Collective annuity estimation of joint-life status.pdf Рассмотрим случай коллективного страхования жизни, для которого полезной абстракцией является понятие статуса [1-5]. Пусть m индивидуумов с возрастами (Х1,...,xm) желают заключить страховой договор. В соответствии с обозначениями актуарной математики [1-3] пусть случайная величина X - продолжительность жизни, T(xk ) = X - xk - остаточное время жизни k-го индивидуума. Совокупности m чисел T(x1),...,T(xm) поставим в соответствие статус U со своей продолжительностью жизни T (U). Двумя самыми распространенными статусами являются статус совместной жизни и статус выживания последнего. Статус выживания последнего обозначается U := х1 :...: xm и считается разрушенным, если все представители коллектива умерли, т.е. T (U) = max (T (хД..., T (Xm)). Статус совместной жизни обозначается U := х1 :...: xm и считается разрушенным, если наступила смерть хотя бы одного из индивидуумов, т.е. T (U) = min (T (x),...,T (Xm)). Именно для этого статуса определим современную стоимость непрерывной временной пожизненной ренты. Понятно, что P {T(U) > t} = P {min (T(X1),...,T(Xm ))> t} = P {TX) > t,...,T(Xm ) > t}, m и в предложении независимости смертей P {T(U) > t} = ^ tpx , где tpx = P{X > х +1} - одно из общеi=1 ' принятых обозначений актуарной математики. По аналогии со случаем индивидуального страхования [6-8] определим ренту через нетто-премию: axi...::xm ="2 (1 - Ax1:...:xm ) (1) где 5 - процентная ставка, A х - нетто-премия статуса совместной жизни, определяемая формулой да A::...:Xm =! e-5%:...:Xm №, (2) 0 в которой плотность распределения статуса совместной жизни " S (X1 + t) S (Xm + t)" fX,.,Xm (t) = - [~P[mm(T(X1),...,T(Xm)) > t}] = - S(X1) S(Xm ) = mS(x1 +1) d ( S(Xi +1)^ S(Xm +1) =^S(x1 +1) f(Xi +1) S(Xm +1) i=1 S(X1) dt [ S(X,) J S(Xm ) i=1 S(X1) S(xt) S(Xm ) = 1V )-fx(t(t). 1=1 Здесь Sx (t) = S(X +1) и fx (t) - соответственно функция выживания и плотность распределения случай- S (x) ной величины Т(х). 1. Рента статуса совместной жизни двух индивидуумов для модели де Муавра Для простоты рассмотрим статус совместной жизни двух индивидуумов U := x1: x2, для которого ( Ю Л > fx,:X2(t) = fx. (О Sx1(t) + fxz(t )Sxi(t). T(U) = min (T(x1), T(x2)), a^ = . 1 -J e^fx.^)* Отсюда имеем V о 1 -J e-5t [ fx.(t) Sxi(t) + fXi(t) Sxi(t) ] dt (3) ^ = 5 V о Найдем ренту статуса совместной жизни для модели де Муавра, которая ввиду простоты часто используется в качестве учебного примера. Введем обозначение It(a,b) = {1,t e (a,b);0,t

Скачать электронную версию публикации