Maximum likelihood estimation of unextendable dead time period duration in the modulated semi-synchronous generalized fl.pdf Условия функционирования реальных систем массового обслуживания таковы, что если в отношении параметров обслуживающих устройств, как правило, можно утверждать, что они известны и с течением времени не меняются, то в отношении интенсивностей входящих потоков этого сказать во многих случаях нельзя. Более того, интенсивности входящих потоков заявок обычно меняются со временем; часто эти изменения носят случайный характер, что приводит к рассмотрению математических моделей дважды стохастических потоков событий (DSPPs) [1-9]. Интерес к рассмотрению дважды стохастических потоков событий проявляется неслучайно. Все это находит широкое применение в различных отраслях науки и техники, таких как теория сетей, P2P^ra и адаптивное вещание видео, системы оптической связи, статистическое моделирование, финансовая математика и др. [10-16]. Как было отмечено выше, в реальных ситуациях параметры, задающие входящий поток событий, известны либо частично, либо вообще неизвестны, либо, что еще более ухудшает ситуацию, изменяются со временем случайным образом. Поэтому при реализации адаптивного управления системой массового обслуживания возникают, в частности, следующие задачи: 1) задача фильтрации интенсивности потока (или задача оценивания состояний потока по наблюдениям за моментами наступления событий) [17-26]; 2) задача оценивания параметров потока по наблюдениям за моментами наступления событий [27-33]. Одним из искажающих факторов при оценке состояний и параметров потока выступает мертвое время регистрирующих приборов. Необходимость рассмотрения случая мертвого времени вызвана тем, что на практике любое регистрирующее устройство затрачивает на измерение и регистрацию события некоторое конечное время, в течение которого оно не способно правильно обработать следующее событие, т.е. событие, поступившее на обслуживающий прибор, порождает период так называемого мертвого времени [34-42], в течение которого другие наступившие события потока недоступны наблюдению (теряются). Можно считать, что этот период продолжается некоторое фиксированное время (непродле-вающееся мертвое время). В частности, подобные ситуации встречаются в компьютерных сетях, например, при использовании протокола случайного множественного доступа с обнаружением конфликта (протокол CSMA/CD). В момент регистрации (обнаружения) конфликта на входе некоторого узла сети по сети рассылается сигнал «заглушки»; в течение времени рассылки сигнала «заглушки» заявки, поступившие в данный узел сети, получают отказ в обслуживании и направляются в источник повторных вызовов. Здесь время, в течение которого узел сети закрыт для обслуживания заявок, поступающих в него после обнаружения конфликта, можно трактовать как мертвое время прибора, регистрирующего конфликт в узле сети. В настоящей работе рассматривается модулированный обобщенный полусинхронный поток событий, являющийся обобщением полусинхронного потока [43-46] и обобщенного полусинхронного потока событий [47-49] и относящийся к классу дважды стохастических потоков событий с кусочно-постоянной интенсивностью. Достаточно обширная литература по исследованию подобных потоков событий (асинхронных, синхронных и полусинхронных) приведена в [21, 22, 50, 51], при этом в [50] показано, что данные потоки могут быть представлены в виде моделей MAP-потоков событий. Настоящая статья является непосредственным развитием работ [51-55], где решается задача нахождения совместной плотности вероятности длительности интервалов модулированного обобщенного полусинхронного потока событий при непродлевающемся мертвом времени. В данном исследовании приводятся аналитические результаты по нахождению оценки максимального правдоподобия длительности мертвого времени в модулированном обобщенном полусинхронном потоке событий по наблюдениям за моментами наступления событий в потоке. 1. Постановка задачи Рассматривается модулированный обобщенный полусинхронный поток событий (далее - поток или поток событий), интенсивность которого является кусочно-постоянным стационарным случайным процессом X(t) с двумя состояниями X1 и X2 (Xj > X2 > 0). Будем говорить, что имеет место первое состояние процесса (потока), если X(t) = X1, и второе состояние процесса (потока), если X(t) = X 2. В течение временного интервала случайной длительности, когда процесс X(t) находится в состоянии Xi (X(t) = Xi), имеет место пуассоновский поток событий с интенсивностью Xi, i = 1,2. Переход из первого состояния процесса X(t) во второе возможен в момент наступления события пуассоновского потока интенсивности X1, при этом переход осуществляется с вероятностью р (0 < p < 1); с вероятностью 1 - р процесс X(t) остается в первом состоянии. Переход из первого состояния процесса X(t) во второе также возможен в произвольный момент времени, не совпадающий с моментом наступления события, при этом длительность пребывания процесса X(t) в первом состоянии распределена по экспоненциальному закону с параметром р: F(т) = 1 - e-рт, т > 0 . Тогда длительность пребывания процесса X(t) в первом состоянии есть случайная величина с экспоненциальной функцией распределения Fj(t) = 1 - e-(pXl+р)т, т > 0 . Переход из второго состояния процесса X(t) в первое в момент наступления события пуассоновского потока интенсивности X 2 невозможен и может осуществляться только в произвольный момент времени. При этом длительность пребывания процесса X(t) во втором состоянии распределена по экспоненциальному закону с параметром а : F2(t) = 1 - e-ат, т > 0 . В момент окончания второго состояния процесса X(t) при его переходе из второго состояния в первое инициируется с вероятностью 5 (0 < 5 < 1) дополнительное событие. Отметим, что события пуассоновских потоков и дополнительные события неразличимы для наблюдателя. В сделанных предпосылках X(t) - скрытый марковский процесс. При этом матрицы инфинитезимальных характеристик принимают вид -(( +Р) Р а(1 - 5) - (X2 + а) (1 - p)X1 pX1 а5 X 2 D0 = А = Элементами матрицы Dj являются интенсивности переходов процесса X(t) из состояния в состояние с наступлением события. Недиагональные элементы матрицы D0 - это интенсивности переходов из состояния в состояние без наступления события. Диагональные элементы матрицы D0 - это интенсивности выхода процесса X(t) из своих состояний, взятые с противоположным знаком. Отметим, что если р = 0 , то имеет место обобщенный полусинхронный поток событий [47-49]. После каждого зарегистрированного в момент времени tk события наступает период мертвого времени фиксированной длительности T , в течение которого другие события потока недоступны наблюдению. По окончании периода мертвого времени первое наступившее событие снова создает период мертвого времени длительности T и т.д. (непродлевающееся мертвое время). Вариант возникающей ситуации приведен на рис.1, где 1, 2 - состояния процесса X(t); дополнительные события, которые могут наступать при переходе процесса X(t) из второго состояния в первое, помечены буквами 5; периоды мертвого времени длительности T помечены штриховкой; ненаблюдаемые события отображены черными кружками, наблюдаемые tb t2,... - белыми. Рассматривается установившийся (стационарный) режим функционирования потока событий, поэтому переходными процессами на полуинтервале наблюдения (t0, t], где 10 - начало наблюдений, t -окончание наблюдений (момент вынесения решения), пренебрегаем. Тогда без потери общности можно положить 10 = 0 . Поскольку процесс X(t) является принципиально ненаблюдаемым, то говорить о состоянии потока можно только в вероятностном смысле. Вся доступная информация о потоке - это моменты наступления событий t1,t2,...,tk с начала наблюдения 10 до момента t. Рис. 1. Формирование наблюдаемого потока событий Параметры потока Л,1 > А, 2 > 0, 0 < p < 1, р> 0, а> 0, 0 0 ). Так как рассматривается стационарный режим, то плотность вероятности значений длительности к-го интервала есть Pt (тк) = Pt (т), т > 0 , для любого к (индекс T подчеркивает, что плотность вероятности зависит от длительности мертвого времени). В силу этого момент времени tk без потери общности можно положить равным нулю, т.е. момент наступления события есть т = 0 . Тогда одномерная плотность вероятности Pt(т), т > 0 , примет вид [51, 55]: 0, 0 0, - последовательность измеренных в результате наблюдения за потоком в течение интервала наблюдения (0, t] значений длительностей интервалов между соседними событиями потока. Упорядочим величины i- , •.., iк по возрастанию: Imin = i(1) 0, a> 0, 0 < 5 < 1 известны, то согласно методу максимального правдоподобия ее реализация есть решение оптимизационной задачи L(T 11(1),...,I(k)) = ППРт(i(j)) ^ max, 0 < T < Imin, Imin > 0, (2) j=1 где pT(i( 1)) определена в (1) для i = I(j). Значение T , при котором функция правдоподобия (2) достигает своего глобального максимума, есть оценка T длительности мертвого времени. 3. Решение оптимизационной задачи (2) Произведем переобозначение: im = Imin. В силу того что функция правдоподобия (2) отличается от нуля при 0 < T < im , положим pT (i(j)) = 0, j = 2,к , при T > im (im > 0). В дальнейшем изложенная ситуация, когда принимается im = 0, означает доопределение изучаемых функций в граничной точке. Перейдем к исследованию pT (im) как функции переменной T (0 < T < im). Отметим, что pT (im) > 0, так как pT (im) есть одномерная плотность вероятности. Исследуем производную p'T (im) по T функции pT (im). Имеем PT (Im ) =7- ' P \ {Z'g"Z1lm [Z1Z2 (P1 +P2 )-fT) - f '(T)] e-zT - Z2e-z2lm [ Z1Z2 (P1 +P2 )- (Z2 - Z1 )p1 +p2 г (3) 2f (T) - f '(T)] e -Z2T }, f '(T) = -a^ - Я2 - a5)(p1 + P2 fe {(рЯ^ + P)[A.1 (1 - p + p5) - Я2 + 5p]- , 0 < T < i„ -z2„ v , -(P1+ P2 )t F 2(T) где f (T), F(T) определены в (1); f '(T) - производная функции f (T) по T . Лемма 1. Производная p'T (im) является положительной функцией переменной im при T = 0, 0 0), то p'T=0(тm) можно рассматривать как функцию переменной Tm . Подставляя T = 0 в (3) и проделывая необходимые преобразования, получаем C PT=0 (Tm ) = (4) [[-Z^e^" - Zi(C - Z2A)e-ZlTm ], Tm > 0, A2(Z2 - Z1) C = ^[(l- p + p5) + 5p]+(X2 + a5)[X2(pX1 +P) + p^1a] = -z1z2(pi +P2)+(z1 + z2)A > 0 , A = Я1а + (pX1 + P)(X2 + a5) = z1z2 - q > 0 . Рассмотрим на предмет существования корней уравнение pT=0(Tm) = 0, которое с учетом (4) преобразуется к виду Z1( Z2 A - C) Z2(Z1A - C) - Z2 - ZlK (5) B = e B = Из (4) находим PT=0(Tm = 0) = (C / A)2 > 0, lim pT=0(Tm) = ±0 . (6) т... ^да Подставляя в (5) выражения для Zi, Z2 , определенные в (i), получаем ■2A + ( +P2)(Zi + Z2) + ( +P2)(Xi -X2 -a + P)2 + 4aP(1 -5) 2 z Bl B2 B = - 2 z 2 -2A + (31 +P2)(z1 + z2)-(31 +P2)(X1 -X2 -a+P)2 + 4aP(1 -5) Тогда имеем -2A + ( +P2)( + X2 + a + P)+(P1 +P2)(X1 -X2 - a + P)2 + 4aP(1 - 5) > z12[- 2A + + ( +P2)X1 +X2 + a + P)+ (P1 +P2)(X1 -X2 -a + P)2 > 2z12[pX1a(1 -5) + aP(2-5)]> 0 вне зависимости от знака выражения X1 -X 2 -a+P (X1 -X 2 -a + P> 0, X1 -X 2 -a+P = 0, X1 - X2 - a + P < 0 ). Для выражения (5) имеем два варианта: 1) B1 = z1(z2A-C) > 0; B2 = z2(z1A -C) > 0 . Тогда B > 0 и разность B1 -B2 = C(z2 - z1) > 0 . Следовательно, B1 > B2 и B > 1. Тогда уравнение (5) решения не имеет, следовательно, pT=0(Tm) > 0, Tm > 0, так как в силу (6) pT=0(Tm = 0) > 0, при этом lim pT=0(Tm) = +0 ; Tm 2) B1 = z1(z2A - C) > 0; B2 = z2(z1 A - C) < 0 . Тогда B < 0 и уравнение (5) решения не имеет, следовательно, pT=0(Tm) > 0, Tm > 0, аналогично варианту 1. Осталось рассмотреть особый случай z1 A - C = 0 . Подставляя z1 A - C = 0 в (4), получаем PT=0(Tm ) =■ B1 Z12 C (z2A - C)z1e-Z1Tm > 0, Tm > 0, -^ Z2 так как B1= z1 (z2A - C) > 0 всегда и, следовательно, z2A - C > 0 всегда. Таким образом, если z2 (z1A - C) > 0 либо z2 (z1A - C) < 0 , то pT=0 (Tm) > 0, Tm > 0. Лемма 1 доказана. Замечание 1. q > q1 всегда. Доказательство. В лемме 1 показано, что z2A - C > 0 всегда. Можно показать, что z2A - C = z1(q - q1), следовательно, q > q1 всегда. Лемма 2. Производная p'T (Tm) строго больше нуля при T = Tm, 0 < Tm 0). Доказательство. Подставляя T = Tm в (3), получаем V(Tm ) = C + (z1 + Z2 )q[ -(P1+P2 1 -(P1+P2 P'(Tm) = P't=T. (Tm) = iC + 9(q)V(Tm )- (7) - e F2(Tm) P1 +P2 ф(

Скачать электронную версию публикации