Ruin probability of an insurance company with hyperexponential distribution of insurance premiums and insurance payments.pdf Стандартной задачей актуарной математики является задача вычисления вероятности разорения страховой компании, т.е. вероятности ситуации, когда страховая компания не может исполнять свои финансовые обязательства ввиду отсутствия денежных средств при различных предположениях о потоках, поступающих в компанию страховых премий и страховых выплат, производимых страховой компанией [1-3]. Сложность состоит, как правило, в нахождении явных решений соответствующих систем интегро-дифференциальных уравнений. Поэтому представляет интерес определение явного вида для вероятности разорения для какого-то достаточно широкого класса распределений страховых премий и страховых выплат. В настоящей работе находятся вероятности разорения и среднее условное время до разорения для некоторых стандартных моделей деятельности страховой компании в предположении, что страховые премии и страховые выплаты имеют гиперэкспоненциальное распределение. Аналогичная идея используется, например, в задачах управления запасами, где считается, что объемы потребляемых ресурсов имеют гиперэкспоненциальное распределение [4]. 1. Модель Крамера-Лундберга Простейшей моделью деятельности страховой компании является модель Крамера-Лундберга, которая строится при следующих предположениях [1-3]: процесс поступления страховых премий в компанию считается детерминированным, за время t приращение капитала компании равно Ct, где C - количество средств, поступивших в компанию за единицу времени; страховые выплаты - независимые, одинаково распределенные случайные величины с плотностью распределения x) и средним значением a ; моменты наступления страховых выплат образуют пуассоновский поток интенсивности X . Поток страховых выплат не зависит от поступления страховых премий. Пусть в момент времени t капитал компании равен S(t). Определим T = minjt :S(t) < 0} и T = да, если S(t) > 0 Vt. Случайная величина T - момент разорения. Тогда вероятность предельного разорения страховой компании при условии, что ее капитал в начальный момент равен S: P(S) = Pr {T < да}. (1) Как показано, например, в [1-3], вероятность разорения P(S) удовлетворяет интегро-дифференциальному уравнению S да CP (S) = XP(S) - X j P(S - x)^( x)dx - xjV( x)dx (2) 0S с очевидным граничным условием Р(+да) = 0. Для существования решения необходимо выполнение условия C = (1 + 9)Xa, (3) где 9> 0 - нагрузка страховой премии. В принципе, для нахождения решения уравнения (2) можно применить преобразование Лапласа. Сложность состоит в нахождении обратного преобразования. Будем теперь предполагать, что страховые выплаты имеют гиперэкспоненциальное распределение n -го порядка У (S) = ]ГЛк a ke~a"s (4) k =1 с параметрами ak > 0, Лк > 0, причем I Лк = 1. (5) k k=1 Среднее значение величины страховой выплаты в этом случае будет равно . Л a к=1 a к = 1^. (6) a Распределение (4) в нашей задаче можно интерпретировать следующим образом. Имеется всего n различных типов страхования. При наступлении страхового случая страховая выплата с вероятностью Лк соответствует k-му типу страхового договора и имеет плотность распределения ake-ak. В силу линейной независимости функций e-ak распределение (4) можно использовать при подходящем выборе параметров для аппроксимации произвольного монотонного распределения ^(S). При n = 2 уравнение (2) с плотностью распределения (4) решалось в работе [1]. Учитывая граничное условие Р(+да) = 0, уравнение (2) можно переписать в виде S да да да CP(S) = xJP(S - x)jV(y)dydx + XJ jV(y)dydx. (7) 0 x S x Решение уравнения (7) будем искать в виде P(S) = 1^ ~1]S, (8) j=1 где параметры у, > 0, P подлежат определению. Подставляя выражение (8) в уравнение (7) и прирав нивая коэффициенты при линейно независимых функциях e a"S и e 1]S, получим, что выражение (8) есть решение уравнения (7), если выполняются следующие условия: C - XI-^ = 0, (9) k=1 ak -У j n 1 1 l-i- Pj =aL. (10) j=1 ak - 7/ ak Таким образом, величины у j должны быть положительными корнями алгебраического уравнения f (z) = C- хЦ -Л-- = 0. (11) k=1 a k- z Покажем, что уравнение (11) имеет ровно n различных положительных корней. Будем считать, что n Л a1 < a2 0. Во-вторых, f '(0) = - XI -j < 0. Таким обk =1 ak разом, в окрестности точки z = 0 функция f (z) монотонно убывает. При z ^a1 - 0 функция f (z) да. Следовательно, на отрезке (0, a1) уравнение (11) имеет корень у1. Далее, при z ^a1 +0 f(z)^+да, при z^a2- 0 f(z)да. На отрезке (a1,a2) функция f(z) непрерывна. Следовательно, на отрезке (a1,a2) уравнение (11) имеет корень у2. Перебирая остальные отрезки (a;,ai+1), убеждаемся, что уравнение (11) имеет ровно n различных положительных корней. Коэффициенты Pj должны являться решением системы уравнений (11). Определитель матрицы системы |(ak -у^)-1 J есть определитель Коши [5], равный П (ak -aj)(ij -ik) -. (12) n n ^ ' A = det a k -l j ПП(а k-l j) k=i j=i Поэтому система уравнений (10) имеет, причем единственное, решение. Покажем, что решение системы (10) положительно. Пусть система решается по формулам Крамера [5]. Тогда A - P =_m m = 1 n 1 m a ' ' ' где определитель Am получается из определителя A заменой его m-го столбца на столбец из свободных членов уравнений (10). Рассмотрим вначале определитель A (12). Так как при 7 /Л /Л /-,„4 П(П - 1) k < j ak - a < 0, у -уk > 0, то в числителе выражения (12) стоит произведение из - отрица- 2 тельных сомножителей. Так как уj 0. Определитель Am вычисляется по формуле (12) при уm = 0. Поэтому как в числителе, так и в знаменателе выражения (12) добавится m -1 отрицательный сомножитель и, следовательно, Am > 0 . Второй характеристикой, позволяющей анализировать перспективы страховой компании, является среднее время до разорения t(S) при условии, что разорение произошло и начальный капитал компании равен S. Как показано в [3], среднее условное время t(S) определяется соотношением t (S) = , (13) P( s) где функция T (S) удовлетворяет интегро-дифференциальному уравнению s CT (S) = XT (S) - X j T (S - x)¥( x) dx - P( S) (14) 0 с граничным условием T (+да) = 0. Учитывая граничное условие, уравнение (14) можно переписать в виде S да да CT(S) = XjT(S - x)jV(y)dydx + J P(y)dy. (15) 0 x S В нашем случае функции ^(S) и P(S) определяются соотношениями (4) и (8) соответственно, поэтому решение уравнения (15) будем искать в виде T (S) = У (Uj + VjS)e-/jS. (16) j=1 Подставляя выражения (4), (8) и (16) в уравнение (15) и приравнивая коэффициенты при e-aS, e 1]S и Se 1]S и учитывая (9), получим, что коэффициенты U и Vj должны удовлетворять соотношениям P, V■ =-j-, (17) j » A Ху' Sm^ у a1!" uj =£«т-77 Vj. (18) j=1 ak у j j=1 (ak у j) 2. Модель Крамера-Лундберга со стохастическими премиями Второй достаточно хорошо известной моделью страхования является модель Крамера-Лундберга со стохастическими премиями [6, 7]. В этом случае предполагается, что поток страховых премий, поступающих в компанию, является пуассоновским с интенсивностью X, премии - независимые, одинаково распределенные случайные величины с плотностью распределения Ф(x) и средним значением a . Страховые выплаты также образуют пуассоновский поток с интенсивностью ц, выплаты - независимые, одинаково распределенные случайные величины с плотностью распределения ^(x) и средним значением b. Поток страховых выплат не зависит от потока страховых премий. Как показано в [6, 7], в этом случае вероятность разорения (1) определяется уравнением S да (X + ц) P(S) = X j™ P(S + x )Ф( x) dx + P( S - x)¥( x )dx + x )dx (19) 0 S с граничным условием Р(+да) = 0. Для существования решения уравнения необходимо выполнение условия Xa = (1 + 0) цЬ, (20) где 0 > 0 - нагрузка страховой премии. Получим решение уравнения (19) в предположении, что распределения страховых премий и выплат являются гиперэкспоненциальными: m n Ф(й) = £ Лк ake--kS, W( S) = £ Bk Pke-PkS. (21) к=1 к=1 Решение уравнения (19) будем искать в виде P(S) = ££jPje-J'S. (22) j =1 Подставляя выражения (22) и (21) в уравнение (19) и приравнивая коэффициенты при линейно независимых функциях e-PkS и e 1 ]S , получим, что выражение (22) есть решение уравнения (19), если выполняются условия х + ц-х£ -ц£ ML. = 0, (23) -к +ij Pk-ij n 1 1 P =P1 (24) м pk -1j j pk Таким образом, величины 1 j должны быть положительными корнями алгебраического уравнения f (z) = X£ -k-- + ц£ Bb- -X-ц = 0. (25) k=1 - k + Z k=1 pk - Z Покажем, что уравнение (25) имеет ровно n различных положительных и m -1 различных отрицательных корней. Имеем, во-первых, что f (0) = 0, во-вторых, f '(0) = -Xa + цЬ < 0. Значит, в окрестности точки z = 0 f (z) = -(Xa -цЬ) z + o(z). Функция f (z) непрерывна на [0, P1) и при z ^P1 - 0 f (z) . Поэтому на отрезке [0, P1) уравнение (25) имеет корень 11. Далее, функция f (z) непрерывна на (P1, P2). При z ^ P1 + 0 f (z) ^ -да, при z ^ P2 - 0 f (z) ^ +да. Поэтому на отрезке (P1,P2) уравнение (25) имеет корень 12. Аналогично устанавливается наличие остальных n - 2 положительных и m -1 различных отрицательных корней уравнения. Так как уравнение (24) по форме совпадает с уравнением (10), то решение уравнения (24) положительно. Среднее условное время до разорения t(S) для данной модели определится соотношением (13), где теперь функция T (S) является решением уравнения [6]: да S (X + ц)Т (S) = X j T (x - S )dx + ц j T (x)¥( S - x)dx + P( S) (26) 0 S с граничным условием T (+да) = 0. Решение уравнения (26) будем опять искать в виде T (S) = £ (Uj + VjS)e-JjS, (27) j=1 где показатели степеней у j удовлетворяют соотношениям (23). Подставляя соотношения (27), (21) и (22) в уравнение (26), получим систему соотношений на коэффициенты U. и Vj P, V. =-j-, (28) j Xf Aka k + + у j )2 ^k=1(Pk -У. )2 n 1 n V Uj = 1 . (29) j=1 Pk -Уj j=i(Pk -У j) Аналогично вышеизложенному могут быть найдены вероятность разорения и среднее условное время до разорения для модели Крамера-Лундберга со стохастическими премиями и постоянными не страховыми расходами [8]. 3. Модель Крамера-Лундберга c ММР потоком страховых выплат Одним из возможных обобщений модели Крамера-Лундберга является допущение того, что интенсивность потока страховых выплат или скорость поступления страховых премий могут скачкообразно изменяться в случайные моменты времени. Такие модели были рассмотрены, например, в работах [9-12]. В настоящей работе будем считать, что интенсивность потока страховых выплат X(t) является однородной цепью Маркова с непрерывным временем и двумя состояниями X1 и X2. Переход из состояния в состояние задается матрицей инфинитезимальных характеристик "-P1 P1 _ P2 -P2 где P1, P2 > 0. Тогда финальные вероятности состояний X1 и X2 равны соответственно я1 =-L я2 = -^ (31) 1 P1 +P2 2 P1 +P2 и средняя интенсивность потока страховых выплат в стационарном режиме X0 = Х1тс1 + X2 я2. (32) Страховые выплаты - независимые одинаково распределенные случайные величины с плотностью распределения ¥(x) и средним значением a . Наконец, будем считать, что страховые премии поступают непрерывно во времени с постоянной скоростью C. Для нормального функционирования страховой компании необходимо выполнение условия [11]: C = (1 + 0) X0a, (33) где 0 > 0. При 0< 0 компания разоряется. Обозначим, как и ранее, через Т момент разорения страховой компании, и пусть P(S) = Pr{T

Скачать электронную версию публикации