Inventory model with hyperexponential distribution of demand's batch size.pdf В последние десятилетия к математическим моделям управления запасами проявляют большой интерес. В качестве таковых в работах [1-5] рассматриваются математические модели деятельности фонда социального страхования с релейным управлением капиталом фонда. В [1] исследуются основные характеристики деятельности фонда социального страхования в случае непрерывной скорости поступления денежных средств и экспоненциально распределённых страховых выплат. В [2, 5] рассматриваются и исследуются модели фонда социального страхования при релейном управлении (в [2] также рассмотрено релейно-гистерезисное управление) капиталом такого фонда, когда выплаты по страховым случаям и выплаты на финансирование социальных программ образуют пуассоновские потоки событий с постоянной и переменной интенсивностями соответственно, а величины выплат являются одинаково распределенными независимыми случайными величинами с экспоненциальной функцией распределения. В [3] построена и исследована математическая модель деятельности некоммерческого фонда в случае пуассоновского потока поступающих платежей постоянной интенсивности при экспоненциальном распределении страховых премий и релейного управления капиталом. А в [6] на основе диффузионного приближения исследуется аналогичная [3] модель. В [7] находится выражение для функции скорости выделения средств на социальные программы в диффузионном приближении для процесса изменения капитала фонда в условиях математической модели [1]. В работах [8-11] рассматриваются различные математические модели управления запасами. Например, в [9] предполагается, что продавец приобретает ресурс в фиксированном объеме, который потребляется в течение торговой сессии. Так как спрос не определен, то целью исследования в аналогичных работах, как правило, ставится задача нахождения объема запасов, такого, чтобы спрос был удовлетворен и в конце торговой сессии не оставалось нереализованной продукции. В данной работе исследуется модель, аналогичная [2, 5], в случае, когда объемы запроса на расходование имеют гиперэкспоненциальное распределение. 1. Математическая модель В качестве математической модели управления запасами рассмотрим систему (рис. 1), на вход которой непрерывно поступают некоторые ресурсы с постоянной скоростью v = 1. Обозначим через s(t) объем накопленных ресурсов в системе к моменту времени t. Будем считать, что потребление ресурса осуществляется в случайные моменты времени партиями случайного объема. Моменты потребления образуют пуассоновский поток с кусочно-постоянной интенсивностью x(s), зависящей от значений s(t) = s величин накопленных запасов к моменту времени t поступления заявки на расходование ресурса, здесь 4s) = где S - некоторое пороговое значение уровня запасов s(t). Aj, s < S, (1) X2, s > S, A(s), B(x) S Рис. 1. Система управления запасами v = 1 Будем полагать, что объемы потребления ресурсов имеют гиперэкспоненциальную функцию распределения B(x) =ibk (l - e) k=i v ' n-го порядка с параметрами цк > 0 и bk > 0, причем Е Ьк = 1. k=1 Заметим, что процесс s(t) может принимать отрицательные значения s(t) < 0 и система продолжает функционировать, откладывая исполнение заявки на потребление ресурсов. Условие существования стационарного режима в рассматриваемой системе имеет вид A1b < 1 S, в связи с возрастанием интенсивности потребления объем ресурса будет уменьшаться. В силу (2) величина b может быть представлена следующим образом (5) n bk b =Е-. k=1 Ц k P( s, t) = - Из описания математической модели следует, что случайный процесс s(t) является марковским с непрерывным временем t и непрерывным множеством значений - да < s < да. Обозначим его плотность распределения 8P |s(t) < s} 8s и запишем следующее равенство: да P(s + At, t + At) = P(s, t)(1 - A(s) At) + At J s + x)P(s + x, t)dB(x) + o( At), 0 из которого для стационарного распределения P( s) = lim P( s, t) получим уравнение (6) (7) да P'(s) + A(s)P(s) = J A(s + x)P(s + x)dB(x), 0 решение P(s) которого удовлетворяет краевым условиям P(-да) = P(да) = 0. Отметим, что уравнение (6) является основным при исследовании математических моделей систем управления запасами. Найдем решение P(s) уравнения (6) в явном виде, взяв в качестве функции распределения B(x) объемов партий потребления гиперэкспоненциальную функцию распределения. (2) (3) Обозначив Г Р(s), s < S, p(s)=\ P(: > S (8) IP (s), S > S, можем записать уравнение (7) в виде двух уравнений да Р,' (s) + XР (s) = X J P (s + x)dB(X), s >S , (9) 0 S-s да P1'(s) + V1(s) = X J P1(s + x)dB(x) + X2 J P2(s + x)dB(x), s < S . (10) 0 S-s Найдем решения уравнений (9) и (10), удовлетворяющие краевым условиям р(-да) = 0, Р2(да) = 0. (11) 2. Решение уравнения для P2(s) Решение P2(s), s > S, уравнения (9) будем искать в виде P2(s) = Ce-Y(s-S}, s > S . (12) Подставляя (12) в (9), получим равенство да X2 -у = Х2 Je-yxdB(X), (13) 0 которое является нелинейным уравнением относительно величины у. Очевидно, что уравнение (13) имеет нулевой корень у = 0, но в силу краевого условия (11) Р2(ю) = 0 он является посторонним в рассматриваемой задаче. Нетрудно показать, что при выполнении условия (4) Х2Ь > 1 уравнение (13) кроме нулевого решения имеет единственный положительный корень у > 0 для любой функции распределения B(x), поэтому решением уравнения (9) является функция (12), определяемая с точностью до мультипликативной постоянной C, значение которой найдем ниже. 3. Решение уравнения для P1(s) В силу (12) представим уравнение (10) в виде S-s да р'(s) + X1P1(s) = X J P(s + x)dB(x) + X2Ce-Y(s-S) J e-YXdB(x). (14) 0 S-s Принимая во внимание (2), получим да да n n да n 11 J e~JxdB(x) = J e-YX £ ЬкyLke-^Xdx = £ ЬкMk J e-(^+Y}Xdx = £ bk-^-(Mk+YS-s>, S - s S - s k=1 k=1 S - s k=1 Mk + Y поэтому (14) можем записать следующим образом: Р1' (s) + X1Р1 (s) = X S-sP1 (s + x)dB(x) + X2C £ bk-^Mk(s-S). 0 k=1 Mk + Y Подставляя в это равенство выражение (2) для функции распределения B(x), получим уравнение для P1(s) Р' (s) + X1P1(s) = £bkMk Jx1 Yp(s + x)e-MkXdx + CeMk s e-MkS I. (15) k=1 I 0 Mk +Y I Прежде чем сформулировать теорему о виде функции P1(s), рассмотрим уравнение z + X1 = X , (16) k=1 Mk - z которое нетрудно преобразовать к алгебраическому уравнению степени n + 1, откуда следует, что уравнение (16) имеет n + 1 корней. Достаточно очевидно, что z = 0 является корнем этого уравнения. Для остальных корней z = zv, v = 1, n, уравнения (16) докажем следующее утверждение. A1b < 1 все корни z = zv, v = 1,n, уравнения (16) действительные и положительные. Доказательство. Будем полагать, что значения ц упорядочены по возрастанию, т.е. ц1 < ц2 < .. .< цп. Рассмотрим функцию f (z) = A EEbk , к=1 -k - z совпадающую с правой частью уравнения (16). Так как f'(z)EEbk -k >0, k=1 (-k- z) то в интервале 0 < z < ц1 функция f (z) непрерывна, монотонно возрастает и принимает значения < f (z) < да. При выполнении условия b < 1 на интервале 0 < z < ц1 уравнение (16) имеет по крайней мере один корень z1 > 0. Далее рассмотрим функцию f (z) на интервале цу-1 < z < ц,, где f (z) непрерывна, монотонно возрастает и принимает значения -да < f (z) < да, поэтому уравнение (16) на интервале цу-1 < z < ц также имеет по крайней мере один корень zv > 0. Количество рассматриваемых интервалов равно п, совпадающее с числом положительных корней z = zv, V = 1, п. Лемма доказана. Следствие 1. Корень 0 < z1 < ц1, а для любого v = 2,п, -V-1 < zv < -v. Сформулированное следствие существенно упрощает численное нахождение всех положительных корней уравнения (16). Докажем следующее утверждение. Теорема 1. Решение P1(s) уравнения (15) имеет вид P1(s) = C £xvezv(s-S>, s < S, (17) v=1 где zv - положительные корни уравнения (16), параметры xv распределения (17) являются компонентами вектора X - решения системы линейных алгебраических уравнений AX = h , (18) где элементы Akv матрицы А и компоненты hk вектора h имеют вид A v = - , hk = , (19) -k - zv -k + У (20) h xvezv(s-S} {zv +A1 + A ibk -^l = Е bk-ke-k(s-S} {ЕЕ > =1 I k=1 zv - -k J k=1 |v=1 нормирующая константа C определяется равенством f 1 п xv ^ 1 С = V- v=1 zvy Доказательство. Решение P1(s) уравнения (15) будем искать в виде (17). Подставляя выражение (17) в (15) и выполняя несложные преобразования, получим равенство Е xve^-' { zv + A, + A1 Е bk - \ = Е bk-e^™' { Е xv -^ + ^ v=1 I k=1 zv - -k I k=1 I v=1 zv - -k -k + - J Приравнивая в полученном выражении коэффициенты в линейной комбинации экспонент eZvs к нулю, получим равенства п - zv+^1 + A1 Е bk п =0, v = 1,rn, k=1 zv - -k которые при всех v = 1, п совпадают с (16), следовательно, z = zv являются корнями уравнения (16). 46 Лемма 1. При выполнении условия (4) Аналогично для экспонент e* получим равенства n X , -- 2 *v-- - --, * - 1n , V-1 М* - Zv М* + у которые составляют неоднородную систему линейных алгебраических уравнений относительно xv, совпадающую с системой (18), в которой элементы A*v матрицы А и компоненты h* вектора h определяются равенствами (19). Значение константы C найдем из условия нормировки да S да nS да 1 - J P(s)ds - J P1(s)ds + JP2(s)ds - C2 xV J eZv(s-S)ds + CJe-y(s-S)ds - -да -да S V-1 -да S n о да f n X 1 1 - C 2 xV J eZVXdx + C J e-yxdx - C \ 2- +1L. V-1 -да о I V-1 ZV У I C- Отсюда следует равенство С n XV 1 Л 2-+ - VV-1 ZV У У которое совпадает с (20). Теорема доказана. В силу (17) и (12) распределение P(s) из (8) имеет вид 2 XveZv(s-S), s < S, v-1 (21) e-У(s-S}, s > S, С n x 1 ^ 1 vv-1 ZV У у P( s) - где параметры у и Zv этого распределения являются положительными корнями уравнений (13) и (16), параметры xv являются компонентами вектора X - решения системы линейных алгебраических уравнений (18). Явное выражение (21) для решения P(s) уравнения (6) полностью решает проблему исследования математической модели управления запасами при выполнении указанных ограничений: релейное управление и гиперэкспоненциальное распределение объемов партий потребления ресурсов. 4. Пример Рассмотрим в качестве закона распределения объемов потребления гиперэкспоненциальное распределение третьего порядка B(x) - 2 b* (1 - e-М*Х), k-1 v ' где значения ц* и bk определяются вектор-строками ц и b соответственно: ц = (1 0,4 10), b - (0,2 0,3 0,5), (22) при которых средняя величина объемов потребления b = 1. Для заданных значений параметров X = 0,8 и = 1,2 найдены положительные корни уравнений (13)и(16) у - 0,099; z1 - 0,094; z2 - 0,899; z3 - 9,617. Таким образом, уравнение (13) имеет единственное решение, а уравнение (16) имеет три положительных корня. Оба уравнения имеют нулевые корни, которые, как было показано выше, являются посторонними. Найдем плотность распределения вероятностей значений объема запасов при заданных параметрах (22) и S = 10. Параметры xv, v -1,3, распределения (16), являющиеся компонентами вектора X - решения системы (18) линейных алгебраических уравнений, имеют вид X - 0,945; x2 - 0,036; x - 0,019, а нормирующая константа C = 0,049, тогда имеет место график, представленный на рис. 2. 0,06 0,04 P(s) 0,03 0 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60 s Рис. 2. Плотность распределения вероятностей значений процесса P(s) 0,02 0,01 0,05 Следует отметить, что плотность распределения вероятностей P(s) значений процесса s(t) является непрерывной для всех значений s, что естественно, но также и в точке s = S, что не является очевидным. Заключение В данной работе построена математическая модель системы управления запасами. Получено аналитическое выражение для стационарной плотности распределения значений объема запасов при гиперэкспоненциальном распределении объемов потребления и релейном управлении объемом запасов. Предложенный подход может быть применен к аналогичным задачам при различных распределениях объемов расходования ресурсов.

Скачать электронную версию публикации