Queuing system with renewal arrival process and two type of customers.pdf Общие выгоды от связи между математической теорией и ее практическим применением в теории массового обслуживания (ТМО) прослеживаются особенно хорошо. В начале ХХ в. А.К. Эрланг [1] заложил фундамент стохастических моделей для анализа эффективности технических систем. Первоначальная область применения ТМО для анализа телефонных систем вскоре была увеличена путем применения в ремонте машин, контроле запасов и позже конструкции и анализа компьютерных систем. Кроме того, системы массового обслуживания используют в качестве математических моделей для описания и изучения страховых компаний, медицинского обслуживания, пенсионных фондов [2-5]. Тесное взаимодействие теории и практики осталось движущей силой для развития теории массового обслуживания до сегодняшнего дня. Современные потоки данных в информационных и телекоммуникационных системах включают в себя интегрированные разнотипные потоки, которые передают голосовую информацию, текстовые данные и информацию из видеоисточников, что требует использования более сложных моделей потоков. В качестве них, как правило, используют математические модели модулированных потоков (BMAP, MAP), полумарковских (SM) или их частных случаев (марковский модулированный пуассоновский поток MMPP, поток марковского восстановления MR, рекуррентный поток GI). Поскольку на обслуживание различных информационных единиц затрачивается различное время в зависимости от формата, соответствующих протоколов и т.д., то в качестве моделей процессов в информационных системах используют системы массового обслуживания с разнотипными заявками, требующими разного времени обслуживания и являющимися математическими моделями информационных систем. Исследование систем с разнотипным обслуживанием можно встретить в работах [6-11]. В своей статье M.F. Neuts и Y. Takahashi [12] пришли к выводу, что для систем массового обслуживания с двумя или более приборами получение аналитических результатов является затруднительным, в этом случае следует применять асимптотические методы исследования [13-17]. Данная статья посвящена исследованию числа занятых приборов в системе с разнотипным обслуживанием заявок и входящим потоком марковского восстановления (MR). С помощью метода начальных моментов найдены точные выражения для основных вероятностных характеристик числа занятых приборов в системе. Кроме того, предложено развитие метода асимптотического анализа для исследования числа занятых приборов при условии эквивалентно растущего времени обслуживания. 1. Постановка задачи Рассмотрим систему массового обслуживания с неограниченным числом обслуживающих приборов. На вход поступает поток марковского восстановления заявок двух типов, заданный набором функций распределения длин интервалов Ai(x), A2(x),..., AK(x) и матрицей вероятностей переходов P = [Pj\, i, j = 1, 2, вложенной по моментам наступления событий цепи Маркова k(t) = 1,2,.,K с конечным числом состояний k(t)= 1,2,.. ,,K [18\. Дисциплина обслуживания заключается в том, что заявка из MR/M/да входящего потока с вероятностью pi (i = 1,2) относится к i типу и занимает любой свободный прибор, время обслуживания на котором имеет экспоненциальное распределение с параметром цг- (i = 1,2) соответственно. Ставится задача исследования двумерного случайного процесса (ii(t), i2(t)} - число занятых приборов каждого типа в системе. Определим четырехмерный марковский случайный процесс {k(t), i1(t), i2(t), z(t)}, где z(t) - длина интервала от момента времени t до момента наступления очередного события в потоке марковского восстановления, k(t) - вложенная по моментам восстановления цепь Маркова [19\. Для распределения вероятностей P(k,i1,i2,z,t) = P{k(t) = k, i1(t) = i1, i2(t) = i2, z(t) < z} можно записать систему дифференциальных уравнений Колмогорова, которая в стационарном режиме принимает вид dn (k, г1, ?2, z) dn (k, г1, ?2,0) (1) dz ■-(А, + i'2 , 2 )П (k, /1, /'2, z) + (/'1 + 1)^n (k, /1 +1, /'2, z) + dz + (/2 +1),2n(k,/1,/2 +1,z) + Zdn(V, V ' ^ PM(z) + Zdn(V,У -10) P2PvkAk(z) = 0, v dz v dz где k(t) = 1,2,.,K, i1(t) = 0,1,2,., i2(t) = 0,1,2. Введем частичные характеристические функции вида да да . H(k,u1,u2,z) =2 ЕejuAeJ"2'2n(k,i1,i2,z), где j = V-1. i1=0 i2 =0 Тогда из системы (1) получаем систему дифференциальных уравнений в матричном виде p1eju1 PD(z) + p2eju2 PD(z) -1 dz dz dH(u1,u 2, z) du1 (2) j(e -ju1 - 1) 2 j (e -ju2 - 1) = 0, dH(u1, u 2, z) du 2 где H(ub u 2, z) = [H (1, u1, u 2, z), H (2,ub u 2, z),..., H (K, ub u2, z)], dH(u1,u2,z) dH(1,u1,u2,z) dH(2,u1,u2,z) dH(K,u1,u2,z) dut dut ' dut ' dut dH(u1,u2,z) dH(1,u1,u2,z) 5H(2,u1,u2,z) 8H(K,u1,u2,z) dz dz 8z 8z dH(u1, u 2, z) + dH(u1, u 2,0) _ 8z , 8z dH (u1, u 2,0) dH(u1, u2 ,z) dz dz z=0 "A1(z) 0 " "1 ... 0" D( z) = , I = 0 - AK (z) 0 - 1 K xK Уравнение (2) является основным для дальнейших исследований. 2. Основные числовые вероятностные характеристики Дифференцируя (2) по переменным u1,u2 и полагая их равными нулю, можно получить основные числовые вероятностные характеристики [20\. Средние значения числа занятых приборов каждого типа в рассматриваемой системе определяются равенствами -(k) Pk , , 1 2 m1 =-к, k= 1,2, , к где X имеет смысл интенсивности потока марковского восстановления и определяется выражением х_ к J (1 - PD( z) E )dz 0 Здесь R = [K(1),,K(2),...,.K(^)] - вектор стационарного распределения вероятностей значений вложенной цепи Маркова. Моменты второго порядка числа заявок каждого типа в системе MR/M/да имеют вид m2)E = pk- X + pk-X PD * (цк )[I - PD * (цк )]-1 E, к = 1,2, Vk Цк да D * (а) _ Je-azdD(z). о Выражение для коэффициента корреляции числа занятых приборов каждого типа системы MR/M/да принимает вид r _ Pi Р2 PD * (ц )[I - PD * (ц )]-1 + PD * (ц2 )[I - PD * (ц2)]1 Ц1 +Ц 2 VD ^ D2 где дисперсия определяется выражением Pi л , p2X ( p ^2 a x ц i i _ 1,2. Dt _ X + PD * (цг )[I - PD * (цг)] E -цг ц \n J Численные эксперименты показали, что зависимость между компонентами i1 и i2 увеличивается при следующих условиях: при увеличении времени обслуживания, т.е. при ^ 0, при увеличении интенсивности входящего потока и если p1 и p2 близки по значению. 3. Метод асимптотического анализа Применим метод асимптотического анализа, заключающийся в нахождении аппроксимации характеристической функции числа занятых приборов каждого типа в системе MR|M| У1, У2 , S) = Ф 2 (У^ У2 )(R(z) + Jef(z)(PlУ1 + P2qy 2 )) + O(e 2). Подставив (11) в (8), имеем равенство ф 2( У1, + J P1У1 + P2qy2) [PD( z) -1]+ [ dz dz dz (10) (11) + Ж(0) jg(P1^1 + p2qy2)pD(z) + je dfi°) (py + p2qy2)(PD(z) -1) dz dz - M(P1 У1 + P2 qy 2 )R( z)}+0(e 2) = 0. Разделив обе части уравнения на s и выполнив предельный переход при s ^ 0, учитывая равенdR(z) dR(0) г , dR(0) й ство--1--PPD(z) -1] = 0 и-= AR , несложно получить следующую систему уравнений: dz dz dz df(z) + f' (0)(PD(z) -1) + ARD(z) - AR(z) = 0, dz которая совпадает с системой (10). Для нахождения вида функции Ф2(У1,У2) разложим в уравнении (8) экспоненты в ряд Тейлора, подставим туда (11), устремим z ^ да, разделим обе части на s и выполним предельный переход при s^-0. Получим следующее дифференциальное уравнение в частных производных: (12) Ф 2 (У1, У2)Мл У12 + P2(qy2)2)+ f '(0)E(P1 У1 + P2 qy 2) } = y dф 2 (Уl, У2) + dф 2 (Уl, У2) - y1 Г г qy2 Г . d^1 дУ2 Решением дифференциального уравнения (12), удовлетворяющего начальному условию Ф2(0,0) = 1, является функция ФгС^ьУг) вида toyZ + q (Pyt + 2P1 p2 ^ 2 2 12 q +1 2( ) + f '(0)E лл2 + P2qy2 ф2( Уь У 2) = exP 1JJ Учитывая, что F2( z, y1, y2) = R( z)Ф 2( y1, y2), условие теоремы (9) доказано. Выполнив обратные замены (7), можно записать асимптотическое (s^-0) приближенное равенство для характеристической функции ( u, u2 Л P1- + P2- + ч ^ 2 у h2(u1,u2) = H(u1,u2,)E « expl Aj ((p1u2)2 (p2u2)2 uu ( 2 2 ^ u u^ P\-+P2- ^2 Л 12 + f '(0)E +J 2^1 Ц1 +^2 Таким образом, получили гауссовскую аппроксимацию характеристической функции числа заявок каждого типа в рассматриваемой системе в стационарном режиме функционирования. Заключение В результате проведенного исследования построена математическая модель обслуживания заявок в бесконечнолинейной системе массового обслуживания MR|M|

Скачать электронную версию публикации