (k)) [0T(k)PTEsT][EnP0(k)]^n (k) +£ £(( (k)) [E«PC(k - 1)PTE]]N« (k), s=1n=1V ' J=1n=1 ' {{(k)},{n/ (k)} ( j=1,r,i=1,v) - множество значений матриц D0(k) и NJ(k) соответственно; Ho,p-1(k) " H1, p -1(k) Hp-1, p-1(k) Gp-1 (k) ], здесь E, = [0,...,0,1,0,...,0]. Пусть H(k) и G(k) - блочные матрицы вида H00(k) H 01 (k) H (k) = (11) Hw(k) Hn(k) _ Hp-1,0 (k) Hp-1,1 (k) G (k) = [G0(k) G1(k) (12) блоки которых равны (b( s} (k+t+1) )T [0T (k )(Pt+1 )T EsT ]Q( p-t-1)[ EnPt+10(k )]B( n) (k+t+1)+ (13) Ht(k) = ^(k, t) + £ £ s=1n=1 £ (b(s} (k+t+1))t [EnPl-p+tC(k+p-l+1)(p1 -p+t )t ej ]Q(p-t-1)b(n) (k+t+1)+ + l=p-t £ ((j (k+t))T tr {[0T (k)(pt+1 )T ET ]Q(p-t-1)[EnPt+10(k)]TJ }}n (k+t) j =1 p r Ht,f(k) =£ £ s=1n=1 p £ l=p - f (14) (15) (16) +l ££ t£=1((J' (k+1)) tr{[EnPl-p+tC(k+p-1+1)(Pl-p+t) E] ]Q(p-1-1)TJ }n« (k+1) (b{s)(k+1+1)) [0T(k)(pt+1) ET]Q(p-t-1)At-f[EnPf+10(k)]B(n)(k+f+1)+ + £ ((k+t+1))T [EnPl-p+fC(k+p-l+1)(pl-p+t )T ET]Q(p-t-1)At-fB(n)(k+f+1), t > f, Ht f (k) = H; ,t (k), t < f, T G, (k) = ( At+1) Q(p -1 +1) £ [EjPt+10(k)]B(j} (k +1 +1), где Q(,) = ATQ(, -1)A + £ tr{Q(,-1)TJ }J + R1(k,p -,), Q (0) = Rx(k, p), C (k +,) = diag 0(k)}- Pdiag{p,-10(k)} PT. Теорема 1. Вектор прогнозирующих управлений U(k) = [uT(k/k),...,uT(k+p-1/k)]T, минимизирующий критерий (5) при ограничениях вида (4), на каждом шаге k определяется из решения задачи квадратичного программирования с критерием вида Y (k+p/k )=2x T (k )G (k )U (k)+U T (k )Я (k )U (k) при ограничениях Umin (k) < S(k)U(k) < Umax (k), (17) где S(k) = diag(S(k),...,S(k + p -1)), г ~|T г ~iT Umin (k) = ^in (k),..,umin (k+P-1)J , Umax (k) = [^ax (^..^ax (k+P-1)_ , H(k) и G(k) - блочные матрицы, определенные соотношениями (11)-(16). Оптимальное управление равно u(k) = [ ^ \ ... 0„ц ]U(k) 08) где In - единичная матрица размерности nu, 0n - квадратная нулевая матрица размерности nu. Оптимальная стратегия прогнозирующего управления системой (1) без учета ограничений определяется уравнением (18), где U (k) = -H-1(k )G T(k) x (k). (19) При этом оптимальное значение критерия (5) определяется выражением J opt(k + p / k) = xT(k)\Q( p) - R1(k ,0)-G(k) H-1(k )G T(k )J x(k) + (20) p V V EEE i=15 =1 n=1 +E E E E ((k+t))Ttr{[EnPz-tC(k+p-l+1)(pl-l )T ET]Q(i-1)W(k+t). i=11=is=1 n=1V ; I V ; j Доказательство. Критерий (5) можно записать следующим образом: J(k+p/k) = M {xT (k + 1)R1 (k, 1)x(k +1) + uT(k / k)R2 (k, 0)u(k / k) + M {xT (k+2)R1 (k,2)x(k+2)+ +uT(k +1/ k) R2 (k, 1)u (k +1/ k) +... + M {xT(k+p) R1 (k, p) x(k+p)+ +uT (k+p-1/k) r2 (k, p-1)u(k+p-1/k)/ x(k+p-1),e(k+p-1)}.../x(k+1),e(k+1)^x(k ),9(k )J. Введем обозначение Jk+s = M {xT (k + 5 + 1)R1 (k, 5 + 1)x(k + 5 + 1) + u T(k + 5 / k)R2 (k, s)u(k + 5 / k) + +M {xT (k+5+2) R1 (k, 5+2) x(k+5+2)+uT (k + 5 +1/ k) R2(k, 5 + 1)u(k + 5 + 1/ k) + ... +M {xT (k+p) R1 (k, p) x(k+p)+u T (k+p-1/k) R2 (k, p-1)u(k+p-1/k )/x(k+p-1),e(k+p-1)}... .../x(k+5 +1), e(k+5 + \)}/x(k+5), e(k+5)} . Очевидно, что Jk+s = M {xT(k+5 +1)R1(k,5 +1)x(k+5 +1) +uT(k+5/k)R2(k,5)u(k+5/k)+Jk+s+1/x(k + 5),e(k+5)} (21) J (k+p/k) = Jk. (22) Рассмотрим Jk+p-1 = M {xT (k+p) R1 (k, p) x(k+p)+u T (k+p-1/k )R2(k, p-1)u(k+p-1/k ^ x(k+p-1),e(k+p-1)}. (23) Выражая x(k + p) через x(k + p-1) с учетом (6) и(9), будем иметь +E E E ((k+t))Ttr{[9T(k)(^p-'+1 )TEj]Q(i-1)[EnPp-l+1Q(k)]}}(k+t) и x(k + p) = Ax (k + p -1) + E [ Eipe(k+p-1)]5(i)(k+p)u(k+p-1)+ i=1 + Z [E,v(k+p)]B('}(k+p)u(k+p-1) +f (x(k + p -1),u(k + p -1), w(k + p -1), 0(k + p)). (24) '=1 Подставляя (24) в (23) и взяв условное математическое ожидание, получим: x(k + p -1) + 2xT (k + p -1)ATQ(0) x Jk+p-1 = xT(k + p -1) ATQ(0)A+Z tr(Q(0)Tj )Wj j=1 xZ [EsP0(k+p-1)]B(s}(k + p)u(k+p-1/k) + uT(k+p-1/k)j Z z(B(s)(k+p)) x s=1 I s =1 n=1 x[0T (k + p -1)PTE] ]Q(0)[EnP0(k + p - 1)]B(n) (k + p) + Z Z (B(s} (k+p)/ [EnC(k+p)EsT ]Q(0) x s=1 n=1 v ' xB(n)(k + p) + Z Z Z (( (k+p-1))Ttr{[0T(k+p-1)PTEsT]Q(0)[EnP0(k+p-1)]Tj }} (k+p-1)+ j=1 s=1 n=1 + £11(( (k+p-1) )Ttr{[E„C (k+p) EsT]Q (0)Tj}} (k+p-1)+R2(k, p-1)j u (k + p -1/k )-+z ztr {(( (k+p-1) )T [0T (k+p-1) PT e] ]Q (0)[ EnP0(k+p-1)]D„0 (k+p-1)}+ + Z Ьг{(( (k+p-1))T [Enc(k+p)ETS ]Q(0)D„0 (k+p-1)}, Q(0) = R,(k,p), C(k + p) = M{(k+p)uT (k+p)/0(k)} . где Предположим далее, что для некоторого q верно ATQ(q-1)A+Z tr(Q(q-1)Tj )Wj j=1 Jk + p-q = xT(k + p - q) x(k + p - q) + 2xT(k + p - q)AT x (25) xZ (Aq-') Q('-1) ZZ [EsPq"'+10(k+p-q)]B(s)(k + p -' + 1)u(k+p-'k) + ZuT(k+p-''/k)x '■! s=1 '■=1 {V V i \T / \T Z Z (b(s}(k+p+1)) [0T(k+p-q)(Pq-'+1) EsT]Q('-1)[EnPq-'+10(k+p-q)]B(n)(k+p+1) + s=1 n=1 ZZ ZZ (b(s\k+p+1))T[EnPl"C(k+p-l+1)(pl-' )T EsT]Q(i-1)B(n\k+p+1) + l='s =1 n=1 ' V ' + ZZ ^ Z (((k+p-'))Ttr{[0T(k+p-q)(Pq-'+1 )T EsT]Q('-1)[EnPq-'+10(k+p-q)]Tj}x j=1 s=1 n=1 ^ ) xNl (k + p -') + ^ Z И(( (k+p-'))Ttr{[EnPl"C(k+p-l+1)(Pl-' )T E] ]Q('-1)TJ }x l='j=1 s=1 n=1 ^ ) xNj (k+p-') + R2(k, p-')l u(k+p-'/k) + 2qZ Z u T (k+p-'Ik )j Z Z (B(s)(k+p+1) )T x j '=1 m='+1 I s=1 n=1 x[0T (k + p - q) (Pq-'+1 )T EsT ]Q(' -1)Am-' [EnPq-m+10(k + p - q)]B(n) (k + p - m +1) + + Z ^ ^ (b(s) (k+p+1))T [E„Pl-mC(k+p-l+1)(Pl-' )T E] ]Q('-1)Am-'B(n) (k+p-m+1)j x l=ms=1 n=1X ' V ' J xu(k+p-m/k) + Z j Z Z tr{(Ds0 (k+p-'))T [0T (k+p-q)(Pq-+1 )T Ej]Q(''-1)[EnPq-'+10(k+p-q)]x '=1 |s=1 n=1 Г ' v ' xD°n(k+p-')}+Z ZZ ^ tr{s0(k+p-))T[EnPl4C(k+p-l+1)(Pl-)TEsT]Q(''-1)D„0(k+p-1)}^l, где Q(i) = ATQ(i -1)A + £ tr(Q(i-1)Tj )Wj + R1(k, p - i). j =1 Покажем, что данная формула верна и для q+1. Действительно, из (21) следует, что Jk+p-( q+1) = M {xT (k + p - q) R1(k, p - q) x(k+p - q) + +uT (k+p-(q+1)/k)R2 (k,p-(q+1))u(k+p-(q+1)/k) + Jk+p-q/x(k+p-(q+1)), e(k+p-(q+1))}. (26) Подставим в (26) вместо Jk+p-q его выражение из (25), вместо x(k+p-q) - его выражение через x(k+p-(q+1)), используя (24), вместо 9(k+p-q) - его выражение через 9(k+p-(q+1)), используя (6); возьмем условное математическое ожидание и, преобразовав выражение, получим, что x(k + p - (q + 1)) + (27) +2xT(k + p - (q + 1))ATE(A(q+1H) Q(i-1) E [E5P(q+1)-i+1e(k+p-(q+ 1))]B(5}(k + p - i + 1) x i=1 ! 5=1 xu(k+p-i/k) +(EuT(k+p-i/k) J £ £ (b(5)(k+p-i+1))T[eT(k+p-(q+1))(p(q+1)-i1 )TE5T]x i=1 [5=1 n=1 ' V ' xQ(i -1)[EnP(q+1)-i+1e(k + p - (q +1))]B(n)(k + p - i +1) +('EE13 £ EE (5) (k+p-i+1))T x l=i 5=1n=1V ' x[EnPl-iC(k + p -1 +1) (Pl-i )T ET ]Q(i -1)B(n) (k + p - i +1) + E EE E (( (k+p-i))T x V ' j=15=1 n=1V ' Jk+p-(q +1) = xT(k + p - (q + 1)) , (q+1) ATQ(q)A+E tr(Q(q)Tj )Wj j=1 xtr {[eT (k + p - (q + 1)) (P(q +1)-i+1 )T E] ]Q(i -1)[EnP(q +1)-i +1e(k + p - (q + 1))]Tj}} (k + p - i) + +E :E1 E (((k+p-i)) tr{[EnPl-iC(k+p-l+1)(Pl-i) E5T ]Q(i-1)TJ }Nj (k + p - i) + (q+1)-1 (q+1) Г V V , \T ,(k,p-i)}u(k+p-i/k) + 2 E E u1 (k+p-i/k)JEE[B^)(k+p-i+1)) x i =1 m=i+1 I 5=1 n=1 x[eT (k + p - (q +1)) (P(q+1)-i+1 )T ET ]Q(i -1)Am- [EnP(q+1)-m+1e(k + p - (q +1))] x / ч (q+1) v V / . . a , / , . \T „ xB(n)(k + p - m +1) + E EE(B^)(k + p - i +1)) [ EnP ~mC (k + p -1 +1) (p^1 ) ET] x l=m 5=1 n=1 ' V ' xQ(i -1)Am-iB(n) (k + p - m + 1)}u(k+p-m/k)+J ^ E tr{((0(k+p-i)) x ' i=1 [5=1 n=1 ' x[eT (k + p - (q +1)) (P(q+1)-i+1 )T ET ]Q(i -1)[EnP(q+1)-ii +1e(k + p - (q +1))]D„0 (k + p - i)} + +('е3 Ei Ei tr {(((k + p - i))T [EnPl-iC(k + p -1 +1) (Pl-i )T E5 ]Q(i -1)D„0 (k + p -1)}. Формула (27) совпадает с (25), если в (25) q заменить на q+1, а значит, согласно принципу математической индукции формула (25) верна для всех q = 1,p . Из (25) и (22) следует, что x(k) + 2 xT (k) AT EE (Ap-i )T Q(i-1) x (28) Jk =xT(k) A Q(p-1)A+E tr(Q(p-1)Tj )Wj j=1 i=1 x ^ [E5Pp-i+1e(k)]B(5} (k + p - i + 1)u(k+p-ilk) + e uT(k+p-i/k) J e EE (b(5} (k+p-i+1)) x 5=1 i=1 I 5 n=1 ^ ! +R2 x[0T(k)(Pp-'+1) EsT]Q('' - 1)[EnPp-'+10(k)]B(n)(k + p -'' +1) + ZZ z(b(s)(k+p-''+1)) x V ' l='' s=1 n=1 ' x[EnPl-'C (k + p -1 +1) (Pl-' )T Ej ]Q('' - 1)B(n)(k + p -'' +1) + Z ZZ ZZ ((j (k+p-') )}x j=1 s=1 n=1 xtr {[0T (k)(Pp-'+1 )T Ej ]Q(/ -1)[EnPp- '+10(k)]Tj }} (k + p - 0 + p r v V / 4T ( , ' / ( \T T x +Z Z Z Z (( (k+p-')) tr{[EnPl4C(k+p-l+1)(( ) E] ]Q('-1)Tj} (k + p - 0 -+R2(k,p-')}u(k+p-'/k) + 2pZ1 ZZ uT(k+p-'/kИ Z Z (B(s)(k+p-''+1))Tx '=1 m=''+1 I s=1 n=1 + Z Z Z (b(s}(k + p -'' + 1))T [EnPl-mC(k + p -1 + 1) (p1"' )T EsT ] x l=ms=1 n=1 ' V ' xQ('' - 1)Am-'B(n)(k + p - m +1)} u (k+p-mk)}+ZZ JZ Z tr{(Ds0(k+p-'))T x ' ) '=1 | s=1 n=1 ' x[0T(k) (Pp-'+1 )T Ej]Q('' -1)[ EnPp-' +10(k)] D°„(k + p -')} +(Z Z :Z1tr {((s0(k + p -')) x[EnPl-'C(k + p -1 +1) (Pl-' )T E] ]Q('' -1)Dl (k + p - 1)}J. Выражение (28) можно записать в матричном виде J(k + p/k) = xT (k)AT Q(p -1)Ax(k) + 2xT (k)G(k)U (k) + UT (k)H(k)U (k), (29) где матрицы H(k), G(k) имеют вид (11)-(16). Таким образом, имеем задачу минимизации критерия (29) при ограничениях (17), которая эквивалентна задаче квадратичного программирования с критерием (5) при ограничениях (4). Очевидно, что если ограничения на управляющие воздействия отсутствуют, то оптимальный вектор прогнозирующих управлений U(k), минимизирующий критерий (29) на траекториях системы (1), определяется уравнением (19). Нетрудно показать, что при этом оптимальное значение критерия (29) имеет вид (20). Заключение В данной работе предложен метод синтеза стратегий прогнозирующего управления по квадратичному критерию для нелинейных дискретных систем со скачкообразно меняющимися параметрами. Данный подход позволяет в явном виде учесть ограничения на управления. Алгоритм синтеза прогнозирующей стратегии включает решение последовательности задач квадратичного программирования. Синтезированы стратегии управления с учетом явных ограничений на управляющие воздействия.

Скачать электронную версию публикации