Comparison ML-and MM- estimates fixed duration of the dead time MAP-flow of events.pdf Широко применяемой математической моделью реальных физических процессов являются случайные потоки событий. Изучаемый MAP-поток событий относится к классу дважды стохастических потоков и является одной из адекватных математических моделей потоков элементарных частиц (фотонов, электронов и т.д.), информационных потоков событий, функционирующих в цифровых сетях интегрального обслуживания, информационно-телекоммуникационных системах, спутниковых сетях связи и т.д. Задачи по оценке состояний и параметров случайных потоков событий возникают в оптических и лазерных системах, функционирующих в режиме счета фотонов, например, при лазерном зондировании высотных слоев атмосферы, в оптических системах обнаружения, распознавания и сопровождения, работающих через атмосферу на предельно большие расстояния, а также в оптических системах загоризонтной связи. В настоящей работе проводится дальнейшее исследование потоков физических событий, функционирующих в условиях непродлевающегося мертвого времени, начатое в работах [1-9]. Параметры потоков событий, функционирующих в реальном времени, неизвестны частично, либо полностью, либо представляют собой функцию времени. В подобных ситуациях наиболее рациональным является применение адаптивных систем, которые в процессе функционирования оценивают неизвестные параметры либо состояния потоков событий и изменяют дисциплины обслуживания в соответствии с полученными оценками [10]. Вследствие этого возникают задачи: 1) оценки состояний потока (задача фильтрации интенсивности потока) по наблюдениям за моментами наступления событий [1114]; 2) оценки параметров потока по наблюдениям за моментами наступления событий [15-24]. Одним из искажающих факторов при оценке состояний и параметров потока событий (фотонов, электронов и т.д.) выступает мертвое время регистрирующих приборов [25], которое порождается зарегистрированным событием (фотоном, электроном и т.д.). Другие же события, наступившие в течение периода мертвого времени, недоступны наблюдению (теряются). Можно считать, что этот период продолжается некоторое фиксированное время (непродлевающееся мертвое время). Таким образом, эффект мертвого времени влечет за собой потери событий потока (частично теряется информация о потоке событий), что в итоге отрицательно сказывается на оценивании как состояний, так и параметров потока [2-9]. Для того чтобы оценить потери событий потока, возникающие из-за эффекта мертвого времени, необходимо оценить значение его длительности. При оценке параметров потока событий обычно используется метод моментов [3-8, 16-18, 2123], как более простой в аналитическом исполнении реже используется метод максимального правдоподобия [9, 24, 26-28]. Последнее связано с возникающими при использовании этого метода аналитическими трудностями. В настоящей статье производится численное сравнение оценок значений длительности мертвого времени в MAP-потоке событий, полученных методом максимального правдоподобия (МП-оценка) и методом моментов (ММ-оценка). 1. Математическая модель MAP-потока событий Рассматривается MAP-поток с интенсивностью, представляющей собой кусочно-постоянный случайный процесс X(t) c двумя состояниями: X(t) = X1 либо X(t) = X2 (Xi > X2). Длительность пребывания процесса X(t) в i-м состоянии есть случайная величина с экспоненциальной функцией распределения Fi = 1 - e ^ , i = 1, 2. В момент окончания i-го состояния процесса X(t) возможны следующие ситуации, каждая из которых протекает мгновенно: 1) процесс X(t) переходит из i-го состояния в i-е и наступает событие потока в i-ом состоянии; совместная вероятность этой ситуации P(X( ^ X(,1) = P1(X( | X(), i = 1, 2; 2) процесс X(t) переходит из i-го состояния в j-е и наступает событие потока; совместная вероятность этой ситуации есть P(Xi ^ X j ,1) = P1(X j | Xi), i, j = 1, 2; i ф j; 3) процесс X(t) переходит из i-го состояния в j-е, и событие потока не наступает; совместная вероятность этой ситуации есть P(X, ^ X j ,0) = P0 (X j | Xi), i, j = 1,2; i ф j. При этом P1 (X; | X;) + P (X j | X;) + P0(X j | X;) = 1, i, j = 1, 2; i ф j. Блочная матрица инфинитезимальных характеристик процесса X(t) при этом примет вид - X1 X1 Po(X 2 | X 1) = ||D 0 | D^|. D = X 2 P0(X 1 | X 2 ) - X 2 X1 P1(X 1| X 1) X1 P1(X 2 | X 1) X 2 P1(X 1| X 2) X 2 P1(X 2 | X 2) Элементами матрицы D1 являются интенсивности переходов процесса X(t) из состояния в состояние с наступлением события. Недиагональные элементы матрицы D0 - интенсивности переходов из состояния в состояние без наступления события. Диагональные элементы матрицы D0 интенсивности выхода процесса X(t) из своих состояний, взятые с противоположным знаком. В сделанных предположениях X(t) - скрытый марковский процесс. Заметим, что в определении MAP-потока событий в явном виде не оговаривается, в каком состоянии процесса X(t) наступает событие потока при переходе процесса X(t) из i-го состояния в j-е (i j = 1, 2; i ф j). Данное обстоятельство при последующих аналитических выкладках является несущественным, так как наступление события и переход процесса из i-го состояния в j-е (i, j = 1, 2; i ф j) происходят мгновенно. После каждого зарегистрированного в момент времени tk события наступает время фиксированной длительности T (мертвое время), в течение которого другие события исходного MAP-потока недоступны наблюдению. По окончании мертвого времени первое наступившее событие снова создает период мертвого времени длительности T и т.д. Вариант возникающей ситуации приведен на рис. 1, где t1, t2,... - моменты наступления событий в наблюдаемом потоке; 1 и 2 - состояния случайного процесса X(t); штриховкой обозначены длительности мертвого времени; черными кружками обозначены события MAP-потока, недоступные наблюдению. Наблюдаемый поток событий Рис. 1. Формирование наблюдаемого потока событий Процесс A(t) является принципиально ненаблюдаемым (скрытый марковский процесс), а наблюдаемыми являются только временные моменты наступления событий t1, t2,... наблюдаемого потока. Рассматривается установившийся (стационарный) режим функционирования наблюдаемого потока событий, поэтому переходными процессами на интервале наблюдения (t0, t), где t0 - начало наблюдений, t - окончание наблюдений, пренебрегаем. Необходимо в момент окончания наблюдений (в момент времени t) осуществить методом максимального правдоподобия и методом моментов оценку T значений длительности мертвого времени и произвести сравнение качества полученных оценок. 2. Оценка длительности мертвого времени методом максимального правдоподобия Обозначим тк = tk+i - tk (к = 1,2,.) значение длительности к-го интервала между соседними событиями наблюдаемого потока (тк > 0). Так как рассматривается стационарный режим, то плотность вероятностей значений длительности к-го интервала pT (тк) = pT (т) (т > 0) для любого к (индекс T подчеркивает, что плотность вероятностей зависит от длительности мертвого времени). Здесь и далее ситуация, когда т = 0, означает доопределение изучаемых функций в граничной точке. В силу сказанного момент времени ^ без потери общности можно положить равным нулю или, что то же самое, момент наступления события наблюдаемого потока есть т = 0. Тогда [1] плотность вероятности примет вид 0,0 < т < T, Рт (т) =< 1 1 ч( 1-т) - Z2( X-T ) ■f (T ) -f (T ) т > T, Р1 + Р: Р1 + Р: f (T) = A + { [1 - Pq^ | А)] - [1 - P0 (А | Х2)]} P1P1 Р2P2 е-(& + Р2 )T F (T) ' (1) F(T) = 1 - P0(^1 | A2)P0(A21 А1) - Pe-®+P2)T; P1 = A [1-P(AJA)] , P2 =^2 [1-P(M А2) ] ; A = p + P2, P = P(AJA 2) + P^IWM^), P2 = P(A 21А1) + P(A 2I A 2) Pq(A|A), P(AJA)P(A2IA2) - P(A | А2)P (А21 A). Р = ■ 1 - P0(AJA2)Pq(А21 A) А1 + А2 - А2)2 + 4A1A2PQ(A21 А1)Р0(А11 А2) 0 < z1 < z2. Zu = 2 В (1) функция F(T)>0 для любых T (0 < T < т). Пусть т1 = t2 - t1, т2 = t3 - t2,..., тк = tk+1 - 4 - последовательность измеренных (в результате наблюдения за потоком в течение интервала наблюдения (0,t)) значений длительности интервалов между соседними событиями потока. Упорядочим величины т1 ... тк по возрастанию: тт1П = т(1) < т(2) < ... < т(к). В силу предпосылок наблюдаемый поток обладает марковским свойством, если его эволюцию рассматривать начиная с момента наступления события (с момента t^ к = 1,2,.). Тогда функция правдоподобия, с учетом (1) [29], запишется в виде ДА,-,P(A, | А,),P(A, | Aj),Pq(A, | Aj),T | x(1),...,х(к)) = 0,0 < ^ T. j=1 Поскольку поставленная задача заключается в построении оценки T значения длительности мертвого времени (в предположении, что остальные параметры потока A,-, P1(A,|A,), Р1(А,|А/), Р0(Аг|А;), i, j = 1,2, i Ф j, известны), то согласно методу максимального правдоподобия ее реализация есть решение оптимизационной задачи: Z1(T(j) -T ) 1 -f (T) L(T | т(1),...,x(k)) = UPr (x(j)) = П j=1 j=1 Z2 Z1 1 P1 +P 2 Z2(^(j) -T)} ^ max, 0 < T 0, Z z -e P1 + P: 2 f(T) Zo Zi гдеfT), P1, P2, Z1, Z2 определены в (1). Значение T, при котором (2) достигает своего глобального максимума, есть TMn - оценка максимального правдоподобия значения длительности мертвого времени. Строго аналитическое решение оптимизационной задачи (2) приводит к следующему результату: при любых значениях параметров MAP-потока событий оценка ТМП = xmln . 3. Оценка длительности мертвого времени методом моментов В [1] показано, что MAP-поток событий, функционирующий в условиях непродлевающегося мертвого времени, в общем случае является коррелированным. Только в частных случаях поток становится рекуррентным. Пусть (tk, tk+1), (4+i, tk+2) - два смежных интервала в наблюдаемом потоке с соответствующими значениями длительностей: xk = tk+1 - tk, Tk+1 = tk+2 - tk+1; их расположение на временной оси, в силу стационарности потока, произвольно. Тогда можно положить k = 1 и рассмотреть соседние интервалы (ti, t2), (t2, t3) с соответствующими значениями длительностей: ii = t2 - t1, т2 = t3 - t2; ii > 0, т2 > 0. При этом т1 = 0 соответствует моменту t1 наступления события наблюдаемого потока; т2 = 0 соответствует моменту t2 наступления следующего события наблюдаемого потока. Соответствующая совместная плотность вероятности при этом есть pT(x1, т2), т1 > 0, т2 > 0 [1]: PT(тьХ2) = 0, 0х{Л1[1 -Ро(Л2 | Л1)]-Л2[1 -Ро(Л1 |Л2)]>. Решение уравнения (8) определит три корня xi , i = 1, 2, 3, которые, в свою очередь, дают три оценки длительности мертвого времени: Tmm(i) = -7^ln(xi), i = 1,2,3. P1 +P2 Алгоритм определения единственной оценки TMM следующий: 1) для определенного набора параметров А2, P1(Ai| A), P1(Ai| j P0(A| j i, j = 1, 2; i Ф j, T, n - количество наблюдаемых событий, осуществляется имитационное моделирование наблюдаемого потока; 2) результатом работы имитационной модели является оценка теоретической ковариации (6); 3) решается уравнение (8), т.е. находятся корни x1, x2, x3; 4) если все корни комплексные, то TMM = т min; 5.1) если положительный вещественный корень один - x1, тогда: а) если TMM(1) ^ 0, то TMM =Тmin ; б) если TMM(1)> 0, то: б1) если TMM^ ^ Tmin , то TMM = TMM(1) ; б.2) если Tmm(1)> Tmin , то TMM = Тmin ; 5.2) если положительных вещественных корня два - x1, x2 (TMM(1) Tmin , то TMM =Т min; в) если 0 < TMM ^ < TMM ^ , то: в.1) если Т min < TMM() < TMM( ), то TMM =Т min ; в.2) если TMM() < Tmin < TMM(), то TMM = TMM ^ >; в.3) если T (1) < т (2) < т то T = T (2) • 1 MM - 1 MM - xmm > ш 1MM~1MM > 5.3) если положительных вещественных корня три - x1, x2 , x3 (TMM(1) < TMM(2) < TMM(3)), тогда: а) если Tmm Tmin , то TMM = тmin ; в) если TMM( ) < 0 < TMM( ) < TMM( ) , то: в.1) если Tmin < TMM(2) < TMM (3\ то TMM =т min; в.2) если TMM ™ < Tmin < TMM ^ , то TMM = TMM ™ ; в.3) если TMM() < TMM() < Tmin , то TMM = TMM(); г) если 0 < TMM ^ < TMM ^ ^ < TMMто: г.1) если Tmin < TMM^ < < TMM() < TMMто TMM =т min ; г.2) если TMM ^ ) < Tmin < TMM ^ < TMMто TMM = TMM(); г.3) если TMM() - TMM() -Tmin - TMM т0 TMM = TMM(); г4) если TMM ^ - TMM ^ - TMM ^^ -T min' T0 rp _ rp (3) MM MM В результате работы алгоритма находится единственная ММ-оценка TMM значения длительности мертвого времени. 4. Численное сравнение МП- и ММ-оценок Для получения численных результатов разработан алгоритм вычисления МП- и ММ-оценок. Программа расчета реализована на языке программирования Borland C++, Builder 6. Первый этап расчета предполагает имитационное моделирование (при заданных параметрах Xb X2, X^, -P^X^ Xj), P^X^ Xj), i, j = 1, 2; i Ф j, T, n) наблюдаемого потока событий. Описание алгоритма имитационного моделирования здесь не приводится, так как никаких принципиальных трудностей он не содержит. Результатом работы имитационной модели является набор значений длительности временных интервалов т1, т2,..., тп (n = 2,3,...). На втором этапе расчета вычисляются МП- и ММ-оценки: 1) на основе полученной на первом этапе выборки т1, т2,..., тп (n = 2,3,.) находится МП-оценка ТМП = minхк(к = 1,n); 2) вычисляется значение оценки теоретической ковариации (6); 3) решается уравнение (8) и находится единственная ММ -оценка Tmm ; 4) вычисляются величины ATmm = (Tmm - T) , ATMn = (Гмп - T) , где T - истинное значение длительности мертвого времени, заданное на первом этапе расчета. Для сравнения методов по качеству получаемых оценок проведен статистический эксперимент, состоящий из следующих этапов: 1) для заданного набора параметров X1, X2, P1(Xi| X,), P1(Xi| Xj), Р0(Х,| Xj), i, j = 1, 2; i Ф j, T, n осуществляется моделирование наблюдаемого потока (отдельный j-й эксперимент j = 1,2,...,N); 2) вычисляются значения оценок TMM(, TMn(J) и значения aTmm(J) , ATpMn(J); 3) осуществляется повторение N (j = 1,N) раз шагов 1-2. Результатом работы приведенного выше алгоритма являются две выборки: (aTmm (1),..., aTmm (N)) и (ATMn(1),...,ATMn(N)), на основе которых вычисляются выборочные вариации VMn = - £ ATMn^ и N j=1 " 1 N p (j) VMM = - ^LATMM . N j=1 Сравнивая значения выборочных вариаций, определяется, какая из полученных оценок лучше: если VMn > VMM , то ММ-оценка лучше, если VMn < VMM, то лучше МП-оценка. Результаты статистического эксперимента приведены в табл. 1-8. В первой строке указано количество наблюдаемых событий потока n (длительность имитационного моделирования). Во второй и третьей строках таблиц для каждого n приведены соответствующие численные значения УМП и VMM . В четвертой строке таблиц для каждого n приведены численные значения разности VMM - VMn. Численные результаты для всех таблиц получены для N = 100. Таблица 1 Результаты статистического эксперимента (I = 1, I = 0,9, Pi(^i| = 0,3, P1(X2| I) = 0,3, Ро(^г| I) = 0,4, Pj(^2| I) = 0,4, I2) = 0,3, P0(Ij| I2) = 0,3, T = 2,75) n 10 20 30 40 50 V МП 0,1517824 0,0326041 0,0075076 0,0018225 0,0002025 V ММ 0,0349281 0,0056169 0,0011664 0,0010816 0,0001296 V - V ММ МП -0,1168543 -0,0269872 -0,0063412 -0,0007409 -0,0000729 Таблица 2 Результаты статистического эксперимента (I1 = 5, I2 = 1, P1(I1| I1) = 0,3, P1(I2| I1) = 0,3, P0(I2| I1) = 0,4, P1(I2| I2) = 0,4, Pi(Ii| I2) = 0,3, P0(I1| I2) = 03, T = 0,4) n 10 20 30 40 50 V МП 0,0827554 0,0134249 0,0073008 0,0053361 0,0015154 V ММ 0,0382048 0,0051302 0,0048444 0,0034151 0,0006989 V - V ММ МП -0,0445506 -0,0082947 -0,0024564 -0,001921 -0,0008165 Таблица 3 Результаты статистического эксперимента (I1 = 2, I2 = 1,9, P1(I1| I1) = 0,5, P1(I2| I1) = 0,4, P0(I2| I1) = 0,1, P1(I2| I2) = 0,3, P1(I1| I2) = 0,3, P0(I1| I2) = 0,4, T = 1) n 10 20 30 40 50 V r МП 0,1444804 0,0172391 0,0044775 0,0038770 0,0030555 V r ММ 0,0335241 0,0128594 0,0041494 0,0019210 0,0016461 V - V ММ МП -0,1109563 -0,0043797 -0,0003281 -0,0019560 -0,0014094 Таблица 4 Результаты статистического эксперимента (I1 = 0,5, I2 = 0,1, P1(I1| I1) = 0,7, P1(I2| I1) = 0,2, P0(I2| I1) = 0,1, P1(I2| I2) = 0,6, P1(I1| I2) = 0,3, P0(I1| I2) = 0,1, T = 3) n 10 20 30 40 50 V МП 0,9629230 0,5469985 0,2391044 0,1526460 0,0983072 V ММ 0,0915849 0,0651088 0,0299428 0,0154135 0,0028359 V - V ММ МП -0,8713381 -0,4818898 -0,2091616 -0,1372325 -0,0954714 Таблица 5 Результаты статистического эксперимента (I1 = 1, I2 = 0,9, P1(I1| I1) = 0,3, P1(I2| I1) = 0,3, P0(I2| I1) = 0,4, P1(I2| I2) = 0,4, P1(I1| I2) = 0,3, P0M I2) = 0,3, T = 2,75) n 200 300 600 800 1000 V МП 0,0004096 0,0001347 0,0000441 0,0000074 0,0000003 V ММ 0,0001505 0,0002692 0,0002601 0,0001849 0,0000838 V - V ММ МП -0,0002591 0,0001345 0,0002160 0,0001775 0,0000835 Таблица 6 Результаты статистического эксперимента (I1 = 5, I2 = 1, P1(I1| I1) = 0,3, P1(I2| I1) = 0,3, P0(I2| I1) = 0,4, P1(I2| I2) = 0,4, P1(I1| I2) = 0,3, P0(I1| I2) = 0,3, T = 0,4) n 200 400 600 800 1000 V МП 0,0001340 0,0000291 0,0000152 0,0000050 0,0000071 V r ММ 0,0001391 0,0002228 0,0004602 0,0002382 0,0002200 V - V ММ МП 0,0000051 0,0001937 0,000445 0,0002335 0,0002129 Таблица 7 Результаты статистического эксперимента (I1 = 2, I2 = 1,9, P1(I1| I1) = 0,5, P1(I2| I1) = 0,4, P0(I2| I1) = 0,1, P1(I2| I2) = 0,3, P1(I1| I2) = 0,3, P0(I1| I2) = 0,4, T = 1) n 200 400 600 800 1000 V МП 0,0001600 0,0000548 0,0000100 0,0000076 0,0000021 V ММ 0,0010568 0,0006839 0,0000605 0,0000392 0,0000201 V - V ММ МП 0,0008968 0,0006292 0,0000505 0,0000316 0,0000180 Таблица 8 Результаты статистического эксперимента (I = 0,5, I = 0,1, Pi(^i| I) = 0,7, Pi^i = 0,2, Ро(^г| I) = 0,1, Pi(X2i ^2) = 0,6, P1(I1| I2) = 0,3, P0(Ii| I2) = 0,1, T = 3) n 200 400 600 800 1000 V МП 0,0084623 0,0013386 0,0008519 0,0004733 0,0000847 V ММ 0,0021580 0,0015700 0,0019321 0,0013225 0,0014161 V - V ММ МП -0,0063043 0,0002314 0,0010802 0,0008492 0,0013314 Анализ приведенных численных результатов показывает, что при малом времени (n = 10, 20, 30, 40, 50) наблюдения за потоком ММ-оценка лучше МП-оценки (табл. 1-4), что волне объяснимо, так как при малом времени наблюдения оценка Т^ может быть достаточно сильно смещенной относительно Т. При большом времени наблюдения за потоком МП-оценка лучше ММ-оценки (табл. 4-8), что является естественным, так как при большом времени наблюдения смещение оценки Т^ относительно Т уменьшается. Заключение Результаты проведенного исследования оценок длительности мертвого времени Т, полученных методом моментов и методом максимального правдоподобия, указывают на то, что при малом времени наблюдения лучшую оценку дает метод моментов, при достаточно большом времени наблюдения лучшую оценку дает метод максимального правдоподобия. Границу применения той или иной оценки при заданных параметрах можно определить только путем имитационного моделирования.

Скачать электронную версию публикации