Predictive control strategies for investment portfolio subject to constraints and trading costs.pdf Проблема оптимизации и управления инвестиционным портфелем является одной из основных в управлении финансами и представляет большой теоретический и практический интерес. Инвестиционный портфель (ИП) - это набор рисковых и безрисковых финансовых активов, которые инвестор включает в портфель. Рисковыми активами считают финансовые активы со случайной меняющейся доходностью (например, акции, валютные пары). Безрисковыми являются финансовые активы с известной заранее доходностью (государственные обязательства, казначейские векселя, банковские депозиты). Управление ИП осуществляется при помощи перераспределения капитала - купли-продажи различных рисковых и безрисковых активов. Начало современной портфельной теории было положено революционной работой Г. Марковица [2] 1952 г. Результаты Марковица были развиты и дополнены не менее известными работами В. Шарпа [1], Д. Тобина [3, 4], Р. Мертона [5] и других исследователей. Подход Марковица, а также его модификации основаны на предположениях о том, что инвестор стремится либо максимизировать доходность портфеля, минимизировав риск портфеля, либо минимизировать риск портфеля и получить при этом желаемую доходность. Проблема оптимизации структуры портфеля в зависимости от выбора функции риска и способов учета неопределенности сводится к решению задач квадратичного, линейного или стохастического программирования. Практическая реализация большинства существующих на данный момент методов оптимизации портфеля включает два этапа: 1. Оценка параметров модели с использованием исторических данных. 2. Оптимизация портфеля с использованием вместо истинных значений параметров их оценок. Результат оптимизации существенно зависит от точности оценок. Кроме того в большинстве методов, представленных в литературе, отсутствуют ограничения на объемы торговых операций и не учитываются транзакционные издержки. В настоящей работе рассматривается построение и исследование модели динамического управления самофинансируемым инвестиционным портфелем с учетом транзакционных издержек и ограничений на объемы вложений. Кроме того, предполагается, что ставка по безрисковым вложениям отлична от ставки по займам. Задача управления инвестиционным портфелем формулируется как динамическая задача слежения за эталонным портфелем с заданной желаемой доходностью. Управление ИП осуществляется при помощи перераспределения капитала на каждом этапе управления в зависимости от состояния рынка. Для решения задачи управления портфелем используется метод управления с прогнозирующей моделью, который позволяет эффективно учитывать ограничения [6-10]. Рассматриваемая в данной работе модель обладает следующими преимуществами: 1. Возможность учета ограничений на объемы вложений, квадратичные транзакционные издержки. 2. Не требуется каких-либо предположений относительно вероятностных свойств цен финансовых активов. 3. Алгоритм управления не использует статистических методов оценивания параметров модели. 4. Возможность адаптироваться к изменяющимся рыночным условиям путем введения новой информации в процессе управления. Для подтверждения работоспособности модели было проведено численное моделирование на основе реальных данных международного валютного рынка «Forex». 1. Динамическая модель управления инвестиционным портфелем с учетом ограничений Рассмотрим инвестиционный портфель, состоящий из n видов рисковых финансовых активов и одного вида безрискового актива - банковского счета. Капитал, помещенный в рисковый актив i -го вида в момент времени к, равен ui(к), (i=1,n), в безрисковый - ы0(к)>0. Рассматриваемый нами ИП является самофинансируемым, т.е. деньги извне на банковский счет не поступают, а снимаются только с целью вложения в ценные бумаги, входящие в данный ИП, но предполагается, что в случае необходимости инвестор может заимствовать капитал. Объем займа равен Un+i(k) > 0. Тогда общий объем вложений в момент времени к будет равен V(к) = Zu,(к) + U0(k) - Un+1(к). (1) i=1 Пусть Pj (к) - цена i -го рискового актива в момент времени к, ц (к +1) - доходность рискового актива за период [к, к +1], которая вычисляется по формуле цДк+1)=М+1ЪЩ (2) г Pi (к) Динамика изменения ИП имеет следующий вид [6, 7]: V (к +1) = Z [1 + Ц i (к + 1)]u i (к) + [1 + r ]u 0 (к) - [1 + Г2 ]Un+1 (к), (3) i=1 где r1 - ставка доходности безрискового актива; r2 - ставка заимствования, причем r1 < r2 . С учетом n того, что u0 (к) = V (к) - Z ut (к) + un+1 (к), уравнение (3) можно представить в виде i=1 V(к +1) = [1 + r ]V(к) + Z [ц (к +1) - r ]u, (к) - [Г2 - r К+1 (к). (4) i=1 Используя векторно-матричные обозначения, получим V (к +1) = [1 + r ]V (к) + Ь[ц(к +1), к + 1]u (к), (5) где Ь[ц(к +1), к +1] = [ц1 (к) - r1 ... цп (к) - r1 r1 - r2] - вектор доходностей рисковых активов, u (к) = [u1( к) u 2( к) ... un+1(к )]т - вектор управлений. На практике необходимо учитывать ограничения на объемы вложений и займов [6, 7]: ^Г(к) < щ (к) < ur^ )(i = ~n), 0 < V (k) - i Ui (k) + un+i (k) < u 0max, (6) i=1 о < un+i(k) < u„mix(k). Если нижняя граница um"n(k) < 0(i =1, n), то для рискового актива i -го вида допустимо участие в операции «продажа без покрытия» на сумму не больше, чем | u®in(k) |; если u^k)>0(i=1 n), то операции «продажа без покрытия» для рискового актива i -го вида запрещены; u'maK(k)(i = 1 n), определяют максимальный объем капитала, который можно вкладывать в рисковые активы i -го вида; u max (k) > 0 определяет максимальный размер капитала, который можно вкладывать в безрисковый актив; um+X (k) > 0 определяет максимальный размер займа. Стоит отметить, что u®in(k) и u®ax(k) (i = 1, n), на практике часто зависят от величины общего капитала ИП, что можно учесть, положив ur (k) = lV(k), u™3* (k) = PV(k), где y;- и p i являются некоторыми параметрами, задающими так называемое кредитное плечо. Финансовым, или кредитным, плечом для участников маржинальной торговли на валютном рынке «Forex» называют отношение заёмных средств к собственным. Управление портфелем осуществляется путем перераспределения капитала между различными видами инвестиций посредством банковского счета. Стратегия управления портфелем определяется таким образом, чтобы капитал реального управляемого ИП с наименьшими отклонениями следовал траектории эталонного портфеля с желаемой доходностью ц0 > r1, эволюция которого описывается уравнением V 0(k +1) = [1+ ^]V 0(k). (7) В начальный момент времени V0(0) = V(0). Заметим, что V0(k) - величина детерминированная, известна для всех моментов k и ее можно рассматривать как известный параметр. Доходность ц0 задается инвестором исходя из анализа состояния финансового рынка и склонности инвестора к риску. Предположим, что единственным источником информации в момент времени k являются исторические значения доходностей и текущее значение портфеля V(k). В данной работе для получения оптимальной стратегии управления используем метод управления с прогнозирующей моделью. Основная идея управления с прогнозирующей моделью заключается в том, что решается задача оптимизации критерия со скользящим горизонтом в каждый момент времени k: m minu(k/k)...u(k+m-1/k) J(k + m / k) = E{i [V(k + i / k) - V0(k + i)]2 / V(k), r(k),..., r(k - N)} + i=1 m -1 + E i {[u(k + i / k) - (I + Q[r(k + i)])u(k + i - 1/k)]TR(k, i)x (8) i=0 x [u (k + i / k) - (I + Q[r (k + i)])u (k + i - 1/ k)]/ V (k), r (k),..., r (k - N +1)}, где m - горизонт прогнозирования; u(k + i/k) = [u1(k + i/k),...,un(k + i/k)] - вектор прогнозных значений управлений; R(k, i) > 0 - положительно определенная симметричная матрица; V(k + i /k) - предполагаемые значения портфеля; N - количество исторических данных; I - единичная матрица размерности (n +1); Q[r(k + i)] = diag{r1(k + i),r2(k + i),...,rn(k + i),0} - матрица доходностей; E{a/b} - оператор условного математического ожидания. В качестве управления в момент времени k обозначим u(k) = u(k / k). Для получения управлений на следующем (k +1) шаге горизонт управления сдвигается на один шаг и процедура повторяется. Можно отметить, что первое слагаемое в критерии представляет собой квадратичную ошибку и отражает качество слежения, второе слагаемое накладывает штраф, если реальная траектории идет ниже заданной траектории, третье учитывает транзакционные издержки и накладывает штраф на слишком большие транзакции. 2. Синтез стратегий управления с прогнозирующей моделью Критерий (8) можно представить в эквивалентной форме: m J(k + m / k) = E{2 V2(k + i / k) - 2V0 (k + i)V(k + i / k)} + i=1 m-1 T + E{ 2 [u(k + i / k) - (/ + Q[r(k + i)])u(k + i - 1/ k)]T R(k, i) x i=0 (10) x [u(k + i / k) - (I + Q[|(k + i)])u(k + i - 1/ k)]/ V(k), r(k),..., r(k - N +1)}, где исключены слагаемые, не зависящие от управления. Определим прогнозные значения портфеля следующим уравнением: V (k+i / k) = AiV (k)+Ai-1b[0(k)]u(k / k)+Ai-2b[0(k)]u(k+1/ k) + +... + b[0(k)]u(k + i - 1/ k) (i = 1m), где A = 1 + rj, b[9(k)] = [9(k) - enr1...9(k) - enr1 r1 - r2], 9(k) = a1 r(k) + a 2r(k - 1) +... + aNr(k - N +1), Oj, a2,...,aN - некоторые параметры. Параметры Oj,a2,...,aN являются настраиваемыми и определяются таким образом, чтобы достичь наилучших результатов при управлении. Стоит отметить, что никаких предположений относительно параметров мы не делаем. Заметим, что (5) определяет реальные значения ИП, а уравнение (10) определяет предсказанные значения портфеля. Таким образом, в отличие от других известных моделей в данной работе не прогнозируются будущие значения доходностей, а предсказываются будущие значения портфеля в целом. Прогнозное значение критерия (9) представим в следующем виде: m K (k + m / k) = 2 {V 2(k + i / k) - 2V 0(k + i / k )V (k + i / k)} + i=1 m-1 +2{[u (k + i / k) - (I + Q[0(k )])u (k + i - 1/ k )]T R (k, i)[u (k + i / k) - (I + Q[0(k )])u (k + i - 1/ k)]} + (11) i=1 +[u(k / k) - (I+Q[r|(k )])u(k-1 / k)]T R(k,0)[u(k / k)-(I+Qh(k)])u(k-1/ k)], где Q[0(k)] = diag{01(k), 02(k),..., 0n (k),0},(i = 1, m - 1), 0;- - компоненты вектора 0. Заметим, что при i = 0 Q[0(k)] = Q[r(k)]. Введем следующие обозначения: X (k +1) = " V (k +1/k)" V (k + 2/k) , ®[0(k)] = " b[0(k)] Ab[0(k)] 01xn+1 . b[0(k)] . . 01xn+1 . °1xn+1 , T = " A ' A 2 V (k + m / k) Am-1b[0(k)] Am-2b[0(k)] . . b[0(k)]_ Am A1(k + 1) = 2[V0(k + 1) V0(k + 2) u(k) u(k +1) V 0(k+m)]. U (k) = u(k + m - 1) Тогда критерий (11) можно представить в следующем виде: (12) K (k+m / k) = XT (k +1) X(k +1)-A1(k +1) X(k+1) + +UT (k)R(k )U(k)-2u(k / k)T R(k,0)(I+Q[r(k)])u(k-1) + + u T (k-1)(I + Q[|(k)])R(k,0)(I + Q[r(k)])u(k-1), где R;7(k) = R(k,f) + R(k,f + 1)(I + 2Q[0(k)]) + Q[0(k)]TR(k,t + 1)Q[0(k)] (t = 0,^2), Rm,m (k) = R(k, m - 1), Rf+1,f (k) = Rt,t+1 (k) = - R(k, t + 1)(I + Q[0(k)]) (t = 0, m - 1). Используя X (k +1) = " V (k) + Ф[9(к )]U (k), представим (12) в виде K(k + m / k) = V2 (k)""T"" + [2V(k)""T - A1(k + 1)]Ф[0(k)]U(k) + +UT (k)ФT [0(k)]Ф [0(k)]U (k) + UT (k)R(k, i)U(k), где не учитываются слагаемые, которые не зависят от управления - u (k + i / k). Критерий (13) можно записать в следующем виде: K(k + m /k) = [2V(k)G(k) - F(k)]U(k) + U T (k)[H(k) + R(k)]U(k), где H (k ),G(k), F (k) - блочные матрицы вида H(k) = [Ht J (k)], G(k) = [Gt (k)], F(k) = [Ft (k)], t, f = 1m, (14) (15) H(k) = Ф'^^^Ф [0(k)], G(k) = "T Ф[0(k)], F(k) = A1(k + 1)Ф[0^)] + L(k), L(k) = [-2u(k-1)(/ + 0h(k)])T R(k,0) 01^(и+1) ... 0 Управление осуществляется при следующих ограничениях: Umin (k) < SU(k)< Umax(k), ]. 1x(n+1) т где Umin (k) = [Umin(k), 0n+ 2x1 , ..., 0n+ 2x1]T , Umax(k) = [U,Lx(k), 0n+ 2x1,..., 0n+2x1 ] Umin (k) = min u1 (k) " umax(k) " " 1 0 .. .0 0 " min u 2 (k) u max(k) 0 1 .. .0 0 umin(k) , Umax (k) = umax(k) , S = -1 -1 .. . -1 -1 - V (k) u0max(k) - V (k) 0 0 .. .0 1 0 max _ un+1 (k) _ S = diag{S,0и+2x5+l,...,0и+2x5+l}, где 0( n+2) x (n+1) - нулевая матрица размерности (n + 2) x (n + 1)(m -1). Оптимальная стратегия прогнозирующего управления, минимизирующая критерий (12), определяется уравнением u(k) = [/n+1 0n+1 ... 0n+1]U (k), (16) где /n+1 - единичная матрица размерности (n +1), 0n+1 - нулевая матрица размерности (n +1). 3. Численное моделирование с использованием реальных данных международного валютного рынка «Forex» Для подтверждения работоспособности представленной модели было проведено численное моделирование на основе реальных данных международного валютного рынка «Forex». Для моделирования использовались данные котировок шести видов валютных пар: USDJPY (доллар - йена), USDDEM (доллар - немецкая марка), EURJPY (евро - йена), EURUSD (евро - доллар), GBPUSD (фунт-доллар), CHFJPY (франк - йена), в период с 16.02.2001 г. - 13.11.2003 г., всего 1000 торговых дней, и один вид безрискового актива - банковский вклад с доходностью г1 = 0,015%. Также нам доступна услуга кредитования со ставкой по займу r2 = 0,03%. При моделировании предполагалось, что а1 = а2 =... = aN = а . Поэтому параметр 0(k) определялся следующим образом: N 0(k) = a£n(k -1 +1). t=1 Рассматриваемый ИП состоял из шести валютных пар; период «скользящего окна» N = 10; параметр а = 0,5; размер кредитных плеч у t =Рг- = 2; желаемая доходность ц0 = 0,0015. Результаты моделирования представлены на рис. 1-3. На рис. 1 представлена динамика капитала управляемого ИП относительно эталонной траектории. На рис. 2 показана динамика вложений в валютную пару EURUSD. На рис. 3 представлена доходность валютной пары EURUSD. Рис. 2. Динамика вложений в валютную пару EURUSD 5-1-1-1-1-1-1-1-1-г q 5_I_I_I_I_I_I_I_I_I_ 0 100 200 300 400 500 600 700 SOO 900 1000 к Рис. 1. Динамика капитала, управляемого ИП относительно эталонной траектории: 1 - эталонная траектория; 2 - динамика капитала управляемого ИП 10 О 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 к 0.025 0.02 0.015 0.01 0.005 0 -0.005 -0.01 -0.015 h -0.02 - -0.025 -1-1-1-1-"-I 0 200 400 600 800 1000 к Рис. 3. Динамика доходности валютной пары EURUSD Заключение В данной работе рассмотрена задача оптимизации инвестиционного портфеля с учетом транзак-ционных издержек, ограничений на объемы вложений в финансовые активы и различия ставок на вложения и заем. Получена стратегия управления с обратной связью с использованием метода управления с прогнозирующей моделью. Результаты численного моделирования, проведенные на основе реальных данных международного валютного рынка «Forex», подтверждают работоспособность, эффективность предложенной модели и возможность ее реального применения.

Скачать электронную версию публикации