Error probability when estimating the states of the modulated generalized semi-synchronous flow of events.pdf Условия функционирования реальных систем массового обслуживания таковы, что если в отношении параметров обслуживающих устройств, как правило, можно утверждать, что они известны и с течением времени не меняются, то в отношении интенсивностей входящих потоков этого сказать во многих случаях нельзя. Более того, интенсивности входящих потоков заявок обычно меняются со временем, часто эти изменения носят случайный характер, что приводит к рассмотрению математических моделей дважды стохастических потоков событий (DSPPs). Данные потоки можно охарактеризовать двумя случайностями: первая случайность - это число событий на любом рассматриваемом интервале функционирования потока; вторая случайность - это случайный процесс X(t), называемый интенсивностью потока [1-8]. В настоящей работе рассматривается модулированный обобщенный полусинхронный поток событий, являющийся обобщением полусинхронного потока [9-12] и обобщенного полусинхронного потока событий [13-19] и относящийся к классу дважды стохастических потоков событий с кусочно-постоянной интенсивностью. Достаточно обширная литература по исследованию подобных потоков событий (асинхронных, синхронных и полусинхронных) приведена в [13, 20-33], при этом в [22] показано, что данные потоки могут быть представлены в виде моделей MAP-потоков событий с определенными ограничениями на параметры последних. Настоящая статья является непосредственным развитием работ [34, 35], где решается задача оптимального оценивания состояний модулированного обобщенного полусинхронного потока событий (задача фильтрации интенсивности потока) и в качестве решающего правила используется критерий максимума апостериорной вероятности, обеспечивающий минимум полной (безусловной) вероятности ошибки вынесения решения о состоянии потока [36]. В настоящей статье приводятся аналитические и численные результаты по нахождению условной и безусловной вероятности ошибочного решения при оптимальном оценивании состояний потока. ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА № 1 (34) 2016 Управление, вычислительная техника и информатика 1. Постановка задачи Рассматривается модулированный обобщенный полусинхронный поток событий (далее - поток или поток событий), интенсивность которого является кусочно-постоянным стационарным случайным процессом X(t) с двумя состояниями X1 и X2 (Я1 > X2 > 0). Будем говорить, что имеет место первое состояние процесса (потока), если X(t) = X1, и второе состояние процесса (потока), если X(t) = X 2. В течение временного интервала случайной длительности, когда процесс X(t) находится в состоянии Xi (X(t) = Xi), имеет место пуассоновский поток событий с интенсивностью Xi, i = 1,2. Переход из первого состояния процесса X(t) во второе возможен в момент наступления события пуассоновского потока интенсивности X1, при этом переход осуществляется с вероятностью р (0 < p < 1); с вероятностью 1 - р процесс X(t) остается в первом состоянии (т.е. сначала наступает событие потока, затем происходит либо не происходит переход процесса X(t) из первого состояния во второе). Переход из первого состояния процесса X(t) во второе также возможен в произвольный момент времени, не совпадающий с моментом наступления события, при этом длительность пребывания процесса X(t) в первом состоянии распределена по экспоненциальному закону с параметром в: F(т) = 1 - e-Рт, т > 0 . Тогда длительность пребывания процесса X(t) в первом состоянии есть случайная величина с экспоненциальной функцией распределения F1 (т) = 1 - e-pX1+Р)т, т > 0 . Переход из второго состояния процесса X(t) в первое в момент наступления события пуассоновского потока интенсивности X2 невозможен и может осуществляться только в произвольный момент времени. При этом длительность пребывания процесса X(t) во втором состоянии распределена по экспоненциальному закону с параметром a: F2(t) = 1 - e-ат, т > 0 . В момент окончания второго состояния процесса X(t) при его переходе из второго состояния в первое инициируется с вероятностью 5 (0 < 5 < 1) дополнительное событие. Отметим, что события пуассоновских потоков и дополнительные события неразличимы для наблюдателя. В сделанных предпосылках X(t) - скрытый марковский процесс. При этом матрицы инфинитезимальных характеристик принимают вид -(( +Р) Р (1 - p)X1 PX1 ^0 = Л = (1 -5) -(X 2 +«) а5 X2 а Элементами матрицы D1 являются интенсивности переходов процесса X(t) из состояния в состояние с наступлением события. Недиагональные элементы матрицы D0 - это интенсивности переходов из состояния в состояние без наступления события. Диагональные элементы матрицы D0 - это интенсивности выхода процесса X(t) из своих состояний, взятые с противоположным знаком. Отметим, что если Р = 0 , то имеет место обобщенный полусинхронный поток событий [15]. 1 - P 1- P Модулированный обобщенный гюл\ синхронный поток событий U и t„ Рис. 1. Формирование модулированного обобщенного полусинхронного потока событий Заметим, что в определении модулированного обобщенного полусинхронного потока событий в явном виде не оговаривается, в каком состоянии процесса A(t) наступает дополнительное событие потока при переходе процесса A(t) из второго состояния в первое. Данное обстоятельство при последующем получении аналитических результатов является несущественным, так как наступление дополнительного события и переход процесса A(t) из второго состояния в первое происходят мгновенно. В реальных ситуациях возможны два варианта, связанные с наступлением события и переходом процесса A(t) из второго состояния в первое: 1) первично наступление события во втором состоянии процесса A(t), затем его переход из второго состояния в первое; 2) первичен переход процесса A(t) из второго состояния в первое, затем наступление события в первом состоянии. Здесь принимается, что сначала происходит переход процесса A(t) из второго состояния в первое, затем дополнительное событие с вероятностью 5 инициируется в первом состоянии. Пример реализации модулированного обобщенного полусинхронного потока событий приведен на рис. 1, где 1, 2 - состояния процесса A(t); tx, t^,... - моменты наступления событий потока; дополнительные события помечены буквами 5 . Рассматривается установившийся (стационарный) режим функционирования потока событий, поэтому переходными процессами на полуинтервале наблюдения (t0, t], где 10 - начало наблюдений, t -окончание наблюдений (момент вынесения решения), пренебрегаем. Тогда без потери общности можно положить 10 = 0 . Поскольку процесс A(t) является принципиально ненаблюдаемым, то говорить о состоянии потока можно только в вероятностном смысле. Вся доступная информация о потоке - это моменты наступления событий t1,t2,...,tk с начала наблюдения 10 до момента t. Решение о состоянии потока выносится по критерию максимума апостериорной вероятности, который обеспечивает минимум полной вероятности ошибки вынесения решения [36]. Таким образом, для вынесения решения о состоянии ненаблюдаемого процесса A(t) в момент времени t необходимо определить апостериорные вероятности w(kt 11) = w(kt 111,..., tm, t) = .P{A,(t) = X 111,..., tm, t}, i = 1,2, того, что в момент времени t значение процесса A(t) есть A(t) = Xi (m - количество наблюденных событий за время t). При этом w(X 11)+w(A2 11) = 1. Решение о состоянии процесса A(t) выносится путем сравнения апостериорных вероятностей: если w(Aj 11) > w(Ai 11), i, j = 1,2, i ф j, то оценка состояния процесса A(t) есть A(t) = A j. 2. Условная вероятность ошибочного решения о состоянии потока событий в общем случае Перейдем к выводу формул для вероятностей ошибок при вынесении решения о состоянии процесса A(t). Пусть полуинтервал наблюдения за потоком событий есть (t0, t]. Момент времени t зафиксирован, т.е. t -10 есть длина полуинтервала наблюдения. В силу того что моменты наступления событий t1,t2,...,tk (t1 < t2 tk). Тогда xk ограничено снизу нулем, сверху xk может быть в принципе неограниченным, т.е. xk > 0. С учетом введенного обозначения w(X111) = w(X11 tk +тк), тк > 0. В момент t = tk имеем w(X111 = tk) = w(X11 tk + 0). Так как xk привязано к моменту времени tk наступления k-го события, то для простоты обозначим w(X11 tk + xk) = w(X11 xk), xk > 0. Остановимся более подробно на алгоритме принятия решения. Процесс X(xk), xk > 0, является ненаблюдаемым. В момент tk наступления события значение процесса X(xk = 0) может быть равным либо X1, либо X2. Вследствие этого в момент xk вынесения решения процесс X(xk) может также принимать любое значение: либо X1 (X(xk) = X1), либо X2 (X(xk) = X2). Тогда оценка X(xk) значения процесса X(xk) в момент времени xk, получаемая по критерию максимума апостериорной вероятности, может принимать либо значение X1 (X(xk) = X1), либо значение X2 (X(xk) = X2). При этом возможны следующие варианты: 1) если в момент времени xk значение процесса X(xk) = X1, то правильное решение (X(xk) = X1) будет приниматься, если w(X11 xk) > w(X21 xk); если же w(X11 xk) < w(X21 xk), то будет приниматься ошибочное решение (совершаться ошибка): X(xk) = X2; 2) если в момент времени xk значение процесса X(xk) = X2, то правильное решение (X(xk) = X2) будет приниматься, если w(X11 xk) < w(X21 xk); если же w(X11 xk) > w(X21 xk), то будет приниматься ошибочное решение (совершаться ошибка): X(xk) = X1. Обозначим далее w(X(xk), xk) - распределение вероятностей значений двумерной смешанной случайной величины (X(xk), xk), здесь X(xk) - значение дискретной случайной величины (X(xk) = X1 либо X(xk) = X2); xk - значение непрерывной случайной величины (xk > 0). Тогда уравнение w(X(xk) = X1, xk) = w(X(xk) = X2, xk) определяет границу т, критической области, в которой отклоняется гипотеза ^(т, ) = X2 и принимается гипотеза X^k) = X1 (либо наоборот, отклоняется гипотеза X^k) = X1 и принимается гипотеза ^(т, ) = X2). Сам корень данного уравнения (если он существует и единствен) может быть меньше нуля ( т, < 0), равен нулю ( т, = 0) и может быть больше нуля ( т, > 0). Кроме того, в принципе возможны ситуации, когда данное уравнение определяет некоторое множество корней либо корней не имеет (корни не существуют). Расписывая в данном уравнении w^^) = X ., тк), j = 1,2, через безусловную плотность w^,.) и апостериорную вероятность w^^) = X. | тк) = w(X. | тк), приходим к следующему виду уравнения для границы критической области т0к: w(X1K) = w(X2^k), к = 1,2,.... (1) Тогда если w(X11 тк) > w(X21 тк), то апостериорную вероятность w(X11 тк) можно интерпретировать как условную вероятность вынесения правильного решения: ^(тк) = X1 при условии, что вынесение решения произведено в момент времени тк (тк > 0); апостериорную же вероятность w(X21 тк) = 1 -w(X11 тк) - как условную вероятность вынесения ошибочного решения (условную вероятность ошибки): решение выносится в пользу ^(тк) = X1, хотя на самом деле имеет место X^,) = X2. Аналогичная трактовка имеет место для случая w(X11 тк) < w(X21 тк). Во введенных обозначениях согласно формуле, полученной для расчета апостериорной вероятности в [34, 35], поведение вероятности w(X11 тк) на полуинтервале [tk, tk+1) между соседними событиями потока определяется выражением (X | ) w1 [w2 - w (X1 1 tk + 0)] - w2 [w1 - w (X1 1 tk + 0)]е-Ьт" > 0 , 01 (2) w(X1 | т, ) = --------~-, тк = t-tk >0, к = 0,1,..., (2) ^ k) w2 - w(|tk + 0)-[w1 - w (|tk + 0)] e k ' k k ' ^ X1 -X2 +а + р- 2а5 - b X1 -X2 + а + р-2а5 + Ь Г " "~2 ТТЛ ГТ где w1 = 1 2(X1 -X2 -а5) , w2 = 1 2( -X2 -а5) , Ь ^(X1 -X2-а + Р) + 4аР(1 -5). В момент времени xk = t-tk = 0 (т.е. тогда, когда момент вынесения решения t совпадает с моментом tk наступления события) апостериорная вероятность (2) претерпевает разрыв 1-го рода (k = 1,2,...), поэтому в момент времени xk = 0 согласно формуле пересчета, полученной в [34, 35], имеет место w( | tk + 0)= a5 + [A1 ( -p)-a5]w)l tk -0)) , k = 1,2,..., (3) A2 + а5 + (( - A2 - a5)w( | tk - 0) где w(A11 tk - 0) вычисляется по формуле (2), в которой, во-первых, вместо xk нужно подставить xk-1 и, во-вторых, вычисления производить для xk-1 = tk -tk-1, k = 1,2,.... Последнее реализует вычисление предела слева апостериорной вероятности w(A11 xk-1) в момент времени tk (в момент наступления события). В качестве начального значения w(A1110 + 0) = w(A1110 = 0) в (2) выбирается априорная финальная вероятность первого состояния процесса A(t): л1 = a /(pA1 + р + a). Изучим поведение апостериорной вероятности w(A11 xk) как функции xk (xk > 0). Производная функции (2) по xk принимает вид dw (AJxk ) = a(W2 - wt )2 [wt - w( | tk + 0)][W2 - w( | tk + 0)] e-a(W2-w1)xk > 0 ? = - = - - , xk > 0, k = 0,1v.., (4) dxk [ w2 - w (( | tk + 0) - [ w - w (( | tk + 0)] a(w2-w1)xk ] где a = A1 -A2 -a5; апостериорная вероятность w(A11 tk + 0) определена в (3), k = 1,2,...; w(A1 110 + 0) = л1 =a/(pA1 + p + a). Рассмотрим поведение производной (4) в зависимости от xk (xk > 0). Из (2) вытекает, что lim w(A1 | xk) = w1. При этом знак производной (4) определяется знаком выражения xk ^да a[[ - w(A11 tk + 0)][2 - w(A11 tk + 0)], где a определена в (4). Можно показать, что знак производной (4) для любого a (a > 0 либо a < 0) определяется знаком разности w1 - w(A11 tk + 0), тогда: 1) если 0 < w(A1 | tk + 0) < w1, то dw(A11 xk)/ dxk > 0 и w(A11 xk) является возрастающей функцией переменной xk, стремящейся к w1 снизу при xk ^ да; 2) если w1 < w(A1 | tk + 0) < 1, то dw(A1 | x k ) / dx k < 0 и w(A11 xk) является убывающей функцией переменной xk, стремящейся к w1 сверху при xk ^да; 3) если w(A1 | tk + 0) = w1, то w(A1 | xk) = w1 для xk > 0. Тогда уравнение (1) имеет либо единственный корень x0k (xk < 0 или xk > 0), либо корень xk не существует, так как апостериорная вероятность w(A11 xk) есть монотонная функция переменной xk . Подставляя (2) в (1) и решая полученное уравнение относительно xk, находим x0 1 (w2 -1/2)[wt -w(AJtk + 0)] xk =--Г m---k---T, k = 0,1,.... (5) a (w2 - w1) (w1 - 1/2)^ w2 - w (A1| tk + 0)] Выражение (5) определяет границу критической области x0k и в зависимости от соотношения величин w1 и w(A1 | tk + 0) для любого a (a > 0 либо a < 0) возможны различные варианты положения x0k на временной оси: 1) если 1/2 < w1 < w(A1 | tk + 0)< 1, то корень x0k не существует, при этом условная вероятность ошибки определяется в виде P0 (w(A1 | tk + 0), xk) 1 - w(A1 | xk), xk > 0 ; 2) если 1/2 < w(A11 tk + 0)< w1 < 1, то корень x0k существует и x0k < 0, при этом условная вероятность ошибки определяется в виде P0 (w(A1 | tk + 0), xk) 1 - w(A1 | xk), xk > 0 ; 3) если 0 < w(A1 | tk + 0) < 1/2 < w1 < 1, то корень x0k существует и x0k > 0, при этом условная вероятность ошибки определяется в виде P(w(A,|tk + 0),xk)x )0x°; 4) если w1 = 1/2 , w(A1 | tk + 0)< w1, то корень x0k не существует, при этом условная вероятность ошибки определяется в виде P (w( | tk + 0), xk) = w(A1 | xk), xk > 0 ; 5) если 0 < w(A1 | tk + 0)< w1 < 1/2, то корень x0k не существует, при этом условная вероятность ошибки определяется в виде р (w( | tk + 0), xk) = w(A1 | xk), xk > 0 ; 6) если 0 < w1 < w(A1 | tk + 0) < 1/ 2, то корень x°k существует и x°k < 0 , при этом условная вероятность ошибки определяется в виде P0 (w( | tk + 0), xk) = w(A1 | xk), xk > 0 ; 7) если 0 < w1 < 1/2 < w(A1 | tk + 0)< 1, то корень x°k существует и x°k > 0 , при этом условная вероятность ошибки определяется в виде P(w(A,|tk + 0),xk))-w(Af). >0xkk; 8) если w1 = 1/ 2 , w1 < w(A1 | tk + 0) ошибки определяется в виде P0 (w(A1 | tk + 0),хk) = 1 - w(A1 | xk), xk > 0 . Полученные формулы позволяют сформулировать алгоритм расчета условной вероятности вынесения ошибочного решения P0 (w(A1 | tk + 0)k) в любой момент времени xk > 0, k = 0,1,... : 1) в момент времени t0 = 0 задается w(A1 110 + 0) = w(A1 110 = 0) = л1; 2) по формуле (5) для k = 0 рассчитывается x0k, тем самым устанавливается положение границы критической области на временной оси; 3) находится один из восьми возможных вариантов соотношения величин w1 и w(A1 | tk + 0); 4) для найденного варианта рассчитывается (с использованием формулы (2)) вероятность P0 (w(A11 tk + 0), xk) в любой момент времени 0 < xk < tk+1 - tk ; 5) рассчитывается вероятность w(A1 | xk) в момент времени xk = tk+1 - tk , т.е. w (A1 | tk+1 - 0), по формуле (2); затем производится пересчет апостериорной вероятности в момент времени tk+1, т.е. находится w(A1 | tk+1 + 0) по формуле пересчета (3); 6) k увеличивается на 1, алгоритм переходит на шаг 2 и т. д. Замечание. В силу формулы пересчета (3) значение w(A1 | tk+1 + 0) зависит от всех моментов t1,t2,...,tk наступления событий в потоке, т.е. вся предыдущая информация «сосредоточена» в вероятности w(A1 | tk+1 + 0). Вследствие этого для определения безусловной вероятности ошибки необходимо усреднить условную вероятность ошибки P0 (w(A1 | tk + 0), xk) по моментам наступления событий t1, t2,..., tk. Однако найти функцию распределения вероятностей моментов t1, t2,..., tk наступления событий в модулированном обобщенном полусинхронном потоке в явном виде представляется затруднительным или вообще невозможным. Определить безусловную вероятность ошибки возможно только для некоторых случаев соотношения параметров потока. 3. Условная и безусловная вероятность ошибочного решения о состоянии потока для частных и особых случаев Представляет интерес рассмотреть частные и особые случаи соотношения параметров потока, для которых возможно вычисление безусловной вероятности ошибки. 3.1. Частный случай: p = 1, 5 = 0 ^ A, -A2 +a + B-b A, -A2 +a + B + b , fj: 7 " ~ В данном случае w1 =-2(a -a )-, w2 =-2(a -a )-, b ^(A1 A2-a + p) +4ap , при этом формула пересчета (3) принимает вид то корень xk не существует, при этом условная вероятность w(\\tk + 0) = 0, k = 1,2,.... (6) Отметим тот факт, что равенство (6) означает, что значение апостериорной вероятности w(X1 \ tk + тk) (или w(X1 \ t)) после любого момента tk не зависит от моментов наступлений событий до tk , т.е. от t1,t2,...,tk-1. Вследствие этого в обозначении апостериорной вероятности индекс к можно опустить: w(X1 \ t) = w(X1 \ tk + тk) = w(X1 \ тk) = w(X1 \ т), т > 0 . Значение условной вероятности ошибки P0 (w( \ tk + 0), тк) также не зависит от предыстории, вследствие этого P0 (w(X1 \ tk + 0), тк) = P0 (т). Стоит отметить, что для рассматриваемого частного случая модулированный обобщенный полусинхронный поток событий является рекуррентным потоком. Действительно, можно показать, что при значении параметров р = 1, 5 = 0 совместная плотность вероятностей длительностей двух смежных интервалов р(т1,т2) факторизуется: р(т1,т2) = р(т1)р(т2). Общий вид плотности вероятности и совместной плотности вероятности получен в статье [37]: р(т) = yz1e-*т + (1 - у)z2e-v, т > 0 , (7) р(т1,т2) = р(т1)р(т2) + у(1 -у)-1 [-2 -Р(Х2 +а5>]] -Z2e-Z2Тl ][zle-ZlТ2 -Z2e-^2 ], т1 > 0, т2 > 0, (8) Z1Z2 у = _!_[z, - .1,1 (0) -(X, + -5k (0)], „1 (0) = а--^!*!^^^!^, „г (0) = , ^ 5), z2 - z1 -1а + (р-1 + P)(X2 + а5) -1а + (р-1 + P)(-2 + а5) z1 2 = 2 [-1 + - + а + р + b], b = -X2 - а + р)2 + 4ар(1 -5) , z1 z 2 = X1X 2 + -1а + X 2P + а5р . В выражении для совместной плотности (8) р(тk) определены в (7) для т = тk, k = 1,2. Согласно постановке задачи рассматривается установившийся (стационарный) режим функционирования потока событий. Это означает, что для частного случая рассматриваемый поток событий является потоком Пальма, или рекуррентным потоком, и интервалы между соседними по времени событиями потока представляют собой независимые случайные величины т1,т2,...,тк,..., распределенные одинаково с плотностью р(т), определенной в (7). Формула (2) в данном случае принимает вид w (-1 \ Тk ) = ww2 (1 - e-b% )/(w2 - w^ ), Тk = t - tk > 0 , k = 0,1,... . Так как w(X1 \ тк), k = 1,2,..., не зависит от предыстории, то для любых k = 1,2,... w (X1 \ т) = w1 w2 (1 - e-bт)/(w2 - w1e-bт), т > 0 . (9) Для начального интервала изменения т (t0 < т < t1) справедлива формула (2), в которой k = 0 и w(-1 \ t0 + 0) = = а /(р-1 + P + а). Подставляя (9) в уравнение (1) и решая полученное уравнение относительно т , находим границу критической области т0 = ln w1((w2 -1/2) (10) a(w2 - w1) w2(w1 -1/2) для любого полуинтервала [tk,tk+1), k = 1,2,.... Для начального полуинтервала [t0,t1) граница критической области т0 определяется выражением (5), где k = 0 и w(-1 \ t0 + 0) = = а /(р-1 + P + а). Из (10) следует, что вне зависимости от знака a (a > 0 либо a < 0) для любого полуинтервала [tk,tk+1), k = 1,2,..., справедливо: 1) если 0 0 ; 2) если 1/2 < w1 < 1, то корень т0 существует и т0 > 0 , при этом условная вероятность ошибки определяется в виде P ( ) = Jw(-1 \ т), 0 х0. Поскольку в рассматриваемом случае поток событий представляет собой рекуррентный поток, то возможно вычисление безусловной вероятности ошибки P0 по формуле (12). Для рассматриваемого особого случая р(х) определяется в виде (7), где y = (z2 -А1 )/(Z2 - z1 ) = 1, 1 -y = -(z1 V(z2 -z1 ) = 0; z1 z2 = A2 +a+P , 0 < z1 < z2 . Подставляя (7) в (11), получаем да 1 Mx = jxp(x)dx = - ; w(x) = A,fxe-z'X, х > 0 . Тогда в зависимости от значений величин L, w(A,j | tk + 0) безусловная вероятность ошибки P0 для любого полуинтервала [tk,tk+1), k = 0,1,..., определяется в виде 1) 0 < | tk + 0)< 1/2: 1.1) если L < 0, то корень х0 не существует, при этом безусловная вероятность ошибки определяется в виде да да да P0(1) = jw(x)P0(x)dx = Jw(x)|x)dx = J f (x)dx, 0 f (х) = w(x)w( | х)= ^12xe-z'XLa(1(1 5)5) + I p + a(1 -5) P + a(1 -5) Обозначая через Ь^СТ!^ ' =w(A1|tk+0)--01-:-:-. (24) P + a(1 -5) p + a(1 -5) получаем f (х) в виде w((\tk + 0)--a(1 -5) e -(P+a (1-5))х f (х) = Aj2xe-z'X \_b1 + b2e-(P+a(1-5))X ] . (25) Учитывая, что Jxe zxdx = 1/ z2, окончательно получаем м X 2b P0(1) = f f (T)d х = b1 +-X^- , (26) 0 J 1 (z +р + а(1 -5))2 где b1, b2 определены в (24); 1.2) если 0 < L < 1, то корень х0 существует и х0 < 0, при этом безусловная вероятность ошибки определяется выражением (26); 1.3) если L > 1, то корень х0 существует и х0 > 0 , при этом безусловная вероятность ошибки определяется в виде ад ад ад P0(1) = f w^P^d = f w^w^ | х)х + | w(х)(l - w(X1 | х))х = f w^d + f f (х)я'х- 0 0 х0 х0 0 ад ад х0 ад -f f(х)dх = Ц + D2; D1 = f = е-(1 + z^0 ); D2 = f f (х^х-f f (х^х = (27) 2' х0 2 = b1 [1 - 2е-г1х° (1 + zy )]+-^-- [1 - 2е-( *+р+-(1-5)) х° (1 + (z1 + р + а(1 - 5))х0 )], u V 1 /J (z1 + р + а(1 -5)) V 1 П где b1 , b2 определены в (24); 2) 1/2 < w(X1 | tk + 0)< 1: 2.1) если L < 0 , то корень х0 не существует, при этом безусловная вероятность ошибки определяется в виде ад ад ад ад P0(2) = f w^P^d = f w^ - w(X1 | х)]х = f w(х)dх - f f (х)4х , 0 0 0 0 ад где f (х) = w^w^ | х) и определена в (25), f w^d = 1. Тогда 0 P0(2) = 1 - b - ( ^ 5))2; (28) (z1 +р + а(1 - 5))2 2.2) если 0 < L < 1, то корень х0 существует и х0 < 0 , при этом безусловная вероятность ошибки определяется выражением (28); 2.3) если L > 1, то корень х0 существует и х0 > 0, при этом безусловная вероятность ошибки определяется в виде УЭ УЭ P0(2) = f w^P^d = f w^ - w(X1 | х)]]х + f w(х)w(X1 | х)х = f w^d 0 0 х0 0 х0 ад -f f (х^х + f f (х^х = D3 - D2, 0 х0 х0 0 где D2 определено в (27), D3 = f w^d = 1 - е-(1 + z1х0). 0 4. Результаты численных расчетов В настоящем разделе приводятся результаты статистических экспериментов по вычислению условной вероятности вынесения ошибочного решения P0 (w(X11 tk + 0), хк) в любой момент времени хk > 0, k = 0,1,..., для общего случая и безусловной вероятности ошибки P0 для особого случая соотношения параметров (X1 - X 2 - а5 = 0, X1 (1 - р) - а5 = 0 ) для различных значений параметров модулированного обобщенного полусинхронного потока событий. Приведенный в разделе 2 алгоритм расчета условной вероятности P0 (w(X11 tk + 0), хк) в любой момент времени хk > 0, k = 0,1,..., положен в основу реализации программы расчета для проведения статистических экспериментов с целью вычисления условной вероятности ошибки P0 ((( | tk + 0), тк) для общего случая. Программа расчета реализована на языке программирования C# в интегрированной среде разработки Microsoft Visual Studio 2015 в виде пользовательского приложения и интерфейса командной строки. На первом этапе эксперимента осуществляется имитационное моделирование потока при заданных значениях параметров потока и заданном времени моделирования и как результат получение истинной траектории интенсивности процесса X(t) и временных моментов t1, t2,... наступления событий потока. Описание алгоритма имитационного моделирования здесь не приводится, так как никаких принципиальных трудностей он не содержит. На втором этапе производится непосредственное вычисление апостериорных вероятностей w(( | т0), т0 = t -10 > 0; | tk + 0), к = 1,2,...; w(A,1 | хк), тк = t- tk > 0, к = 1,2,..., по формулам (2), (3); построение оценки X(t) процесса X(t) и вычисление условной вероятности ошибки P0((( | tk + 0),тк), к = 0,1,..., для общего случая. Рис. 2. Траектории процесса X(t) (верхняя часть рисунка) и оценки X(t) (нижняя часть рисунка) В качестве иллюстрации на рис. 2 приведен пример реализации потока событий при следующих значениях параметров: X = 0,8 , X2 = 0,2 , p = 0,2 , р = 0,5, а = 0,8 , 5 = 0,9 и общем времени моделирования Tm = 1000. В верхней части рис. 2 приведена траектория случайного процесса X(t) (истинная траектория процесса X(t)), полученная путем имитационного моделирования. Цифрами 1, 2 обозначены первое и второе состояния процесса X(t) соответственно. На оси 1 отображены события модулированного обобщенного полусинхронного потока событий: белыми кружками показаны события пуассонов-ских потоков, черными кружками - дополнительные события, которые могут наступить в первом состоянии потока при переходе процесса X(t) из второго состояния в первое. Напомним, что события пуас-соновских потоков и дополнительные события неразличимы для наблюдателя, поэтому на оси 2 все события потока отображены одинаково (белыми кружками). В нижней части рис. 2 приведена траектория оценки X(t) процесса X(t). Цифрами 1, 2 обозначены первое и второе состояния оценки X(t) соответственно. На оси 3 жирными линиями отмечены промежутки, на которых оценка X(t) не совпадает с истинным значением процесса X(t) (область ошибочных решений). Расчет апостериорной вероятности w(X1 | хк), к = 0,1,..., и вынесение решения о состоянии процесса X(t) производились с шагом At = 0,001. На рис. 3 приведена траектория поведения апостериорной вероятности w(X1 | тк), к = 0,1,..., первого состояния процесса X(t), соответствующая полученной при имитационном моделировании последовательности наступления событий t1, t2,... модулированного обобщенного полусинхронного потока событий (см. рис. 2, ось 2). Цифрами 1; 0,5; 0 обозначены возможные значения апостериорной вероятности по оси ординат. На рис. 4 приведена траектория условной вероятности ошибки P0 (w(X11 tk + 0), хк), k = 0,1,..., соответствующая той же последовательности наступления событий. Цифрами 1, 0,5, 0 обозначены возможные значения условной вероятности по оси ординат. Рис. 3. Траектория апостериорной вероятности w(X11 хк) , k = 0,1,.. Рис. 4. Траектория условной вероятности ошибки P0 (w (X1 | tk + 0), хк ), k = 0,1,. Рис. 5. Графики изменения значений Рис. 6. Графики изменения значений безусловной вероятности ошибки P0 безусловной вероятности ошибки P0 Таким образом, при реализации предложенного алгоритма осуществляется оценка состояний процесса X(t) в любой момент времени t, и в этот же момент времени вычисляется условная вероятность ошибки вынесения решения. Для особого случая соотношения параметров (X1 - X2 - а5 = 0, X1 (1 - р) - а5 = 0 ) построены графики безусловной вероятности ошибки P0 для различных значений параметров модулированного обобщенного полусинхронного потока событий и для любого полуинтервала [tk,tk+1), k = 1,2,.... Алгоритм расчета состоит из следующих этапов: 1) задается р; 2) вычисляется L, w(X1 | tk + 0); 3) определяется один из шести возможных вариантов (см. подраздел 3.2) и вычисляется значение P0 для этого варианта; 4) значение р увеличивается; 5) алгоритм переходит на шаг 1 и т.д. На рис. 5 представлены графики изменения значений безусловной вероятности ошибки P0 в зависимости от значений параметров потока: 1 - при X1 = 3, X2 = 1,5 , р = 0,5, а = 3 , 5 = 0,5 ; 2 - при X1 = 4 , X2 = 2, р = 0,5, а = 4 , 5 = 0,5 . На рис. 6 приведены графики изменения значений безусловной вероятности ошибки P0 в зависимости от значений параметров потока: 1 - при X1 = 4 , X2 = 0,8 , р = 0,2 , а = 4 , 5 = 0,8 ; 2 - при X1 = 5, X2 = 1,8 , р = 0,36, а = 4 , 5 = 0,8 . Параметр р изменяется по оси абсцисс и принимает значения 0,05; 0,1; 0,2 и так далее до 10. Заключение Алгоритм оптимального оценивания состояний модулированного обобщенного полусинхронного потока событий, предложенный в работах [34, 35], позволяет осуществлять оценку состояний процесса X(t) по результатам наблюдений за моментами наступлений событий в потоке. При реализации предложенного алгоритма осуществляется оценка состояний процесса X(t) в любой момент времени t, и в этот же момент времени вычисляется условная вероятность сделанной при вынесении решения ошибки. Для частного и особого случаев (при некоторых дополнительных ограничениях на параметры потока) вычисление безусловной вероятности ошибки возможно в явном виде, что позволяет при заданном наборе параметров определить значение безусловной вероятности ошибки до начала наблюдений за потоком событий и не привлекая методы имитационного моделирования.

Скачать электронную версию публикации